1、2015年课时同步练习（浙教版）九年级上 3.1圆 2（带解析） 选择题 在锐角 ABC中， a、 b、 c分别表示为 A、 B、 C的对边， O为其外心，则 O点到三边的距离之比为（ ） A.a： b： c B. C.cosA： cosB： cosC D.sinA： sinB： sinC 答案： C 试题分析：此题可分别过三角形的三个顶点作 O的直径，在构建的直角三角形中，根据圆周角定理和三角形中位线定理来求得三条弦心距的比例关系 解：如图，过 A作 O的直径 AG，连接 BG，设 O的半径为 R； AG是 O的直径， ABG=90； OD AB， OD BG； 又 O是 AG的中点， OD
2、是 ABG的中位线，即 BG=2OD； Rt ABG中， G= C， BG=AG cosG=2R cosC； OD=R cosC，即 O到 AB边的距离为 R cosC； 同理可证得： OE=R cosA， OF=R cosB； 点 O到三边的距离之比为：（ R cosA）：（ R cosB）：（ R cosC） =cosA：cosB： cosC； 故选 C 点评：此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识的 综合应用；能够正确的构建出与所求相关的直角三角形是解答此题的关键 填空题 ABC中， C=90， AC=5， BC=8，以 C为圆心， r为半径作圆，
3、使点 A在圆内，点 B在圆外，则半径 r的取值范围为 答案： r 8 试题分析：当点 A在圆内时点 A到点 C的距离小于圆的半径，点 B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围 解：当点 A在圆内时点 A到点 C的距离小于圆的半径，即： r 5； 点 B在圆外时点 B到圆心的距离应该大于圆的半径，即： r 8； 故答案：为： 5 r 8 点评：本题考查了点与 圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系 如图， AB是 O的直径， C=20，则 BOC的度数是 答案： 试题分析：由于 OC=OA，所以 C= A=20， BOC是 AOC的外角，所以 BO
4、C= A+ C=40 解： OC=OA， C= A， C=20， A= C=20， BOC= A+ C=40 故答案：为： 40 点评：本题考查了圆的认识和三角形的外角性质，解题的关键是利用半径相等这一隐含条件，得到等角，再利用外角的性质解答 一个直角三角形的两条直角边长是方程 x2-7x+12=0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于 答案： .5 试题分析：根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程 x2-7x+12=0的两个根，解可得方程 x2-7x+12=0的两个根为 3与 4；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为 5；故半径等于 2.5 解：解可得方程 x2-7x+12=0得
5、， x1=3， x2=4， 斜边边长为 5， 即直角三角形外接圆的直径是 5， 半径等于 2.5 点评：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆 是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆 “三点定圆 ”的含义是： 的三点确定一个圆 答案：不在同一直线上 试题分析：根据确定圆的条件直接回答即可 解： “三点定圆 ”的含义是：不在同一直线上的三点确定一个圆 故答案：为：不在同一直线上 点评：本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟知确定圆的条件 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段 AB的最小覆盖圆就是以线段 AB为直径的圆若在 ABC中，
6、 AB=5，AC=3， BC=4，则 ABC的最小覆盖圆的半径是 ；若在 ABC中， AB=AC，BC=6， BAC=120，则 ABC的最小覆盖圆的半径是 答案： 试题分析：根据最小覆盖圆的概念知：三角形是锐角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是三角形 ABC的外接圆；三角形是钝角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是以 BC为直径的圆由勾股定理的逆定理，知 AB=5， AC=3， BC=4的三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半，即可求解； 解：如图 1，要求 ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径 AB=5， AC=3， BC=4 ABC是直角三角形 其外接圆的半
7、径，即为斜边的一半，是 2.5； 如图 2， ABC的最小覆盖圆的半径是 BC边的一半，即 6=3； 故答案：是： 3 点评：考查了直角三角形和等腰三角形的外接圆的半径的求法 在 ABC中， ACB=90 AC=2cm， BC=4cm， CM是斜边中线，以 C为圆心以 cm长为半径画圆，则 A、 B、 M三点在圆的外是 ，在圆上的是 答案：点 B，点 M 试题分析：先求出 AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得 CM的长；再由点与圆的位置关系，确定出点三点与 C的位置关系 解： ACB=90， AC=2cm， BC=4cm， AB= =2 ， CM是中线， CM= AB= ，
8、 2 4 在圆外的是点 B，在圆上的是点 M 故答案：为：点 B，点 M 点评：本题考查了点与圆的位置关系： 点 P在 O上； 点 P在 O内； 点 P在 O外，及勾股定理的运用 一点到圆周上点的最大距离为 18，最短距离为 2，则这个圆的半径为 答案：或 8 试题分析：分点在圆内和圆外两种情况，当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，然后求出半径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径，然后求出半径 解：当点在圆内时，圆的直径为 18+2=20，所以半径为 10 当点在圆外时，圆的直径为 18-2=16，所以半径为 8 故答案：是： 10或 8 点评：本题考查的是点与圆的位置关系
9、，根据点到圆的最大距离和最小距离，求出圆的直径，然后得到圆的半径 已知 ABC中， AB=5cm， BC=4cm， AC=3cm，那么 ABC的外接圆半径为 cm 答案： .5 试题分析：根据勾股定理的逆定理求出 ACB是直角三角形，根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，代入求出即可 解： BC2+AC2=42+32=25， AB2=52=25， BC2+AC2=AB2， C=90， ACB是直角三角形， 其外接圆的半径是 AB= 5=2.5 故答案：为： 2.5 点评：本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的外接圆与外心等知识点的理解和掌握，考查学生能否判断出三角形 ACB是直角三角形，即
10、如果BC2+AC2=AB2，那么 C=90，注意直角三角形的外接圆的半径等于直角三角形斜边长的一半 两个圆的直径比是 2： 5，这两个圆的周长之比是 ，面积比是 答案： 5； 4： 25 试题分析：利用所有的圆都相似得到直径比为 2： 5的两圆的相似比为 2： 5，据相似多边形的性质可以求得其周长之比和面积之比 解： 直径比是 2： 5的两个圆相似， 相似比为 2： 5， 相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， 两圆的周长之比为 2： 5，面积的比等于 4： 25， 故答案：为 2： 5； 4： 25 点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是判定两圆相似并利用相似多边形的性质得
11、到面积之比和周长之比 若 O的半径为 5， OP=4，则点 P与 O的位置关系为 答案：圆内 试题分析：点在圆上，则 d=r；点在圆外， d r；点在圆内， d r（ d即点到圆心的距离， r即圆的半径） 解： OP=4 6，故点 P与 O的位置关系是点在圆内 故答案：为圆内 点评：本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键 在半径为 1的 O中，弦 AB长 ，则 AOB的度数为 答案： 试题分析：根据勾股定理的逆定理可以证明 OAB是直角三角形，由此即可得到 AOB的度数 解：如图，在 O中， OA=OB=1cm，而 AB= cm， OA2+OB2
12、=AB2， OAB是直角三角形， AOB=90， 故答案：为 90 点评：考查了圆的性质及勾股定理的逆定理的应用，也可以利用垂径定理求解 ABC的边长 AB=1厘米， AC= 厘米， BC= 厘米，则其外接圆的半径是 答案： 厘米 试题分析：根据勾股定理的逆定理求出 CAB=90，根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求出即可 解： AB2+AC2=12+（ ） 2=3， BC2=（ ） 2=3， AB2+AC2=BC2， CAB=90， ABC的外接圆的半径等于 AD（或 BD或 CD）的长，是 BC= 厘米， 故答案：为： 厘米 点评：本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形
13、的外接圆等知识点，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 已知 O的周长为 9，当 PO= 时，点 P在 O上 答案： .5 试题分析：根据圆上点，圆内点和圆外点到圆心的距离与圆的半径的大小关系，可以确定点 P的位置 解： O的周长为 9， O的半径为 4.5， 圆上点到圆心的距离等于半径，所以当 PO=4.5时， P点在圆上 故答案：为： 4.5 点评：本题考查的是点与圆的位置关系，把点到圆心的距离与圆的半径进行大小比较，得到点与圆的位置关 系 直角三角形的两边是 6和 8，则它的外接圆的直径为 答案：或 8 试题分析：有两种情况：（ 1）当两直角边是 6和 8时，求出 AB长即可得到
14、答案：；（ 2）当一个直角边是 6，斜边是 8时，即可得出答案： 解：此题有两种情况：（ 1）当两直角边是 6和 8时，由勾股定理得： AB= =10， 此时外接圆的半径是 5，直径是 10； （ 2）当一个直角边是 6，斜边是 8时， 此时外接圆的半径是 4，直径是 8 故答案：为： 10或 8 点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，勾股定理等知识点，解此题的关键是知道直角三角形的外接圆的半径等于斜边的长，求出斜边长即可，用的数学思想是分类讨论思想 在 ABC中， C=90， AB=5， BC=4，以 A为圆心，以 3为半径作圆，则点 C与 A的位置关系为 答案：点 C在 A上 试题分析
15、：根据勾股定理求出 AC 的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可 解：由勾股定理得： AC= = =3， AC=3=3， 点 C与 A的位置关系是点 C在 A上， 故答案：为点 C在 A上 点评：本题考查了点与圆的位置关 系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是 r，点到圆心的距离是 d）的位置关系有 3 种： d=r 时，点在圆上；d r点在圆内； d r点在圆外 若 O所在平面内一点 P到 O上的点的最大距离为 a，最小距离为 b（ ab），则此圆的半径为 答案： 或 试题分析：点 P可能在圆内，也可能在圆外；当点 P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点 P在圆外时，直径
16、为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径 解：若 O所在平面内一点 P到 O上的点的最大距离为 a，最小距离为 b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径 为 a+b，因而半径为 ； 当此点在圆外时，圆的直径是 a-b，因而半径是 ； 故答案：为： 或 点评：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点 P到圆上最大距离、最小距离的认识 （ 2013 镇江二模）如图， ABC的外接圆的圆心坐标为 答案：（ 6， 2） 试题分析：本题可先设圆心坐标为（ x， y），再根据 “三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等 ”列出等式，化简即可得出圆心的坐标 解：设圆心坐标为（ x， y）；
17、 依题意得， A（ 4， 6）， B（ 2， 4）， C（ 2， 0） 则有 = = ， 即（ 4-x） 2+（ 6-y） 2=（ 2-x） 2+（ 4-y） 2=（ 2-x） 2+y2， 化简后得 x=6， y=2， 因此圆心坐标为（ 6， 2） 点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质 一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为 答案： cm或 8cm 试题分析：点 P 应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论当点 P 在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点 P在圆外时，
18、点到圆的最大距离与最小距离的差是直径 ，由此得解 解：当点 P在圆内时，最近点的距离为 11cm，最远点的距离为 5cm，则直径是16cm，因而半径是 8cm； 当点 P在圆外时，最近点的距离为 5cm，最远点的距离为 11cm，则直径是 6cm，因而半径是 3cm 故答案：为： 3cm或 8cm 点评：本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键 如图直线 l1 l2，点 A在直线 l1上，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1、 l2于 B、 C两点，连接 AC、 BC若 ABC=54，则 1的大小为 答案： 试题分析：根据等腰三角形性质求出 ACB，根据
19、三角形的内角和定理求出 CAB，根据平行线性质求出即可 解： AC=AB， ACB= ABC=54， 根据三角形的内角和定理得： ACB+ ABC+ CAB=180， CAB=180- ACB- ABC=180-54-54=72， l1 l2， 1= CAB=72， 故答案：为： 72 点评：本题考查了对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，关键是求出 CAB的度数，主要考查学生运用定理进行推理 的能力，题型较好 如图所示：在平面直角坐标系中， OCB的外接圆与 y轴交于 A（ 0，）， OCB=60， COB=45，则 OC= 答案： + 试题分析：连接 A
20、B，由圆周角定理知 AB必过圆心 M， Rt ABO中，易知 BAO= OCB=60，已知了 OA= ，即可求得 OB的长； 过 B作 BD OC，通过解直角三角形即可求得 OD、 BD、 CD的长，进而由OC=OD+CD求出 OC的长 解：连接 AB，则 AB为 M的直径 Rt ABO中， BAO= OCB=60， OB= OA= = 过 B作 BD OC于 D Rt OBD中， COB=45， 则 OD=BD= OB= Rt BCD中， OCB=60， 则 CD= BD=1 OC=CD+OD=1+ 故答案：为： 1+ 点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构
21、建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键 解答题 已知 Rt ABC的两直角边为 a和 b，且 a， b是方程 x2-3x+1=0的两根，求Rt ABC的外接圆面积 答案： 试题分析：因为三角形 ABC是直角三角形，那么它的外接圆应该是以斜边的中点为圆心，斜边的一半为半径的圆由此可知这个圆的半径 r= c，根据两直角边 a、 b分别是一元二次方程 x2-3x+1=0的两根，可得出 c2=a2+b2=（ a+b） 2-2a b=13，进而可求 Rt的外接圆的面积 解： 圆的半径 r= c， 根据两直角边 a、 b分别是一元二次方程 x2-3x+1=0的两根，可得 a+b=3， a b=1
22、， c2=a2+b2=（ a+b） 2-2a b=7， Rt的外接圆的面积为 r2= = 点评：此题主要考查了直角三角形外切圆直径和 内切圆半径的求法，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用，难度不大 如图， ABC 和 ABD 都为直角三角形，且 C= D=90求证： A、 B、C、 D四点在同一个圆上 答案：见 试题分析：取弦 AB的中点 O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得 OA=OB=OC=OD后即可求证 A、 B、 C、 D四点在同一个圆上 证明：取弦 AB的中点 O，连接 OC， OD， ABC和 ABD都为直角三角形，且 C= D=90 DO， CO分别为 R
23、t ABD和 Rt BCD斜边上的中线， OA=OB=OC=OD A、 B、 C、 D四点在同一个圆上 点评：本题考查了圆的认识，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等 如图，已知同心圆 O，大圆的半径 AO、 BO分别交小圆于 C、 D，试判断四边形 ABDC的形状并说明理由 答案：等腰梯形 试题分析：首先判断 CD AB，然后利用半径相等证得其腰相等即可说明其是等腰梯形 证明： OA=OB， OC=OD CD AB， 四边形 ABDC是梯形， OA-OC=OB-OD 即： CA=DB 四边形 ABDC是等腰梯形 点评：本题考查了圆的认识及等腰梯形的判定，解题的关键是了解等
24、腰梯形的判定方法 如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法作图说明：已知点AB=4cm，到点 A的距离小于 2cm，到点 B的距离小于 3cm的所有点组成的图形 答案： 试题分析：根据圆的定义解答即可 解：在操场上用一根很长的绳子，固定一头，拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆 阴影部分就是到点 A的距离小于 2cm，到点 B的距离小于 3cm的所有点组成的图形 点评：本题考查了圆的认识，关键是了解圆的定义 （ 1）计算 + +（ - ） ； （ 2）已知，四边形 ABCD顶点都在 44正方形网格的格点上，如图所示，请用直尺和圆规画出四边形 ABCD的外接圆，并标明圆心 M的位置这个圆
25、中所对的圆心角的度数是 答案：（ 1） 3 （ 2） 90度 试题分析：（ 1）先计算乘除，再计算加减后即可得到结果； （ 2）易得 A= BCD=90，作出一个直角三角形的外接圆即可经过四边形的四个顶点 解：（ 1）原式 =3 +1+3-4， =3 （ 2）如图， M即为所求； 所对的圆心角的度数为 90度 点评：本题考查了二次根式的混合运算、圆周角定理，勾股定理等知识，正确的作出图形是解题的关键 如图，以 OAB的顶点 O为圆心的 O交 AB于点 C、 D，且 AC=BD，OA与 OB相等吗？为什么？ 答案： OA=OB 试题分析：过 O作 OE AB于 E，则 OE满足垂径定理得到 CE
26、=DE，然后利用线段的垂直平分线的性质即可得到 OA=OB 答： OA=OB 理由如下： 如图，过 O作 OE AB于 E， CD是 O的弦， OE CD， CE=DE， AC=BD， AE=BE， OE CD， OA=OB 点评： 本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是作出垂直于弦的半径比较简单 如图： A、 B、 C是 O上的三点， AOB=50， OBC=40，求 OAC的度数 答案： 试题分析：由， AOB=50， OBC=40，再利用圆周角定理求出 BCA，然后由三角形的内角和得到 OAC 解： OB=OC OCB= OBC=40（ 2分） BOC=180- OBC- OCB=180
27、-40-40=100（ 3分） AOC= AOB+ BOC=50+100=150（ 4分） 又 OA=OC OAC= =15（ 6分） 点评：本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了圆心角的度数等于它所对的弧的度数 一副斜边相等的直角三角板（ DAC=45， BAC=30），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形 A， B， C， D四点在同一个圆上吗？请说明理由 答案： A 试题分析：取 AC的中点 O，连接 OB， OD，根据直角三角形斜边上中线性质得出 OB=OD= AC=OA=OC，根据对圆的认识得出答案： 解：
28、 A、 B、 C、 D能在同一个圆上， 理由是：取 AC的中点 O，连接 OB， OD， B= D=90， OD= AC=OA=OC， BO= AC=OA=OC， OA=OB=OC=OD， A、 B、 C、 D在以 O为圆心，以 OA为半径的圆上， 即 A、 B、 C、 D能在同一个圆上 点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质和对圆的认识的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 如图所示，在 ABC中， AB=AC，任意延长 CA到 P，再延长 AB到 Q，使 AP=BQ， 求证： ABC的外心 O与点 A、 P、 Q四点共圆 答案：见 试 题分析：先作 ABC的外接圆 O，并作 O
29、E AB于 E， OF AC于 F，连接 OP、 OQ、 OB、 OA，证出 BE=AF， OE=OF，再证 Rt OPF Rt OQE，得到 P= Q即可得到答案： 证明：作 ABC的外接圆 O，并作 OE AB于 E， OF AC于 F，连接 OP、OQ、 OB、 OA， O是 ABC的外心， OE=OF， OB=OA， 由勾股定理得： BE2=OB2-OE2， AF2=OA2-OF2， BE=AF， AP=BQ， PF=QE， OE AB， OF AC OFP= OEQ=90， Rt OPF Rt OQE， P= Q， O、 A、 P、 Q四点共圆 即： ABC的外心 O与点 A、 P、 Q四点共圆 点评：本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形证 P= Q是解此题的关键
