1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至 2页，第卷 3至 4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共12 小题，每小题 5分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B，
2、 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PA B PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 343VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 一、选择题 (1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=A UB，则集合()uABI中的元素共有（A） （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 解： 3, 4, 5, 7, 8, 9AB=U ， 4, 7,9 ( ) 3,5,8UA
3、B CAB= =II故选 A。也可用摩根律： ( )()()UUUCAB CA CB=IU （2）已知1iZ=2+i,则复数z=（B ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解： (1 ) (2 ) 1 3 , 1 3zii izi=+=+= 故选B。 (3) 不等式11XX+1 的解集为（ D ） （A） x 01 1x xx U(B) 01x x （C） 10x x (D) 0xx 解：验 x=-1即可。 (4)设双曲线22221xyab=（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A） 3 （B）2 （C） 5 （D
4、） 6 解：设切点00(, )Px y ，则切线的斜率为00|2xxyx= .由题意有0002yxx= 又2001yx=+ 解得: 2201, 2, 1 ( ) 5bbxeaa= = + = . (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225CCC= 种选法 (2) 乙组中选出一名女生有211562120CCC= 种选法.故共有 345 种
5、选法.选 D （6）设 a、 b 、 c是单位向量，且 a b 0，则 ( ) ( )ac bc 的最小值为 ( D ) （A） 2 （B） 22 （C） 1 (D)12 解: ,abcrrrQ 是单位向量( ) ( )2()ac bc ab abcc =+rr rr urrurrrr1| | |1 2cos , 1 2ab c abc= + = rr r rrr故选D. （7）已知三棱柱111ABC ABC 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为 BC的中点，则异面直线 AB与1CC 所成的角的余弦值为（ D ） BCBCA111AD（A）34（B）54（C）74(D) 34
6、解：设 BC的中点为 D，连结1A D，AD，易知1AAB = 即为异面直线 AB与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4os cosAD ADAAD DABAA AB = =.故选 D （8）如果函数 ()cos 2yx3 的图像关于点43，0 中心对称，那么 | 的最小值为（A）6（B）4（C）3(D) 2解: Q函数 ()cos 2yx3 的图像关于点43，0 中心对称 4232k +=+13()6kkZ = 由此易得min|6 = .故选A (9) 已知直线y=x+1 与曲线 yln( )x a=+相切，则的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
7、解:设切点00(, )Px y ，则00 0 0ln1, ( )yx ayx=+ = + ,又001|1xxyxa= =+Q 00010,12xa y x a += =.故答案选 B （10）已知二面角 l 为 60o ，动点 P、Q 分别在面、内，P 到的距离为 3 ，Q 到的距离为 23，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作 , ,QA A AC l C PB B 于于 于 PD l D 于 ，连 ,60CQ BD ACQ PBD=则 23, 3AQ BP=， 2AC PD = 又22 212 2 3PQ AQ AP AP=
8、+=+Q 当且仅当 0AP = ，即 A P点与点 重合时取最小值。故答案选 C。 QAPBCD（11）函数 ()f x 的定义域为 R，若 (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数，则( D ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) () ( 2)fx fx= + (D) (3)fx+ 是奇函数 解: Q (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数， ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)fx fx fx fx + = + = ， 函数 ()f x 关于点 (1, 0) ，及点 (1,0) 对称，函数 ()f x 是周期 21 ( 1) 4T = = 的周期函数
9、. ( 1 4) ( 1 4)fx fx + = + ， (3) (3)fx fx += +，即 (3)fx+ 是奇函数。故选D 12.已知椭圆22:12xCy+ = 的右焦点为 F ,右准线为 l，点 Al ，线段 AF 交 C于点 B，若 3FA FB=uuuruur,则 |AFuuuur=( A ) (A). 2 (B). 2 (C). 3 (D). 3 解:过点B 作 BMl 于 M,并设右准线 l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 3FAFB=uuuruur,故2|3BM = .又由椭圆的第二定义,得22 2|23 3BF = |2AF = .故选A 第II卷 二、填空题
10、： 13. ()10x y 的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。 解: 37 310 10 10( ) 2 240CC C+ = = 14. 设等差数列 na 的前 n项和为nS ，若972S = ,则249aaa+ + = 。 解: naQ 是等差数列,由972S = ,得599,Sa =58a = 249 29 4 56 4 5()()324aaa aa a aa a a+= + += + += =. 15. 直三棱柱111ABC ABC 的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA=, 120BAC=，则此球的表面积等于 。 解:在 ABC 中 2AB AC=
11、 = , 120BAC=,可得 23BC = ,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO 中，易得球半径 5R = ，故此球的表面积为2420R = . 16. 若42x Q , 44322242 22tan 2 2 2 2tan 2 tan 811 11 1 11tan 1()24 4xtyxxxttt t = =三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） （ 注意：在试题卷上作答无效） 在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知222ac
12、b=，且sin cos 3cos sin ,A CAC= 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222ac b=,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A CAC= 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在 ABC 中 sin cos 3cos sin ,A CAC=Q 则由正弦定理及余弦定理有:222 2223,abc bcaacab bc+ += 化简并整理得：22 22( )ac b = .又由已知222ac
13、b=24bb = .解得 40(bb= =或舍） . 解法二: 由余弦定理得: 22 22cosacb bc A= . 又 222ac b = , 0b 。 所以 2cos 2bcA= + 又 sin cos 3cos sinA CAC= ， sin cos cos sin 4cos sinA CAC AC += sin( ) 4cos sinA CAC+= ， 即 sin 4cos sinB AC= 由正弦定理得 sin sinbB Cc= ， 故 4cosbcA= 由，解得 4b= 。 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解
14、决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD为矩形， SD 底面ABCD ， 2AD= , 2DC SD=，点 M 在侧棱 SC 上，ABM =60 （I）证明：M 在侧棱 SC 的中点 （II）求二面角 SAMB的大小。 解法一： （I） 作 ME CD交 SD于点 E，则 ME AB， ME 平面SAD 连接 AE，则四边形 ABME为直角梯形 作 MFAB ，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设 MEx= ，则 SE x= ，22 2
15、(2 ) 2AE ED AD x=+=+ 2(2 ) 2, 2MFAE x FB x=+ = 由2tan 60 , (2 ) 2 3(2 )MFFB x x= += 。得 解得 1x = 即 1ME = ，从而12MEDC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （）222MB BC MC=+=，又 60 , 2ABM AB =o,所以 ABM 为等边三角形， 又由（）知 M 为SC 中点 2, 6, 2SM SA AM= =，故222,90SA SM AM SMA=+ =o取AM中点G， 连结BG， 取SA中点H， 连结GH， 则 ,BGAMGHAM ,由此知 BGH为二面角 SAMB的平面角 连
16、接 BH ，在 BGH 中， 22312 23, ,22BG AM GH SM BH AB AH=+= 所以2226cos23BG GH BHBGHBG GH+= =二面角 SAMB的大小为6arccos( )3 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ( 2,0,0)A ，则 ( 2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)BCS （）设 (0)SM MC =,则 22 22(0, , ), ( 2, , )11 11MMB =+ +又 (0,2,0), , 60AB MB AB=o故 |cos60MB AB MB AB= o即
17、22242(2) ( ) ( )111 =+解得 1 = ，即 SM MC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由 (0,1,1), ( 2,0,0)MA ，得 AM 的中点211(,)222G 又23 1( , , ), (0, 1,1), ( 2 ,1,1)22 2GB MS AM= 0, 0GB AM MS AM= = 所以 ,GB AM MS AM 因此 ,GB MS 等于二面角 SAMB的平面角 6cos ,3|GB MSGB MSGB MS=所以二面角 SAMB的大小为6arccos( )3 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山
18、的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析 ：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述
19、，这也是考生较薄弱的环节。 解：记iA 表示事件：第 i局甲获胜，i=3,4,5 jB 表示事件：第 j 局乙获胜，j=3,4 （）记 B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 34 345 345B AABAAABA=+ 由于各局比赛结果相互独立，故 34 345 345()()()()PB PA A PB A A PA B A=+ =34 345 345()() ()()() ()()()PAPA PB PA PA PAPB PA+ =0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6 =0.648
20、（II） 的可能取值为 2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以 34 34(2)( )PPAABB = + =34 34()()PA A PB B+ =34 34() () () ()PA PA PB PB+ =0.60.6+0.40.4 =0.52 (3)1(2)PP = =1.0.52=0.48 的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 2(2)3(3)EP P = = + = =20.52+30.48 =2.48 20 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效）在数列 na 中，11111, (1 )2nnnnaa an+=+ （I）设nnabn= ，求数列 nb 的通项
21、公式 （II）求数列 na 的前 n项和nS 解： （I）由已知得111ba=，且1112nnnaann+=+即 112nnnbb+=+ 从而 2112bb= + 32212bb=+ 111(2)2nnnbb n= + 于是 12111 1.22 2nnbb=+ + + =112(2)2nn 又 11b = 故所求的通项公式1122nnb= （II）由（I）知111(2 ) 222nnnnan n= =, nS =11(2 )2nkkkk=111(2 )2nnkkkkk=而1(2 ) ( 1)nkknn=+,又112nkkk=是一个典型的错位相减法模型， 易得1112422nknk=+=nS
22、= (1)nn+1242nn+ 评析 ：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21（本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效）如图， 已知抛物线2:Ey x= 与圆222:( 4) ( 0)Mx y rr += 相交于 A、 B、 C 、 D四个点。 （I）求 r得取值范围； （II）当四边形 ABCD的面积最大时，求对角线 AC 、 BD的交
23、点 P坐标 分析： （I）这一问学生易下手。 将抛物线2:Ey x= 与圆222:( 4) ( 0)Mx y rr += 的方程联立，消去2y ，整理得 22716 0xx r+= （） 抛物线2:Ey x= 与圆222:( 4) ( 0)Mx y rr += 相交于 A、 B、 C 、 D四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可. 由此得2212212(7) 4(16 ) 07016 0rxxxx r= +=解得 215164r 所以 15(,4)2r 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入
24、的方法处理本小题是一个较好的切入点。 设 E与 M 的四个交点的坐标分别为： 11(, )Ax x 、11(, )B xx 、22(, )Cx x 、22(, )Dx x 。 则直线 ACBD、 的方程分别为 21 21111121 21(), ()xx xxy x xxy x xxxx xx + = + = 解得点 P 的坐标为12(,0)xx 设12txx= ，由216tr=及（I）知702t ；76t = 时，() 0ft= ；7762t 时，() 0ft 故当且仅当76t = 时， ()f t 有最大值，即四边形 ABCD的面积最大，故所求的点 P 的坐标为7(,0)622. 本小题满
25、分 12 分。 （ 注意：在试题卷上作答无效）设函数 ()3233f xx bx cx=+ + 在两个极值点12x x、 ，且12 1 0, 1, 2.xx ， （I）求 bc、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 (),bc的区域； (II)证明： ()21102fx 解 （I） ()2363f xxbxc =+ 依题意知，方程() 0fx = 有两个根12x x、 ，110,x 且，21, 2.x 等价于( )10f ， ()00f ，() ()10 20ff， 由此得 b、c满足的约束条件为 2102144cbccbcb 满足这些条件的点 ( ),bc的区域为图中
26、阴影部分， (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 ( )3222 2 233f xxbx cx=+ + 中的 b， （如果消 c会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I）中的约束条件得 2,0c 进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知()222 23630fx x bx c =+=，故2221122bx x c= 于是()32 322 2 2 2 2133322cf xxbx cx x x=+ + = + 由于21, 2x Q ，而由（）知 0c ，故 21343 ()22cfx c+ + 又由（）知 2,0c 所以 2110 ( )2fx
