1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=1， 2， 3， 4， 则 (A B) C=( )A.2B.1， 2， 4C.1， 2， 4， 6D.1， 2， 3， 4， 6解 析 ： 集 合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=1， 2， 3， 4， (A B) C=1， 2， 4， 6 1， 2， 3， 4=1， 2， 4. 答 案 ： B2.设 x R，
2、 则 “ 2-x 0” 是 “ |x-1| 1” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 2-x 0得 x 2， 由 |x-1| 1 得 -1 x-1 1， 得 0 x 2.则 “ 2-x 0” 是 “ |x-1| 1” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B 3.有 5 支 彩 笔 (除 颜 色 外 无 差 别 )， 颜 色 分 别 为 红 、 黄 、 蓝 、 绿 、 紫 .从 这 5 支 彩 笔 中 任 取 2支 不 同 颜 色 的 彩 笔 ， 则 取 出 的 2 支
3、 彩 笔 中 含 有 红 色 彩 笔 的 概 率 为 ( )A. 45B. 35C. 25D. 15解 析 ： 有 5支 彩 笔 (除 颜 色 外 无 差 别 )， 颜 色 分 别 为 红 、 黄 、 蓝 、 绿 、 紫 ，从 这 5支 彩 笔 中 任 取 2 支 不 同 颜 色 的 彩 笔 ， 基 本 事 件 总 数 n= 25C =10， 取 出 的 2 支 彩 笔 中 含 有 红 色 彩 笔 包 含 的 基 本 事 件 个 数 m= 1 11 4C C =4， 取 出 的 2支 彩 笔 中 含 有 红 色 彩 笔 的 概 率 为 4 210 5mp n . 答 案 ： C4.阅 读 如
4、图 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 N的 值 为 19， 则 输 出 N 的 值 为 ( ) A.0B.1C.2D.3解 析 ： 第 一 次 N=19， 不 能 被 3整 除 ， N=19-1=18 3 不 成 立 ，第 二 次 N=18， 18能 被 3 整 除 ， N=183 =6， N=6 3不 成 立 ，第 三 次 N=6， 能 被 3整 除 ， N= 63 =2 3 成 立 .输 出 N=2.答 案 ： C 5.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 焦 点 为 F， 点 A 在 双 曲 线 的 渐 近 线 上
5、 ， OAF是边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 (O为 原 点 )， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 14 12x y B. 2 2 112 4x y C. 2 2 13x y D. 22 13yx 解 析 ： 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 焦 点 为 F， 点 A 在 双 曲 线 的 渐 近 线 上 ， OAF 是边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 (O为 原 点 )， 可 得 c=2， 3ba ， 即 22ba =3， 2 22c aa =3，解 得 a=1， b= 3 ， 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 在 x轴 ，
6、所 得 双 曲 线 方 程 为 ： 22 13yx . 答 案 ： D6.已 知 奇 函 数 f(x)在 R上 是 增 函 数 .若 a=-f(log2 15 )， b=f(log24.1)， c=f(20.8)， 则 a， b，c的 大 小 关 系 为 ( )A.a b cB.b a cC.c b aD.c a b解 析 ： 奇 函 数 f(x)在 R 上 是 增 函 数 ， a=-f(log 2 15 )=f(log25)， b=f(log24.1)， c=f(20.8)，又 1 20.8 2 log24.1 log25， f(20.8) f(log24.1) f(log25)， 即 c
7、b a.答 案 ： C7.设 函 数 f(x)=2sin( x+ )， x R， 其 中 0， | | x.若 f( 58 )=2， f(118 )=0， 且f(x)的 最 小 正 周 期 大 于 2 ， 则 ( )A. = 23 ， =12B. = 23 ， = 1112 C. = 13 ， = 1124D. = 13 ， = 724 解 析 ： 由 f(x)的 最 小 正 周 期 大 于 2 ， 得 4 2T ，又 f( 58 )=2， f(118 )=0， 得 11 5 34 8 8 4T ， T=3 ， 则 2 3 ， 即 = 23 . f(x)=2sin( x+ )=2sin( 23
8、 x+ )，由 5 2 52sin 28 3 8f ， 得 sin( + 512 )=1. 5 212 2 k ， k Z.取 k=0， 得 =12 . = 23 ， =12 .答 案 ： A 8.已 知 函 数 f(x)= 2 12 1x xx xx ， ， ， 设 a R， 若 关 于 x 的 不 等 式 f(x) | 2x +a|在 R 上 恒 成 立 ，则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.-2， 2B.-2 3 ， 2C.-2， 2 3 D.-2 3 ， 2 3 解 析 ： 根 据 题 意 ， 函 数 f(x)= 2 12 1x xx xx ， ， 的 图 象 如 图 ： 令 g
9、(x)=| 2x +a|， 其 图 象 与 x 轴 相 交 与 点 (-2a， 0)， 在 区 间 (- ， -2a)上 为 减 函 数 ， 在 (-2a， + )为 增 函 数 ，若 不 等 式 f(x) | 2x +a|在 R上 恒 成 立 ， 则 函 数 f(x)的 图 象 在 g(x)上 的 上 方 或 相 交 ，则 必 有 f(0) g(0)， 即 2 |a|， 解 可 得 -2 a 2.答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.已 知 a R， i为 虚 数 单 位 ， 若 2a ii 为 实 数 ， 则 a 的
10、 值 为 .解 析 ： a R， i为 虚 数 单 位 ， 2 2 1 2 2 1 22 2 2 4 1 5 5a i i a a ia i a aii i i .由 2a ii 为 实 数 ， 可 得 2 5a =0， 解 得 a=-2.答 案 ： -210.已 知 a R， 设 函 数 f(x)=ax-lnx 的 图 象 在 点 (1， f(1)处 的 切 线 为 l， 则 l 在 y 轴 上 的 截距 为 .解 析 ： 函 数 f(x)=ax-lnx， 可 得 f (x)=a- 1x ， 切 线 的 斜 率 为 ： k=f (1)=a-1，切 点 坐 标 (1， a)， 切 线 方 程
11、l为 ： y-a=(a-1)(x-1)， l在 y轴 上 的 截 距 为 ： a+(a-1)(-1)=1.答 案 ： 111.已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 ， 若 这 个 正 方 体 的 表 面 积 为 18， 则 这 个 球 的 体积 为 .解 析 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 a， 这 个 正 方 体 的 表 面 积 为 18， 6a 2=18， 则 a2=3， 即 a= 3 ， 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 ， 正 方 体 的 体 对 角 线 等 于 球 的 直 径 ，即 3 a=2R， 即 R= 32 ，
12、 则 球 的 体 积 V= 34 3 93 2 2 .答 案 ： 9212.设 抛 物 线 y 2=4x 的 焦 点 为 F， 准 线 为 l.已 知 点 C 在 l 上 ， 以 C 为 圆 心 的 圆 与 y 轴 的 正 半轴 相 切 于 点 A.若 FAC=120 ， 则 圆 的 方 程 为 .解 析 ： 设 抛 物 线 y2=4x 的 焦 点 为 F(1， 0)， 准 线 l： x=-1， 点 C 在 l 上 ， 以 C 为 圆 心 的 圆与 y 轴 的 正 半 轴 相 切 与 点 A， FAC=120 ， FAO=30 ， 1 1tan 33OFOA FAO ， OA= 3 ， A(0
13、， 3 )，如 图 所 示 ： C(-1， 3)， 圆 的 半 径 为 CA=1， 故 要 求 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x+1)2+(y- 3 )2=1.答 案 ： (x+1)2+(y- 3 )2=113.若 a， b R， ab 0， 则 4 44 1a bab 的 最 小 值 为 .解 析 ： a ， b R ， ab 0 ， 4 4 4 4 2 24 1 2 4 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b a b ab abab ab ab ab ab ， 当 且 仅 当 4 44 14a bab ab ， ， 即 2 22 2 2 14a ba b ， ，即 a= 412
14、 ， b= 418 或 a=- 412 ， b=- 418 时 取 “ =” ； 上 式 的 最 小 值 为 4.答 案 ： 414.在 ABC 中 ， A=60 ， AB=3， AC=2.若 2BD DC ， AE AC AB R ， 且AD AE =-4， 则 的 值 为 . 解 析 ： 如 图 所 示 ， ABC中 ， A=60 ， AB=3， AC=2， 2BD DC ， 2 2 1 23 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ，又 AE AC AB ( R)， 2 21 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3AD AE AB AC AC AB AB
15、AC AB AC 2 21 2 1 23 2 cos60 3 2 43 3 3 3 ， 11 13 ， 解 得 = 311. 答 案 ： 311三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15. 在 ABC中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 asinA=4sinB， ac= 5 (a2-b2-c2).( )求 cosA的 值 ；( )求 sin(2B-A)的 值 .解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 得 asinB=bsinA， 结 合 as
16、inA=4bsinB， 得 a=2b.再 由 ac= 5 (a 2-b2-c2)，得 b2+c2-a2= 55 ac， 代 入 余 弦 定 理 的 推 论 可 求 cosA的 值 ；( )由 ( )可 得 sinA= 2 55 ， 代 入 asinA=4bsinB， 得 sinB， 进 一 步 求 得 cosB.利 用 倍 角 公式 求 sin2B， cos2B， 展 开 两 角 差 的 正 弦 可 得 sin(2B-A)的 值 .答 案 ： ( )由 sin sina bA B ， 得 asinB=bsinA，又 asinA=4bsinB， 得 4bsinB=asinA， 两 式 作 比 得
17、 ： 4a bb a ， a=2b.由 ac= 5 (a2-b2-c2)， 得 b2+c2-a2= 55 ac，由 余 弦 定 理 ， 得 cosA= 2 2 2 5 552 5acb c abc ac ；( )由 ( )， 可 得 sinA= 2 55 ， 代 入 asinA=4bsinB， 得 sinB=asinA4b=55. 由 ( )知 ， A 为 钝 角 ， 则 B 为 锐 角 ， cosB= 2 2 51 sin 5B .于 是 sin2B=2sinBcosB= 45 ， cos2B=1-2sin2B= 35 ，故 sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA= 4
18、5 3 2 5 2 55 5 5 5 5 .16.电 视 台 播 放 甲 、 乙 两 套 连 续 剧 ， 每 次 播 放 连 续 剧 时 ， 需 要 播 放 广 告 .已 知 每 次 播 放 甲 、 乙两 套 连 续 剧 时 ， 连 续 剧 播 放 时 长 、 广 告 播 放 时 长 、 收 视 人 次 如 下 表 所 示 ： 已 知 电 视 台 每 周 安 排 的 甲 、 乙 连 续 剧 的 总 播 放 时 间 不 多 于 600分 钟 ， 广 告 的 总 播 放 时 间 不 少于 30 分 钟 ， 且 甲 连 续 剧 播 放 的 次 数 不 多 于 乙 连 续 剧 播 放 次 数 的 2
19、倍 .分 别 用 x， y表 示 每 周计 划 播 出 的 甲 、 乙 两 套 连 续 剧 的 次 数 .(I)用 x， y列 出 满 足 题 目 条 件 的 数 学 关 系 式 ， 并 画 出 相 应 的 平 面 区 域 ；(II)问 电 视 台 每 周 播 出 甲 、 乙 两 套 连 续 剧 各 多 少 次 ， 才 能 使 总 收 视 人 次 最 多 ？解 析 ： ( )直 接 由 题 意 结 合 图 表 列 关 于 x， y 所 满 足 得 不 等 式 组 ， 化 简 后 即 可 画 出 二 元 一 次不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 ；( )写 出 总 收 视 人 次 z=6
20、0 x+25y.化 目 标 函 数 为 直 线 方 程 的 斜 截 式 ， 数 形 结 合 得 到 最 优 解 ，联 立 方 程 组 求 得 最 优 解 的 坐 标 ， 代 入 目 标 函 数 得 答 案 . 答 案 ： ( )由 已 知 ， x， y满 足 的 数 学 关 系 式 为 70 60 6005 5 30200 x yx yx yxy ， 即 7 6 6062 000 x yx yx yxy ， ，该 二 元 一 次 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 如 图 ： ( )设 总 收 视 人 次 为 z 万 ， 则 目 标 函 数 为 z=60 x+25y.考 虑 z=6
21、0 x+25y， 将 它 变 形 为 125 25zy x ， 这 是 斜 率 为 125 ， 随 z 变 化 的 一 族 平 行 直线 .25z 为 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 ， 当 25z 取 得 最 大 值 时 ， z的 值 最 大 .又 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 由 图 可 知 ， 当 直 线 z=60 x+25y经 过 可 行 域 上 的 点 M时 ， 截 距 25z最 大 ， 即 z最 大 .解 方 程 组 7 6 602 0 x yx y ， 得 点 M 的 坐 标 为 (6， 3). 电 视 台 每 周 播 出 甲 连 续 剧 6次 、 乙 连 续 剧 3
22、 次 时 才 能 使 总 收 视 人 次 最 多 . 17.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， AD 平 面 PDC， AD BC， PD PB， AD=1， BC=3， CD=4， PD=2.(I)求 异 面 直 线 AP 与 BC 所 成 角 的 余 弦 值 ；(II)求 证 ： PD 平 面 PBC； (II)求 直 线 AB 与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )由 已 知 AD BC， 从 而 DAP或 其 补 角 即 为 异 面 直 线 AP与 BC 所 成 的 角 ， 由 此 能 求出 异 面 直 线 AP 与 BC所 成 角 的 余 弦
23、值 .( )由 AD 平 面 PDC， 得 AD PD， 由 BC AD， 得 PD BC， 再 由 PD PB， 得 到 PD 平 面 PBC.( )过 点 D 作 AB 的 平 行 线 交 BC 于 点 F， 连 结 PF， 则 DF与 平 面 PBC所 成 的 角 等 于 AB 与 平 面PBC所 成 的 角 ， 由 PD 平 面 PBC， 得 到 DFP为 直 线 DF和 平 面 PBC所 成 的 角 ， 由 此 能 求 出 直线 AB 与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( )由 已 知 AD BC，故 DAP或 其 补 角 即 为 异 面 直 线 AP与 B
24、C所 成 的 角 .因 为 AD 平 面 PDC， 所 以 AD PD.在 Rt PDA中 ， 由 已 知 ， 得 AP= 2 2 5AD PD ， 故 cos DAP= 55ADAP .所 以 ， 异 面 直 线 AP 与 BC所 成 角 的 余 弦 值 为 55 .( )因 为 AD 平 面 PDC， 直 线 PD 平 面 PDC， 所 以 AD PD.又 因 为 BC AD， 所 以 PD BC，又 PD PB， 所 以 PD 平 面 PBC.( )过 点 D作 AB的 平 行 线 交 BC 于 点 F， 连 结 PF， 则 DF 与 平 面 PBC所 成 的 角 等 于 AB与 平 面
25、 PBC所 成 的 角 .因 为 PD 平 面 PBC， 故 PF为 DF 在 平 面 PBC上 的 射 影 ，所 以 DFP为 直 线 DF和 平 面 PBC所 成 的 角 .由 于 AD BC， DF AB， 故 BF=AD=1，由 已 知 ， 得 CF=BC-BF=2.又 AD DC， 故 BC DC，在 Rt DCF中 ， 可 得 sin DFP= 55PDDF .所 以 ， 直 线 AB 与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 为 55 . 18.已 知 an为 等 差 数 列 ， 前 n 项 和 为 Sn(n N*)， bn是 首 项 为 2 的 等 比 数 列 ， 且 公
26、比 大 于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4.( )求 an和 bn的 通 项 公 式 ；( )求 数 列 a2nbn的 前 n项 和 (n N*).解 析 ： ( )设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q.通 过 b2+b3=12， 求 出 q， 得到 bn=2n.然 后 求 出 公 差 d， 推 出 an=3n-2.( )设 数 列 a 2nbn的 前 n项 和 为 Tn， 利 用 错 位 相 减 法 ， 转 化 求 解 数 列 a2nbn的 前 n 项 和 即 可 .答 案 ： ( )设 等 差 数 列 an的
27、公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q.由 已 知 b2+b3=12， 得b1(q+q2)=12， 而 b1=2， 所 以 q2+q-6=0.又 因 为 q 0， 解 得 q=2.所 以 ， bn=2n.由 b3=a4-2a1， 可 得 3d-a1=8.由 S11=11b4， 可 得 a1+5d=16， 联 立 ， 解 得 a1=1， d=3，由 此 可 得 an=3n-2.所 以 ， an的 通 项 公 式 为 an=3n-2， bn的 通 项 公 式 为 bn=2n.( )设 数 列 a 2nbn的 前 n 项 和 为 Tn， 由 a2n=6n-2， 有 Tn=4 2+1
28、0 22+16 23+ +(6n-2) 2n，2Tn=4 22+10 23+16 24+ +(6n-8) 2n+(6n-2) 2n+1，上 述 两 式 相 减 ， 得-Tn=4 2+6 22+6 23+ +6 2n-(6n-2) 2n+1= 12 1 21 2 n -4-(6n-2) 2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得 T n=(3n-4)2n+2+16.所 以 ， 数 列 a2nbn的 前 n项 和 为 (3n-4)2n+2+16.19.设 a， b R， |a| 1.已 知 函 数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b， g(x)=exf(x).( )求 f(x)的 单 调
29、 区 间 ；( )已 知 函 数 y=g(x)和 y=ex的 图 象 在 公 共 点 (x0， y0)处 有 相 同 的 切 线 ，(i)求 证 ： f(x)在 x=x 0处 的 导 数 等 于 0；(ii)若 关 于 x 的 不 等 式 g(x) ex在 区 间 x0-1， x0+1上 恒 成 立 ， 求 b 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 f(x)的 导 函 数 ， 得 到 导 函 数 的 零 点 ， 由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段 ，列 表 后 可 得 f(x)的 单 调 区 间 ；( )(i)求 出 g(x)的 导 函 数 ， 由 题 意 知
30、 0000 xxg x eg x e ， 求 解 可 得 00 10f xf x ， 得 到 f(x)在x=x 0处 的 导 数 等 于 0；(ii)由 (I)知 x0=a.且 f(x)在 (a-1， a)内 单 调 递 增 ， 在 (a， a+1)内 单 调 递 减 ， 故 当 x0=a 时 ，f(x) f(a)=1 在 a-1， a+1上 恒 成 立 ， 从 而 g(x) ex 在 x0-1， x0+1上 恒 成 立 .由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1， 得 b=2a3-6a2+1， -1 a 1.构 造 函 数 t(x)=2x3-6x2+1， x -1，1， 利 用 导
31、 数 求 其 值 域 可 得 b的 范 围 .答 案 ： ( )由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b， 可 得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a)，令 f(x)=0， 解 得 x=a， 或 x=4-a.由 |a| 1， 得 a 4-a. 当 x 变 化 时 ， f(x)， f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ： f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， a)， (4-a， + )， 单 调 递 减 区 间 为 (a， 4-a)；( )(i) g(x)=ex(f(x)+f(x)， 由 题 意 知 0 000 xxg x eg x e ，
32、 0 00 00 0 0 x xx xf x e ee f x f x e ， ，解 得 00 10f xf x ， f(x)在 x=x0处 的 导 数 等 于 0；(ii) g(x) ex， x x0-1， x0+1， 由 ex 0， 可 得 f(x) 1.又 f(x 0)=1， f(x0)=0，故 x0为 f(x)的 极 大 值 点 ， 由 (I)知 x0=a.另 一 方 面 ， 由 于 |a| 1， 故 a+1 4-a，由 ( )知 f(x)在 (a-1， a)内 单 调 递 增 ， 在 (a， a+1)内 单 调 递 减 ，故 当 x0=a 时 ， f(x) f(a)=1 在 a-1，
33、 a+1上 恒 成 立 ， 从 而 g(x) ex在 x0-1， x0+1上 恒 成立 .由 f(a)=a 3-6a2-3a(a-4)a+b=1， 得 b=2a3-6a2+1， -1 a 1.令 t(x)=2x3-6x2+1， x -1， 1， t(x)=6x2-12x，令 t(x)=0， 解 得 x=2(舍 去 )， 或 x=0. t(-1)=-7， t(1)=-3， t(0)=1， 故 t(x)的 值 域 为 -7， 1. b 的 取 值 范 围 是 -7， 1.20.已 知 椭 圆 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 焦 点 为 F(-c， 0)， 右 顶 点 为 A，
34、点 E 的 坐 标 为 (0，c)， EFA的 面 积 为 22b . (I)求 椭 圆 的 离 心 率 ；(II)设 点 Q 在 线 段 AE 上 ， |FQ|= 32 c， 延 长 线 段 FQ 与 椭 圆 交 于 点 P， 点 M， N 在 x 轴 上 ， PM QN， 且 直 线 PM与 直 线 QN 间 的 距 离 为 c， 四 边 形 PQNM的 面 积 为 3c.(i)求 直 线 FP 的 斜 率 ；(ii)求 椭 圆 的 方 程 . 解 析 ： ( )设 椭 圆 的 离 心 率 为 e.通 过 212 2bc a c .转 化 求 解 椭 圆 的 离 心 率 .( )( )依
35、题 意 ， 设 直 线 FP的 方 程 为 x=my-c(m 0)， 则 直 线 FP 的 斜 率 为 1m .通 过 a=2c，可 得 直 线 AE的 方 程 为 2x yc c =1， 求 解 点 Q 的 坐 标 为 ( 2 22m cm ， 3 2cm ).利 用 |FQ|= 32c ，求 出 m， 然 后 求 解 直 线 FP的 斜 率 .(ii)求 出 椭 圆 方 程 的 表 达 式 你 ， 求 出 直 线 FP 的 方 程 为 3x-4y+3c=0， 与 椭 圆 方 程 联 立 通 过|FP|= 22 3 52 2c cc c ， 结 合 直 线 PM和 QN 都 垂 直 于 直
36、线 FP.结 合 四 边 形 PQNM的 面 积 为 3c， 求 解 c， 然 后 求 椭 圆 的 方 程 .答 案 ： ( )设 椭 圆 的 离 心 率 为 e.由 已 知 ， 可 得 212 2bc a c .又 由 b2=a2-c2， 可 得2c2+ac-a2=0， 即 2e2+e-1=0.又 因 为 0 e 1， 解 得 e= 12 .所 以 ， 椭 圆 的 离 心 率 为 12 ；( )( )依 题 意 ， 设 直 线 FP 的 方 程 为 x=my-c(m 0)， 则 直 线 FP 的 斜 率 为 1m .由 ( )知 a=2c， 可 得 直 线 AE的 方 程 为 2x yc c
37、 =1， 即 x+2y-2c=0， 与 直 线 FP 的 方 程 联 立 ，可 解 得 x= 2 22m cm ， y= 3 2cm ， 即 点 Q 的 坐 标 为 ( 2 22m cm ， 3 2cm ). 由 已 知 |FQ|= 32c ， 有 2 2 22 2 3 32 2 2m c c ccm m ， 整 理 得 3m2-4m=0， 所 以 m= 43 ，即 直 线 FP 的 斜 率 为 34 .(ii)由 a=2c， 可 得 b= 3 c， 故 椭 圆 方 程 可 以 表 示 为 2 22 2 14 3x yc c .由 (i)得 直 线 FP 的 方 程 为 3x-4y+3c=0，
38、 与 椭 圆 方 程 联 立 2 22 23 4 3 014 3x y cx yc c ， 消 去 y， 整 理 得7x 2+6cx-13c2=0， 解 得 x=- 137c (舍 去 )， 或 x=c.因 此 可 得 点 P(c， 32c )， 进 而 可 得|FP|= 22 3 52 2c cc c ， 所 以 |PQ|=|FP|-|FQ|= 5 32 2c c =c.由 已 知 ， 线 段 PQ的 长 即为 PM 与 QN这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 ， 故 直 线 PM和 QN 都 垂 直 于 直 线 FP. 因 为 QN FP， 所 以 |QN|=|FQ| tan QFN 3 3 92 4 8c c ， 所 以 FQN的 面 积 为 21 272 32cFQ QN ，同 理 FPM的 面 积 等 于 27532c ， 由 四 边 形 PQNM的 面 积 为 3c， 得 2 275 27 332 32c c c ， 整 理 得 c2=2c，又 由 c 0， 得 c=2.所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 2 2 116 12x y .
