1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 至第4 页。全卷满分 l50 分，考试时间 l20 分钟。 参考公式： S表示底面积，h表示底面上的高 如果事件A与B 互斥，那么 棱柱体积V=Sh P(A+B)=P(A)+P(B） 棱锥体积V= 1 3 Sh 第 卷( 选择题 共 50分 ) 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的 (1)若A= |10 xx+ ，B= |30 xx 0 ,b0,a+b=2，
2、则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的 是 . (写出所有正确命题的编号 ) ab1； a + b 2 ； a 2 +b 2 2； a 3 +b 3 3; 2 11 + ba 答案：, 解析：,化简后相同，令a=b=1排除、易知 ，再利 用 22 a+b 22 ab+ 易知正确 三、解答题：本大题共 6 小题共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤解答写在答题卡上的指定区域内 . (16) ABC 的面积是 30，内角 A,B,C,所对边长分别为 a， b， c， cosA= 12 13 . (1)求 ABAC uuuv uuuv (2)若 c-b=1，求 a 的值 .
3、（本小题满分 12 分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向 量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力 . 解：由 cosA= 12 13 ，得 sinA= )2 13 12 ( 1 = 5 13 . 又 1 2 bc sinA=30， bc=156. （ 1） AB AC uuuvuuuv =bc cosA=156 12 13 =144. （ 2） a 2 =b 2 +c 2 -2bc cosA=(c-b) 2 +2bc(1-cosA)=1+2156(1- 12 13 )=25， a=5 （ 17）椭圆 E 经过点 A（ 2,3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F 1 ， F
4、 2 在 x 轴上，离心率 2 1 =e . (1)求椭圆 E 的方程； (2)求 F 1 AF 2 的角平分线所在直线的方程 . （本小题满分 12 分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质， 直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何 的基本思想和综合运算能力 . 解： （ 1）设椭圆 E 的方程为 22 22 1 xy ab + = 由 e= 1 2 ，得 c a = 1 2 ， b 2 =a 2 -c 2 =3c 2 . 22 22 1 43 xy cc += 将 A（ 2,3）代入，有 22 13 1 cc + = ，解得： c=2, 椭圆 E
5、 的方 程为 22 1 16 12 xy += （）由( )知 F 1 （ -2,0） ， F 2 （ 2,0） ，所以直线 AF 1 的方程为 y= 3 4 (X+2)， 即 3x-4y+6=0. 直线 AF 2 的方程为 x=2. 由椭圆 E 的图形知， F 1 AF 2 的角平分线所在直线的斜率为正数 . 设 P（ x， y）为 F 1 AF 2 的角平分线所在直线上任一点， 则有 346 2 5 xy x |+ =| 若 3x-4y+6=5x-10，得 x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去 . 于是 3x-4y+6=-5x+10，即 2x-y-1=0. 所以 F 1 AF 2
6、的角平分线所在直线的方程为 2x-y-1=0. 空气污染指数 18、 （本小题满分 13 分） 某市 2010 年 4 月 1 日 4 月 30 日对空气 污染指数的检测数据如下（主要污 染物为可吸入颗粒物） : 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, ( ) 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污 染指数在 050 之间时 ，空气质量为优：在 51100 之 间时，为良；在 101150 之间时，为轻微污染；在 1512
7、00 之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对 该市的空气质量给出一个简短评价 . （本小题满分 13 分）本题考查频数，频数及频率分布直方图，考查运用统计知 识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识 . 解：( ) 频率分布表： （）频率分布直方图： （）答对下述两条中的一条即可： （ i）该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的 1 15 . 有 26 天处于良好的水平，占当月天数的 13 15 . 处于优或良的天数共有 28 天，占当月天 分 组 频 数 频 率 41,51) 2 2 30 51,61) 1 1 30 61,71) 4 4 30 7
8、1,81) 6 6 30 81,91) 10 10 30 91,101) 5 5 30 101,111) 2 2 30 10 300 4151 61 71 81 91 101 111 频率 组距 数的 14 15 . 说明该市空气质量基本良好 . （ ii）轻微污染有 2 天，占当月天数的 1 15 . 污染指数在 80 以上的接近轻微污染 的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的 17 30 ，超 过 50%. 说明该市空气质量有待进一步改善 . (19) (本小题满分 13 分 ) 如图， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形， AB=2
9、EF=2， EFAB,EF FB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点， ( )求证： FH平面EDB; （）求证： AC平面EDB; （）求四面体 B DEF 的体积； （本小题满分 13 分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计 算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力 . ( ) 证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点 . 连 EG， GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GHAB且 GH= 1 2 AB 又 EFAB且 EF= 1 2 AB EFGH. 且 EF=GH 四边形EFHG为平行四边形. EGFH，而EG 平面EDB，FH平面E
10、DB. （）证：由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC. 又EFAB， EFBC. 而 EFFB， EF平面BFC， EFFH. ABFH.又BF=FC H为BC的中点， FHBC. FH平面ABCD. FHAC. 又FHEG， ACEG. 又 ACBD，EGBD=G， AC平面EDB. （）解： EFFB，BFC=90， BF平面CDEF. BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, BF=FC= 2 11 1 .1.2.2 32 3 BDEF V = （ 20） （本小题满分 12 分） 设函数 f（ x） = sinx-cosx+x+1, 0 x2 ,求函数f(x)的单调区间与
11、极值. （本小题满分 12 分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值 的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力 . 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0 x2 , 知 ( )f x =cosx+sinx+1， 于是 ( )f x =1+ 2 sin(x+ 4 ). 令 ( )f x =0，从而sin(x+ 4 )=- 2 2 ，得x= ，或x= 3 2 . 当 x 变化时， ( )f x ，f(x)变化情况如下表： X (0, ) （ ， 3 2 ） 3 2 （ 3 2 ，2 ） ( )f x + 0 - 0 + f(x) 单调递增 +2 单调递减 3 2 单调递增
12、因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, ）与（ 3 2 ，2 ） ，单调递减区 间是（ ， 3 2 ） ，极小值为f（ 3 2 ）= 3 2 ，极大值为f（ ）= +2. （21） （本小题满分 13 分) 设 1c ， 2c ., nc ,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上， 且都与直线y= 3 3 x相切， 对每一个正整数n,圆 nc 都与圆 1nc + 相互外切， 以 nr 表 示 nc 的半径，已知 nr 为递增数列. ()证明： nr 为等比数列； （）设 1r =1，求数列 n n r 的前n项和. （本小题满分 13 分）本题考查等比数列的基本知识，利用错位
13、相减法求和等基 本方法，考查抽象能力以及推理论证能力 . 解：()将直线y= 3 3 x的倾斜角记为 ， 则有tan = 3 3 ，sin = 1 2 . 设C n 的圆心为（ n ， 0） ，则由题意知 n n = sin = 1 2 ，得 n = 2 n ；同理 11 2 nn+ =，题意知 111 2 n nnn n+ =+=将 n = 2 n 代入，解得 r n+1 =3r n . 故 r n 为公比q=3的等比数列. （）由于 r 1 =1， q=3，故 r n =3 n-1 ，从而 n n r =n 1 3 n ， 记 S n = 12 12 n n + ， 则有 S n =1+23 -1 +33 -2 +n 1 3 n . 3 Sn =13 -1 +23 -2 +(n-1) 1 3 n +n 3 n . -，得 3 Sn2 =1+3 -1 +3 -2 + 1 3 n -n 3 n = 13 2 3 n - n 3 n = 3 2 (n+ 3 2 ) 3 n S n = 9 4 1 2 (n+ 3 2 ) 1 3 n .
