1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学试题 参考公式： 锥体的体积公式 : V 锥体 =13Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是高。 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1、设集合 A=-1,1,3， B=a+2,a2+4,A B=3，则实数 a=_ _. 解析 考查集合的运算推理。 3B, a+2=3, a=1. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 _ _. 解析 考查复数运算、模的性质。 z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2
2、 i 的模相等， z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 _ _. 解析 考查古典概型知识。3162p =4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间 5,40中，其频率分布直方图如图所示， 则其抽样的 100 根中， 有 _ _根在棉花纤维的长度小于 20mm。 解析 考查频率分布直方图的知识。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（
3、第 15 题第 20 题） 。本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 100（ 0.001+0.001+0.0
4、04） 5=30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数 a=_ _ 解析 考查函数的奇偶性的知识。 g(x)=ex+ae-x为奇函数，由 g(0)=0，得 a= 1。 6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 112422=yx上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是 _ _ 解析 考查双曲线的定义。422MFed=， d 为点 M 到右准线 1x= 的距离， d =2， MF=4。 7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 _ _ 解析 考查流程图理解。241 2 2 2 31 33,+=0)的图像在点 (ak,ak2)处的切线与
5、 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数， a1=16，则 a1+a3+a5=_ _ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。 在点 (ak,ak2)处的切线方程为：22( ),kkkya axa= 当 0y = 时，解得2kax= ， 所以1135,164122kkaaaaa+=+=+=。 9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422=+ yx 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _ _ 解析 考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2， 圆心（ 0， 0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，|113c的 x 的范围是 _ _。
6、 解析 考查分段函数的单调性。2212(1, 2 1)10xxxx 12、设实数 x,y 满足 32xy 8， 4yx2 9，则43yx的最大值是 。 解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 22() 16,81xy ，2111,83xy ，322421() 2,27xxyyxy=，43yx的最大值是 27。 13、在锐角三角形 ABC， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 6cosbaCab+= ，则tan tantan tanCCA B+ =_ _。 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、
7、B 和边 a、 b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：1cos3C = ，21cos 1tan21cos 2CCC= =+，2tan22C= ， 1tan tan 2tan2ABC= =，tan tantan tanCCA B+ = 4。 （方法二）226cos 6 cosbaCabCabab+= =+，222 2222236,abc cab ababab+=+= 2tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) 1 sintan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sinCCCBABACAB CABC
8、AB CABCAB+= = =由正弦定理，得：上式 =22 222214113cos()662cc ccCabab= = =+14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则 S 的最小值是 _ _。 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设 剪成的 小正 三角形的边长为 x ，则：222(3 ) 4 (3 )(0 1)113 3(1) (1)22xxSxxxx= = 递增； 故当13x= 时， S 的最小值是32 33。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令1113,(2,3),(,)32xttt=
9、，则：2224418668331tStttt= =+ +故当13 1,83xt=时， S 的最小值是32 33。 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 . 15、 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( 1, 2)、 B(2,3)、 C( 2, 1)。 (1)求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足 ( OCtAB ) OC =0，求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。 满分 14 分。 （ 1） （方法
10、一） 由题设知 (3,5), ( 1,1)AB AC=uuuruur，则 (2,6), (4,4).AB AC AB AC+= =uuur uuur uuur uuur所以 |210,|42.AB AC AB AC+= =uuur uuur uuur uuur故所求的两条对角线的长分别为 42、 210。 （方法二） 设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 : E 为 B、 C 的中点， E（ 0， 1） 又 E（ 0， 1）为 A、 D 的中点，所以 D（ 1， 4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 42、 AD= 210； （ 2）由题设知： OCuuur=(
11、2, 1)， (3 2 ,5 )ABtOC t t =+ +uuur uuur。 由 ( OCtAB ) OC =0，得： (3 2 ,5 ) ( 2, 1) 0tt+ +=， 从而 511,t = 所以115t = 。 或者：2 ABOC tOC=uuur uuur uuur， (3,5),AB =uuur2115|AB OCtOC= =uuur uuuruuur16、 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD平面 ABCD， PD=DC=BC=1， AB=2，AB DC， BCD=900。 (1)求证： PC BC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析
12、 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （ 1）证明：因为 PD平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PD BC。 由 BCD=900，得 CD BC， 又 PDI DC=D， PD、 DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD。 因为 PC平面 PCD，故 PC BC。 （ 2） （方法一）分别取 AB、 PC 的中点 E、 F，连 DE、 DF，则： 易证 DE CB， DE平面 PBC， 点 D、 E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离
13、的 2 倍。 由（ 1）知： BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC， PF=FC，所以 DF PC，所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF=22，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 （方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB DC， BCD=900，所以 ABC=900。 从而 AB=2， BC=1，得 ABC 的面积 1ABCS= 。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积1133ABCVS PD= =。 因为 PD平面 ABCD， DC平面 ABCD，所以 PD DC
14、。 又 PD=DC=1，所以222PC PD DC=+=。 由 PC BC， BC=1，得 PBC 的面积22PBCS= 。 由A PBC P ABCVV= ，1133PBCShV=null，得 2h= ， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 17、 （本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m） ， 如示意图， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角 ABE= ， ADE= 。 (1)该小组已经测得一组 、 的值， tan =1.24， tan =1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离
15、 d（单位： m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （ 1） tantanHHADAD=， 同理：tanHAB= ，tanhBD= 。 AD AB=DB，故得tan tan tanHH h =，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20hH=。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （ 2）由题设知 dAB= ，得 tan , tanHHhHhdADDBd=， 2tan tantan( )()1tan tan ( )1HHhh
16、d hddHHh HHhdHHhddd d= = = = + + +()2( )HH hdHHhd+，（当且仅当 ( ) 125 121 55 5dHHh=时， 取等号） 故当 55 5d = 时， tan( ) 最大。 因为 020, 0,021yy 得： M（ 2，53） 、 N（13，209 ） 直线 MTA 方程为：0352303yx+=+，即113yx= + ， 直线 NTB 方程为：0320 10393yx= ，即5562yx= 。 联立方程组，解得：7103xy=， 所以点 T 的坐标为10(7, )3。 （ 3）点 T 的坐标为 (9, )m 直线 MTA 方程为：03093y
17、xm+=+，即 (3)12myx= + ， 直线 NTB 方程为：03093yxm=，即 (3)6myx= 。 分别与椭圆 15922=+yx联立方程组，同时考虑到123, 3xx， 解得：2223(80 ) 40(,)80 80mmMmm+、2223( 20) 20(,)20 20mmNmm+。 （方法一） 当12x x 时， 直线 MN 方程为：222222220 3( 20)20 2040 203(80 ) 3( 20)80 2080 20mmyxmmmmmm+=+ +令 0y = ，解得： 1x = 。此时必过点 D（ 1， 0） ； 当12x x= 时，直线 MN 方程为： 1x =
18、 ，与 x 轴交点为 D（ 1， 0） 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（ 1， 0） 。 （方法二）若12x x= ，则由22240 3 3 6080 20mm=+及 0m ，得 210m= ， 此时直线 MN 的方程为 1x = ，过点 D（ 1， 0） 。 若12x x ，则 210m ，直线 MD 的斜率22 22401080240 3 40180MDmmmkm mm+= +， 直线 ND 的斜率22 22201020360 40120NDmmmkm mm+= +，得MDNDkk= ，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过 x轴上的点（ 1， 0） 。 19
19、、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为nS ，已知3122 aaa += ，数列 nS 是公差为 d的等差数列。 （ 1）求数列 na 的通项公式（用 dn, 表示） ； （ 2）设 c为实数，对满足 nmknm =+ 且3 的任意正整数 knm , ，不等式knmcSSS +都成立。求证： c的最大值为29。 解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分 16 分。 （ 1）由题意知： 0d ， 11(1) (1)nSSndand=+=+ 213 2 3 21 323()aaa aS SS S=+ =
20、=，22 21113( ) ( 2 ) ,ad a a d+= + 化简，得：2211 1120,aadd adad+= = 22(1) ,nnSdndndSnd=+ = = ， 当 2n 时，22 2 2 21(1) (21)nnnaSS nd n d nd= = = ，适合 1n= 情形。 故所求2(2 1)nand= （ 2） （方法一） 22 22 22 2 2 2mn kSScS mdndckd mnck+ + +， 222mnck+= ， 故92c ，即 c的最大值为29。 （方法二）由1ad= 及1(1)nSand=+，得 0d ，22nSnd= 。 于是，对满足题设的 knm
21、, ， mn ，有 2222 2 22() 9 9()222mn kmnSS mnd d dk S+= + = = 。 所以 c的最大值max92c 。 另一方面，任取实数92a 。设 k 为偶数，令331, 122mknk= +=，则 knm , 符合条件，且222 2 2 2 22331( ) ( 1) ( 1) (9 4)22mnSS mndd k k dk+= + = + = +。 于是，只要22942kak+时，22122mn kSS dakaS+0，使得 )1)()(2+= axxxhxf ，则称函数 )(xf 具有性质 )(aP 。 (1)设函数 )(xf2ln ( 1)1bxx
22、x+=+ +，其中 b 为实数。 (i)求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)求函数 )(xf 的单调区间。 (2)已知函数 )(xg 具有性质 )2(P 。给定12 1 2,(1,), ,x xxx + ， 若 | )()( gg | 时，21() 0(1)hxxx=+恒成立， 函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)（方法一）设222() 1 ( ) 124bbxxbx x =+= +， ()x 与 )( xf 的符号相同。 当210,224bb ， )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； 当 2b= 时，对于 1x ，有 )( xf 0
23、 ，所以此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； 当 2b ，总有 ()x 0 ， )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； （方法二）当 2b 时，对于 1x ，22 2() 1 2 1 ( 1) 0xxbx x x x = += 所以 )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； 当 2b 时， ()x 图像开口向上，对称轴 12bx= ，方程 () 0x = 的两根为：2244,22bb bb+，而222441, (0,1)4bb bbbb+ =+当24(1, )2bbx+ 时， ()x 0 时， )(xf 在24(1, )2bb+
24、上递减； )(xf 在24,)2bb+上递增。 (2)（方法一） 由题意，得：22()()( 21)()(1)gx hxx x hxx= += 又 )(xh 对任意的 ),1( +x 都有 )(xh 0， 所以对任意的 ),1( +x 都有 () 0gx ， ()gx在 (1, )+ 上递增。 又12 12,(21)()x xmx +=+ = 。 当1,12mm时， 对于任意的 ),1( +x 都成立。所以，当 1x 时，2( ) ( )( 1) 0gx hxx= ，从而 ()gx在区间),1( + 上单调递增。 当 (0,1)m 时，有12111(1 ) (1 )mx mx mx mx x
25、=+ + =， 12222(1 ) (1 )mx mx mx mx x =+ 及 ()gx 的单调性知12() () ( ) ()ggxgxg ，所以 | )()( gg | | )()(21xgxg |，与题设不符。 当 1m 时，同理可得12,x x ，进而得 | )()( gg | | )()(21xgxg |，与题设不符。 因此综合、得所求的 m 的取值范围是（ 0， 1） 。 数学（附加题） 21.选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A 选修 4-1：几
26、何证明选讲 （本小题满分 10 分） AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交AB 延长线于点 C，若 DA=DC，求证： AB=2BC。 解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 （方法一）证明：连结 OD，则： OD DC， 又 OA=OD， DA=DC，所以 DAO= ODA= DCO， DOC= DAO+ ODA=2 DCO， 所以 DCO=300， DOC=600， 所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。 （方法二）证明：连结 OD、 BD。 因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ADB=900， AB=
27、2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线，所以 CDO=900。 又因为 DA=DC，所以 DAC= DCA， 于是 ADB CDO，从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。 故 AB=2BC。 B 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)， B(-2,0)， C(-2,1)。设 k 为非零实数，矩阵M=100k,N=0110，点 A、 B、 C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、 B1、 C1， A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的
28、变化特点， 考查运算求解能力。 满分 10 分。 解：由题设得001 00110 10kkMN=BOCAD由0 022 0010001 022kk = ，可知 A1（ 0， 0） 、 B1（ 0， -2） 、 C1（ k ， -2） 。 计算得 ABC 面积的面积是 1， A1B1C1的面积是 |k ，则由题设知： |212k =。 所以 k 的值为 2 或 -2。 C 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 =2cos与直线 3 cos +4 sin +a=0 相切，求实数 a 的值。 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。
29、满分 10 分。 解：22cos = ，圆 =2cos的普通方程为：22 222,( 1) 1xy xx y+ = +=， 直线 3 cos +4 sin +a=0 的普通方程为： 34 0xya+ +=， 又圆与直线相切，所以22|3 1 4 0 |1,34a+=+解得： 2a = ，或 8a = 。 D 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 设 a、 b 是非负实数，求证：33 22()ab abab+ + 。 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。 （方法一）证明：33 22 2 2()()()ab abab aaa bbbb a+ +
30、 = + 55( )( ) ( ) aba b= 24 3 22 3 4( )()()()()()()()()ab a a b a b ab b= + + + + 因为实数 a、 b 0，243 22 34( ) 0,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0ab a ab a b ab b + + + + 所以上式 0。即有33 22()ab abab+ + 。 （方法二）证明：由 a、 b 是非负实数，作差得 33 22 2 2()()()ab abab aaa bbbb a+ + = + 55( )( ) ( ) aba b= 当 ab 时， ab ，从而55()(
31、)ab ，得55()()()0aba b ； 当 ab 时， ab ，从而55()()ab ，得55()()()0aba b ； 所以33 22()ab abab+ + 。 必做题 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、（本小题满分 10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，
32、若是二等品则亏损 2万元。设生产各种产品相互独立。 （ 1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （ 2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分 10 分。 解： （ 1）由题设知， X 的可能取值为 10， 5， 2， -3，且 P（ X=10） =0.8 0.9=0.72， P（ X=5） =0.2 0.9=0.18， P（ X=2） =0.8 0.1=0.08， P（ X=-3） =0.2 0.1=0.02。 由此得 X 的分布列为： X 10 5 2 -3
33、 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （ 2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n件，则二等品有 4 n 件。 由题设知 4(4)10nn，解得145n ， 又 nN ，得 3n= ，或 4n= 。 所求概率为33 440.8 0.2 0.8 0.8192PC= + = 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 23、（本小题满分 10 分） 已知 ABC 的三边长都是有理数。 （ 1）求证 cosA 是有理数； （ 2）求证：对任意正整数 n， cosnA 是有理数。 解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、
34、解决问题的能力。满分 10 分。 （方法一） （ 1）证明：设三边长分别为 ,abc，222cos2bcaAbc+ = ， ,abc是有理数， 222bca+是有理数， 分母 2bc为正有理数， 又有理数集对于除法的具有封闭性， 2222bcabc+必为有理数， cosA 是有理数。 （ 2）当 1n= 时，显然 cosA 是有理数； 当 2n= 时，2cos 2 2cos 1AA=，因为 cosA 是有理数， cos 2A也是有理数； 假设当 (2)nkk时，结论成立，即 coskA、 cos( 1)kA 均是有理数。 当 1nk=+时， cos( 1) cos cos sin sinkA
35、kAA kAA+= ， 1cos( 1) cos cos cos( ) cos( )2kA kAA kAA kAA+= +， 11cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1)22kA kAA kA kA+= + +， 解得： cos( 1) 2cos cos cos( 1)kA kAA kA+= cosA， coskA， cos( 1)kA 均是有理数， 2cos cos cos( 1)kA A k A 是有理数， cos( 1)kA+ 是有理数。 即当 1nk=+时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数 n， cosnA 是有理数。 （方法二）证明： （ 1）由 AB、 B
36、C、 AC 为有理数及余弦定理知 222cos2AB AC BCAAB AC+=是有理数。 （ 2）用数学归纳法证明 cosnA 和 sin sinA nA 都是有理数。 当 1n= 时，由（ 1）知 cos A是有理数，从而有2sin sin 1 cosAA A= 也是有理数。 假设当 (1)nkk=时， coskA和 sin sinAkA 都是有理数。 当 1nk=+时，由 cos( 1) cos cos sin sinkA AkA AkA+= ， sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A+= + = + ， 及和归纳假设，知 cos( 1)kA+ 和 sin sin( 1)AkA + 都是有理数。 即当 1nk=+时，结论成立。 综合、可知，对任意正整数 n， cosnA 是有理数。
