1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） N 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 参考公式 : 如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率是 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 球的体积公式 3 4 3 VR= ,球的表面积公式 2 4SR= ，其中 R 表示球的半径 第卷 （选择题） 一选择题：本大题共 10
2、小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1不等式 2 x x 的解集是 A (),0 B. ( )0,1 C. ()1, + D. ( ) ( ),0 1,+ 2若 O、 E、 F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A EFOFOE=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull B. EFOFOE= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull C. EFOFOE= + nullnullnullnull nulln
3、ullnullnull nullnullnullnull D. EFOFOE= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 3. 设 () 2 :400pb ac a， ( ) 2 :00q x ax bx c a+ += 关于 的方程 有实根， 则 p 是 q 的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4在等比数列 ( ) n anN 中，若 14 1 1, 8 aa= = ，则该数列的前 10 项和为 A 8 1 2 2 B. 9 1 2 2 C. 10 1 2 2 D. 11 1
4、2 2 5在 ()()1 n x nN +的二项展开式中，若只有 5 x 的系数最大，则 n= A8 B. 9 C. 10 D.11 6如图 1，在正四棱柱 111 1 ABCD ABC D 中，E、F 分别是 11 AB C、B 的中点，则以下结论中不成立的是 A 1 EF BB与垂直 B. EF BD与垂直 C. EF与CD异面 D. EF 11 与A C 异面 7根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2） ，从 图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A48 米 B. 49米 C. 50米 D. 51 米 8函数 2 44
5、() 43 x fx x x = + 1 1 x x 的图象和函数 2 () loggx x= 的图象的交点个数是 A1 B.2 C.3 D. 4 9 设 12 FF、 分别是椭圆 () 22 22 10 xy ab ab +=的左、 右焦点， P是其右准线上纵坐标为 3c （ c为半焦距）的点，且 12 2 FFFP= ，则椭圆的离心率是 A 31 2 B. 1 2 C. 51 2 D. 2 2 10. 设集合 1, 2, 3, 4, 5, 6M = ， 12 SS M k 、 、 、S 都是 的含两个元素的子集，且满 足：对任意的 ( ), , , 1,2,3, iiij jj SabSa
6、bijij k=null、 ，都有 ()min , min , min , jj ii ii j j ab ab xy ba ba 表示两个数x、y中的较小者 .则 k 的最大值 图 1 是 A10 B.11 C. 12 D. 13 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上 . 11. 圆心为 ()1,1 且与直线 4xy+=相切的圆的方程是 . 12. 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 abc、 ，若 1, 3, 3 ac C = =，则 A= . 13. 若 2 3 2 3 4 0, , log 9 aa a= =则 . 14. 设集合
7、 () ( ) ,| | 2|, 0, ,| ,A xy y x x B xy y x b A B=+， （1） b 的取值范围是 . （2）若 (),x yAB 且 2x y+ 的最大值为 9，则 b 的值是 . 15.棱长为 1 的正方形 111 1 ABCD ABC D 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积 是 ；设 E、F 分别是该正方形的棱 11 AA、DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段 长为 . 三解答题：本大题共小题，共 75 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分分） 已知函数 () 2 1 2sin 2sin c
8、os 888 fx x x x = + + + + .求： ()函数 ()f x 的最小正周期； （）函数 ()f x 的单调增区间. 17.（本小题满分分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下 岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有 60%， 参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相 互之间没有影响. ()任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； ()任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率. 18.（本小题满分 4 分） 如图 3，已知
9、直二面角 PQ ， PQA ， B ， C ， CBCA= ， = 45BAP ，直线 CA 和平面 所成的角为 30 null . ()证明 BCPQ ； ()求二面角 B AC P 的大小. 19.（本小题满分 13 分） 已知双曲线 22 2xy = 的右焦点为 F，过点 F 的动直线与双曲线相交与 A、 B 两点， 点 C 的坐标是（ 1， 0）. （）证明 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull 为常数； （）若动点 M CM CA CB CO=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulln
10、ullnullnullnullnull 满足 （其中 O为坐标原点） ， 求点 M 的轨迹方程. 20.（本小题满分 13 分） 设 n S 是数列 n a *)( Nn 的前 n项和， aa = 1 ，且 2 1 22 3 += nnn SanS ， 0 n a ， null,4,3,2=n 。 （）证明数列 2 (2) nn aan + 是常数数列； （）试找出一个奇数 a，使以 18 为首项， 7 为公比的等比数列 ( ) n bnN 中的所有项 都是数列 n a 中的项，并指出 n b 是数列 n a 中的第几项. 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 () 32 11 32 f
11、x x ax bx= +在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内各有一个极值点. （）求 2 4ab 的最大值； （）当 2 48ab=时，设函数 ( )yfx= 在点 ( ) ( ) 1, 1Af 处的切线为 l，若在点 A 处穿 过 ()yfx= 的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 ( )yfx= 运动，经过点 A 时，从 l的一侧进入另一侧） ，求函数 ( )f x 的表达式. 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9
12、.D 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11. 2)1()1( 22 =+ yx 12. 6 13.3 14.（1） )+,2 （2） 2 9 15. 3 ， 2 三、解答题 16.解： ) 4 2sin() 4 2cos()( += xxxf xxx 2cos2) 2 2sin(2) 44 2sin(2 =+=+= () 函数 ()f x 的最小正周期是 = 2 2 T （）当 kxk 222 ，即 kxk 2 （ Zk ）时， 函数 xxf 2cos2)( = 是增函数， 故函数 ()f x 的单调增区间是 , 2 kk （ Zk ） 17.
13、()解法一 任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1.025.04.0)()()( 1 = BPAPBAPP 所以该人参加过培训的概率是 9.01.011 1 =P 解法二 任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 45.075.04.025.06.0)()()( 2 =+=+=+= BAPBAPBABAPP 该人参加过两项培训的概率是 45.075.06.0)()()( 3 = BPAPBAPP 所以该人参加过培训的概率是 9.045.045.0 32 =+=+PP () 解法一 任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 243.01.09.0
14、22 34 =CP 3 人都参加过培训的概率是 729.09.0 33 35 =CP 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.0729.0243.0 54 =+=+PP 解法二 任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 027.01.09.0 21 36 =CP 3 人都没有参加过培训的概率是 001.01.0 3 7 =P 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.0001.0027.011 76 = PP 18. ()证明：在平面 内过点 C 作 CO PQ 于点 O，连结 OB， 因为 ， PQ= ，所以 CO 又因为 CA=CB，所
15、以 OA=OB， 而 = 45BAO ， 所以 = 45ABO ， = 90AOB ， 从而 BO PQ，又 CO PQ， 所以 PQ平面 OBC， 因为 BC 平面 OBC，故 BCPQ ()解： 解法一 由()知， BO PQ，又 ， PQ= ， BO ，所 以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H，连结 BH，由三垂线定理知： BH AC， 故 BHO 是二面角 B AC P的平面角。 由()知， CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，即 = 30CAO 不妨设 AC=2，则 3=AO ， 2 3 30sin = AOOH 在 OABRt 中， = 45BAOABO ，所
16、以 3= AOBO 于是在 BOHRt 中， 2 2 3 3 tan = OH BO BHO 故二面角 B AC P的大小为 2arctan 解法二 由()知： OAOC ， OBOC ， OBOA ， 故可以 O 为原点，分别以直线 OB、 OA、 OC 为 x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图） 。 因为 CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所 成的角，即 = 30CAO ， 不妨设 AC=2，则 3=AO ， 1=CO 在 OABRt 中， = 45BAOABO ， 所以 3= AOBO 则相关各点的坐标分别是 )0,0,0(O ， )0,0,3(B ， )0,3,0(A
17、 ， )1,0,0(C 所以 )0,3,3( =AB ， )1,3,0( =AC 设 ),( 1 zyxn = 是平面 ABC 的一个法向量，由 = = 0 0 1 1 ACn ABn 得： =+ = 03 033 zy yx 取 1=x ，得 )3,1,1( 1 =n 。易知 )0,0,1( 2 =n 是平面 的一个法向量 设二面角 B AC P的平面角为 ，由图可知， 21 ,nn= 所以 5 5 15 1 cos 21 21 = = = nn nn 故二面角 B AC P的大小为 5 5 arccos 19. 解：由条件知 )0,2(F ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yx
18、B （）当 AB 与 x轴垂直时，可设点 A、 B 的坐标分别为 )2,2( 、 )2,2( ， 此时 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull 1)2,1()2,1( = 当 AB 不与 x轴垂直时，设直线 AB 的方程是 )2( = xky )1( k 代入 22 2xy=，有 0)24(4)1( 2222 =+ kxkxk 则 1 x ， 2 x 是上述方程的两实根，所以 1 4 2 2 21 =+ k k xx ， 1 24 2 2 21 + = k k xx 于是 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull )2)
19、(2()1)(1()1)(1( 21 2 212121 +=+= xxkxxyyxx 14)(12()1( 2 21 2 21 2 += kxxkxxk 14 1 )12(4 1 )24)(1( 2 2 22 2 22 + + + = k k kk k kk 114)24( 22 =+= kk 综上所述， CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull 为常数 1 （） 解法一 设 ),( yxM ，则 ),1( yxCM = ， ),1( 11 yxCA = ， ),1( 22 yxCB = ， )0,1(=CO ，由 COCBCACM += 得： += +=
20、21 21 31 yyy xxx ，即 =+ +=+ yyy xxx 21 21 2 于是 AB 的中点坐标为 ) 2 , 2 2 ( yx+ 当 AB 不与 x轴垂直时， 2 2 2 2 2 21 21 = + = x y x y xx yy ，即 )( 2 2121 xx x y yy = 又因为 A、 B 两点在双曲线上，所以 = = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx ，两式相减得 )()( 21212121 yyyyxxxx +=+ ，即 yyyxxx )()2)( 2121 =+ 将 )( 2 2121 xx x y yy = 代入上式，化简得 4 22 = yx
21、当 AB 与 x轴垂直时， 2 21 = xx ，求得 )0,2(M ，也满足上述方程 所以点 M 的轨迹方程是： 4 22 = yx 解法二 同 解法一 得 =+ +=+ yyy xxx 21 21 2 当 AB 不与 x轴垂直时，由（）有 1 4 2 2 21 =+ k k xx 1 4 )4 1 4 ()4( 22 2 2121 = =+=+ k k k k kxxkyy 由得： 1 4 2 2 2 =+ k k x ， 1 4 2 = k k y 当 0k 时， 0y ，由、得： k y x = + 2 ，将其代入有 222 2 )2( )2(4 1 )2( 2 4 yx xy y x
22、 y x y + + = + + = ，整理得： 4 22 = yx 当 0=k 时，点 M 的坐标为 )0,2( ，满足上述方程 当 AB 与 x轴垂直时， 2 21 = xx ，求得 )0,2(M ，也满足上述方程 故点 M 的轨迹方程是： 4 22 = yx 20. 解： （）当 2n 时，由已知得 nnn anSS 22 1 2 3= 0 1 = nnn SSa ， 2 1 3nSS nn =+ 于是 2 1 )1(3 +=+ + nSS nn 由得： 36 1 +=+ + naa nn 于是 96 12 +=+ + naa nn 由得： 6 2 = + nn aa 即数列 2 (2)
23、 nn aan + 是常数数列。 （）由有 12 12 =+SS ，所以 aa 212 2 = 由有 15 23 =+aa ，所以 aa 23 3 += 而表明：数列 k a 2 和 12 +k a 分别是以 2 a 、 3 a 为首项，6 为公差的等差数列， 所以 6266)1( 22 +=+= akkaa k ， 3266)1( 312 +=+= + akkaa k ， *Nk 由题设知， 1 718 = n n b 当 a为奇数时， 12 +k a 为奇数，而 n b 为偶数，所以 n b 不是数列 12 +k a 中的项， n b 只可能是 k a 2 中的项。 若 18 1 =b 是
24、数列 k a 2 中的第 0 k 项，由 62618 0 += ak 得 63 0 = ka ， 取 3 0 =k 得： 3=a ，此时 ka k 6 2 = ，由 kn ab 2 = 得 k n 6718 1 = ， *73 1 Nk n = ，从而 n b 是数列 n a 中的第 1 76 n 项。 （注：考生取满足 63 0 = ka ， * 0 Nk 的任一奇数，说明 n b 是数列 n a 中的第 2 3 2 76 1 + a n 项即可） 21. 解： （）因为函数 () 32 11 32 f x x ax bx=+ +在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内分别有一个极值点， 所
25、以 baxxxf += 2 )( 在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内分别有一个实根。 设两实根为 1 x ， 2 x （ 1 x 2 x ） ，则 baxx 4 2 12 = ，且 40 12 xx 于是 440 2 ba ， 1640 2 ba ， 且当 1 1 =x ， 3 2 =x ，即 2=a ， 3=b 时等号成立。 故 2 4ab 的最大值是 16 （） 解法一 由 baf += 1)1( 知 )(xf 在点 ( )( )1, 1Af 处的切线 l的方程是 )1)(1()1( = xffy ，即 axbay 2 1 3 2 )1( += 因为切线 l在点 A 处穿过 ( )y
26、fx= 的图象 所以 2 1 3 2 )1()()( axbaxfxg += 在 1=x 两边附近的函数值异号， 则 1=x 不是 )(xg 的极值点。 而 axbabxaxxxg 2 1 3 2 )1( 2 1 3 1 )( 23 += ， 且 )1)(1(1)1()( 22 axxaaxxbabaxxxg +=+=+= 若 a 11 ，则 1=x 和 ax = 1 都是 )(xg 的极值点， 所以 a= 11 ，即 2=a ，又由 2 48ab = 得 1=b 故 xxxxf = 23 3 1 )( 解法二 同 解法一 得 2 1 3 2 )1()()( axbaxfxg += ) 2 3
27、 2() 2 3 1()1( 3 1 2 ax a xx += 因为切线 l在点 A 处穿过 ()yfx= 的图象，所以 )(xg 在 1=x 两边附近的函数值异号， 于是存在 1 m ， 2 m （ 21 1 mm ） ， 当 1 1 xm 时， 0)( xg ，当 2 1 mxxg 或当 1 1 xg ，当 2 1 mx 时， 0)( xg 设 ) 2 3 2() 2 3 1()( 2 ax a xxh += ，则 当 1 1 xh ，当 2 1 mxxh 或当 1 1 xm 时， 0)( xh ，当 2 1 mx 时， 0)( xh 由 0)1( =h 知 1=x 是 )(xh 的极值点，则 0 2 3 112)1( =+= a h ， 所以 2=a ，又由 2 48ab=得 1=b ， 故 xxxxf = 23 3 1 )(
