1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 I 卷1 至2 页，第卷 3至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 （选择题 共40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的四个选
2、项中，选出符合题目 要求的一项。 1设集合21| 2, 12Ax x Bxx= ，则 cos = . 【答案】35 【解析】 本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知， 在第三象限， 2243cos 1 sin 155= = =， 应填35 . 10若数列 na 满足：111, 2 ( )nnaa anN+=，则5a = ；前 8 项的和8S = .（用数字作答） 【答案】 16 255 .w【解析】 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. m 属于基础知识、基本运算的考查. 121 3243 541, 2 2, 2 4, 2 8, 2 16aaaaa
3、aaaa= =， 易知882125521S=，应填 255. 11若实数 ,x y满足20,4,5,xyxx+则 sxy= + 的最大值为 . 【答案】 9 【解析】 .s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 4, 5xy=时， 459sxy=+=+=为最大值. 故应填9. 12已知函数3, 1,(),1,xxfxxx =若 () 2fx= ，则x= . .w.w.k.s.5【答案】3log 2 .w【解析】 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由31log 232xxx=，122xxx
4、=无解，故应填3log 2. 13椭圆22192xy+=的焦点为12,FF，点 P 在椭圆上，若1|4PF = ，则2|PF = ；12FPF 的大小为 . 【答案】 2, 120.w【解析】 u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. 229, 3ab=， 2292 7cab=， 1227FF = ， 又1124, 2 6PF PF PF a=+=，22PF = ， 又由余弦定理，得( )2221224 271cos224 2FPF+= =， 12120FPF=，故应填 2, 120. 14设A 是整数集的一个非空子集，对于
5、kA ，如果 1kA 且 1kA+ ，那么称 k 是A的一个“孤立元” ，给定 1,2,3,4,5,6,7,8,S = ，由 S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】 6 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是： 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共6个. 故应填6. 三
6、、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （本小题共 12 分） 已知函数 () 2sin( )cosf xxx= . （）求 ()f x 的最小正周期； （）求 ()f x 在区间 ,62 上的最大值和最小值. 【解析】 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力 （） () ( )2sin cos 2sin cos sin 2f xxxxxx= =， 函数 ()f x 的最小正周期为 . （）由 2623xx ，3sin 2 12x ， ()f x 在区间 ,62 上的最大值为
7、 1，最小值为32 . 16 （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD ABCD底面 ，点E 在棱PB上. （）求证：平面 AEC PDB平面 ； （）当 2PD AB= 且 E 为PB 的中点时，求 AE与平面 PDB所成的角的大小. 【解法1】 本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 （）四边形 ABCD 是正方形， ACBD， PD ABCD底面 ， PDAC， AC平面PDB， 平面 AEC PDB平面 . （）设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB于 O，
8、 AEO 为AE 与平面PDB所的角， O，E 分别为 DB、PB 的中点， OE/PD，12OE PD= ， 又 PD ABCD底面 ， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中，1222OE PD AB AO= =， 45AEO=，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45. 【解法2】 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz ， 设 ,AB a PD h=则()( ) ( ) ( )( ),0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,0 , 0,0,A aBaCaD Ph， （） ( ) ( ) ( ), ,0 , 0,0, , , ,0AC a a DP h
9、DB a a= = =uuur uuur uuur， 0, 0AC DP AC DB= =uuur uuur uuur uuur， ACDP，ACBD， AC平面PDB， 平面 AEC PDB平面 . （）当 2PD AB= 且 E 为PB 的中点时， ()11 20,0, 2 , , ,22 2PaEaaa， 设 AC BD O=，则11(,0)22Oaa ，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB于 O， AEO 为AE 与平面PDB所成的角， 11 2 2, , 0,22 2 2EA a a a EO a= =uuur uuur， 2cos2EA EOAEOEA EO= =uuur uu
10、uruuur uuur ， 45AEO=，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45. 17 （本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A等于事件“这名学生在第一和
11、第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A的概率为 ()11141133327PA=. （）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 ( )0,1,2kBk= . 则由题意，得 ()40216381PB=， () ()13 221214 241 2 32 1 2 24,3 3 81 3 3 81PB C PB C = . 由于事件 B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ， 事件 B 的概率为() ( ) () ( )01289PB PB PB PB= +=. 18 （本小题共 14 分） 设函
12、数3() 3 ( 0)fx x ax ba= + . （）若曲线 ()yfx= 在点 (2, (2)f 处与直线 8y = 相切，求 ,ab的值； （）求函数 ()f x 的单调区间与极值点. 【解析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力 （）()233f xxa= , 曲线 ()yfx= 在点 (2, (2)f 处与直线 8y = 相切， ()()()20 34 04,24.86 828f aababf = = =+= （） ()()()230fx x aa=, 当 0a ，函数 ()f x 在 ( ),+上单调递增，此时函数 ()f
13、 x 没有极值点. 当 0a 时，由 ()0f xxa= ， 当(),x a 时， ( )0fx ，函数 ()f x 单调递增， 当(),x aa 时， ( )0fx ，函数 ()f x 单调递增， 此时 x a= 是 ()f x 的极大值点， x a= 是 ()f x 的极小值点. 19 （本小题共 14 分） 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为 3 ，右准线方程为33x= 。 （）求双曲线 C 的方程； （）已知直线 0xym+=与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆225xy+=上，求 m 的值 【解析】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的
14、切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得2333acca=，解得 1, 3ac=， 2222bca=，所求双曲线 C的方程为2212yx = . （）设 A、B 两点的坐标分别为( ) ( )11 2 2,x yxy，线段 AB 的中点为 ()00,M xy， 由22012xymyx+=得220xmxm =（判别式 0 ）, 12000,22xxx my x m m+=+=, 点 ( )00,M xy在圆225xy+ = 上， ()2225mm+=， 1m= . 20 （本小题共 13 分） 设数列 na 的通项公式为 (,0)nap
15、nqnNP=+ . 数列 nb 定义如下：对于正整数 m ，mb 是使得不等式nam 成立的所有 n中的最小值. （）若11,23pq=，求3b ； （）若 2, 1pq=，求数列 mb 的前 2 m 项和公式； （）是否存在 p 和 q，使得 32( )mbmmN=+ ？如果存在，求 p和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【解析】 本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. （）由题意，得1123nan=， 解11323n，得203n . 11323n成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即37b
16、= . （）由题意，得 21nan=， 对于正整数 m，由nam ，得12mn+ . 根据mb 的定义可知 当 21mk=时，( )*mbkkN=； 当 2mk= 时，( )*1mbk kN=+ . ()( )12 2 13 21 24 2mm mbb b bb b bb b+ = + + +LL L () ( )123 234 1mm=+ + + LL ( ) ( )213222mm mmmm+=+=+. （）假设存在 p 和 q满足条件，由不等式 pnqm+ 及 0p 得mqnp . 32( )mbmmN=+ ,根据mb 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 31 32mqmmp+（或 310p）时，得31p qmp+（或231p qmp+） ，这与上述结论矛盾！ 当 310p=，即13p = 时，得21033qq ， 解得2133q.（经检验符合题意） 存在 p 和 q，使得 32( )mbmmN=+ ； p 和 q 的取值范围分别是13p = ，2133q.
