1、2015届广东省东莞市南开实验学校九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列方程中是一元二次方程的是（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：因为只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程是一元二次方程，一般形式是 （ ），所以 是一元二次方程 .故选： D. 考点：一元二次方程 . 已知二次函数 （ m为常数）的图象与 x轴的一个交点为（ 1，0），则关于 x的一元二次方程 的两实数根是（ ） A x1 1， x2 -1 B x1 1， x2 2 C x1 1， x2 0 D x1 1， x2 3 答案： B 试题分析：把（ 1， 0）代入 ，得： 1-3
2、+m=0，所以 m=2.解方程得： x1 1， x2 2 ，故选： B. 考点：二次函数与一元二次方程 . 二次函数 的图像向上平移 2个单位，得到新的图像的二次函数表达式是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据二次函数上下平移的规律：上加下减，可知二次函数 的图像向上平移 2个单位，得到新的图像的二次函数表达式是 ，故选：C. 考点：抛物线的平移 . 二次函数 y 的图象如图 .当 y0时，自变量 x的取值范围是（ ） A x -1 B x 3 C -1 x 3 D x -1或 x 3 答案： D 试题分析：有图象知：当 y0时，图象是在 x轴是上方的部分，所以自变量 x的取值范
3、围是 x -1或 x 3.故选： D. 考点：二次函数的图象与自变量的取值范围 . 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为 13米，则拱高为（ ） A 5米 B 8米 C 7米 D 米 答案： B 试题分析：延长 CD到 O，使得 OC=OA，则 O为圆心，因为跨度 AB=24m，拱所在圆半径为 13m，则 AD= 则 OA=13米，在 Rt AOD中， DO=，所以拱高 CD=CO-DO=13-5=8米故选： B 考点： 1.垂径定理 ;2.勾股定理 . 如图， A， B， C是 O上的三点，已知 AOC 110，则 ABC的度数是（ ） A 50 B 55
4、C 60 D 70 答案： B 试题分析：因为弧 AC所对的圆周角是 ABC，圆心角是 AOC 110，所以 ABC= AOC=55.故选： B. 考点：圆周角定理 . 抛物线 的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C x轴上 D y轴上 答案： C 试题分析：因为抛物线 的顶点是（ 3,0），所以在 x轴上 ，故选： C. 考点：抛物线的顶点 . 如图， ABC中， C=70， B=30，将 ABC绕点 A顺时针旋转后，得到 ABC，且 C在边 BC上，则 BCB的度数为（ ） A 30 B 40 C 50 D 60 答案： B 试题分析：根据旋转的性质可得： A CB= C=70， A
5、C= AC，所以 A CC= C=70,所以 BCB=180-70-70=40.故选： B. 考点： 1. 旋转的性质； 2.等腰三角形的性质； 3.三角形的内 角和 . 在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）种。 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形和圆，故选： B. 考点： 1. 轴对称图形； 2. 中心对称图形 . 三角形两边长分别为 3和 6，第三边是方程 的解，则这个三角形的周长是 （ ） A 1
6、1 B 13 C 11或 13 D 11和 13 答案： B 试题分析：解方程 得： x1 2， x2 4，当第三边是 2时，因为 2+3 6，所以不能组成三角形，故不符合题意，当当第三边是 4 时，因为 3+4 6，所以能组成三角形，所以这个三角形的周长是 3+4+6=13，故选： B. 考点： 1.一元二次方程； 2.三角形的三边关系 . 填空题 在实数范围内定义一种运算 “ ”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解为 . 答案： 试题分析：因为 ， ，所以 ，所以 考点：解一元二次方程 . 如图， PA、 PB是 O的切线， A， B为切点， AC是 O的直径，若 P46，则 BAC 答
7、案： 0 试题分析：因为 PA、 PB是 O的切线， A， B为切点，所以 APO = PBO90,因为 P 46，所以 AOB 134,又 OA=OB, BAO = ABO=（ 180-134） 2=230 . 考点： 1.切线的性质； 2.四边形的内角和； 3.等腰三角形的性质 . 点 A（ 3， n）关于原点对称的点的坐标是（ m， 2）那么 m=_,n=_。 答案： -3， -2 试题分析：因为关于原点对称的点的坐标互为相反数，所以 m=-3， n=-2. 考点：关于原点对称的点的坐标特点 . 若抛物线 与 x轴分别交于 A、 B两点，则 AB的长为_. 答案： 试题分析： ，令 y=
8、0， ，解得： ，所以A（ -1， 0）， B（ 3， 0），所以 AB=4. 考点：抛物线与 x轴的交点 . 如图，一个圆心角为 90的扇形，半径 OA=2，那么图中阴影部分的面积为_（结果保留 ） 答案： 试题分析：图中阴影部分的面积 =扇形的面积 -三角形的面积 =. 考点：求阴影部分的面积 . 若 是方程 的两个实数根，则 _ 答案： 试题分析：因为 是方程 的两个实数根，所以，所以 . 考点：根与系数的关系 . 解 答题 已知， AB是 O的直径，点 P在弧 AB上（不含点 A、 B），把 AOP沿OP对折，点 A的对应点 C恰好落在 O上 （ 1）当 P、 C都在 AB上方时（如图
9、 1），判断 PO与 BC的位置关系（只回答结果）； （ 2）当 P在 AB上方而 C在 AB下方时（如图 2），（ 1）中结论还成立吗？证明你的结论； （ 3）当 P、 C都在 AB上方时（如图 3），过 C点作 CD 直线 AP于 D，且CD是 O的切线，证明： AB=4PD 答案：见 试题分析：（ 1）根据图形可知 PO BC；（ 2）根据图形可知 PO BC结论仍成立，根据条件只需要证明 CPO= PCB即可；（ 3）根据条件证得 APO为等边三角形，进而得 OCP=60， CD是 O的切线，得 OCD=90,所以 DCP=30,所以 PC=2PD,PC=AP=OA,所以 AB=4PD
10、. 试题：解：（ 1） PO与 BC的位置关系是 PO BC； （ 2）（ 1）中的结论 PO BC成立，理由为： 由折叠可知： APO CPO， APO= CPO， 又 OA=OP， A= APO， A= CPO， 又 A与 PCB都为 所对的圆周角， A= PCB， CPO= PCB， PO BC； （ 3） CD为圆 O的切线， OC CD，又 AD CD， OC AD， APO= COP， 由折叠可得： AOP= COP， APO= AOP， 又 OA=OP， A= APO， A= APO= AOP， APO为等边三角形， AOP=60， 又 OP BC， OBC= AOP=60，又
11、OC=OB， BCO为等边三角形， COB=60， POC=180（ AOP+ COB） =60，又 OP=OC， POC也为等边三角形， PCO=60， PC=OP=OC， 又 OCD=90， PCD=30， 在 Rt PCD中， PD=PC， 又 PC=OP=AB， PD=AB，即 AB=4PD 考点： 1.全等三角形的性质与判定； 2.圆周角定理； 3.切线的性质； 4. 等边三角形的判定与性质 . 如图，在 ABC中， B=90， AB=5cm， BC=7cm点 P从点 A开始沿AB边向点 B以 1cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 2cm/s的速度移动 （ 1
12、）如果 P、 Q分别从 A、 B同时出发，那么几秒后， PBQ的面积等于4cm2？ （ 2）如果 P、 Q分别从 A、 B同时 出发，那么几秒后， PQ的长度等于 5cm？ （ 3）如果 P、 Q分别从 A、 B同时出发， PBQ的面积能否等于 8cm2？说明理由由此思考： PBQ的面积最多为多少 cm2？ 答案：见 试题分析：（ 1）设运动 t秒后 PBQ 的面积等于 4，用 t表示出 BP、 BQ 的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可；（ 2）在 PBQ 中，根据勾股定理，得 PQ2=BP2+BQ2，把 BP、 BQ代入可得方程，解方程即可；（ 3）根据三角形的面积公式，得 ， t（
13、 5-t） =8， t2-5t+8=0，然后判断方程根的情况，方程无根说明 PBQ的面积不能等于 8cm2. 试题：设运动 t秒后 PBQ的面积等于 4，根据题意，知 BP=AB-AP=5-t，BQ=2t （ 1）根据三角形的面积公式，得 ， t（ 5-t） =4， t2-5t+4=0， 解得 t=1或 4秒 故 1或 4秒后， PBQ的面积等于 4cm2 （ 2）根据勾股定理，得 PQ2=BP2+BQ2=（ 5-t） 2+（ 2t） 2=25， 5t2-10t=0， t0， t=2 故 2秒后， PQ的长度等于 5cm （ 3）根据三角形的面积公式，得 ， t（ 5-t） =8， t2-5t
14、+8=0， =（ -5） 2-418=-7 0 故 PBQ的面积不能等于 8cm2 t（ 5-t） =-（ t-2.5） 2+6.25， PBQ的面积最多为 6.25cm2 考点： 1.勾股定理； 2.一元二次方程； 3.配方法 . 如图， ABC的边 BC在直线 上， AC BC，且 AC=BC， DEF的边FE也在直线 上，边 DF与边 AC重合，且 DF=EF （ 1）在图（ 1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出 AB与 AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明） （ 2）将 DEF沿直线 向左平移到图（ 2）的位置时， DE交 AC于点 G，连结AE， BG猜想 BCG与 ACE
15、能否通过旋转重合？请证明你的猜想 答案：见 试题分析：（ 1）根据题意可知： BC =AC =DF=EF， AB AE，所以 AC垂直平分 BE，所以） AB=AE；（ 2）猜想 BCG ACE，然后根据条件证出CG=CE，利用 SAS可证 BCG ACE. 试题：解 :（ 1） AB=AE, AB AE .2分 （ 2） 将 BCG绕点 C顺时针旋转 90后能与 ACE重合（或将 ACE绕点 C逆时针旋转 90后能与 BCG重合）， 理由如下： AC BC， DF EF， B、 F、 C、 E共线， ACB= ACE= DFE=90 又 AC=BC， DF=EF， DFE= D=45， 在
16、CEG中， ACE=90， CGE= DEF=90， CG=CE， 在 BCG和 ACE中 BCG ACE（ SAS） 将 BCG绕点 C顺时针旋转 90后能与 ACE重合（或将 ACE绕点 C逆时针旋转 90后能与 BCG重合） 考点： 1.等腰直角三角形； 2.图形的旋转； 3.全等三角形的判定 . 如图， O是 ABC的外接圆， AB是 O的直径， D为 O上的一点，OD AC，垂足为 E，连接 BD. （ 1）求证： BD平分 ABC； （ 2）当 ODB 30时，求证： BC OD. 答案：见 试题分析：（ 1）由 OD AC得 所以 CBD ABD，可证；（ 2）根据题意得出 OD
17、B O B D= DBC = A=30,由 AB是 O的直径，得 C=90,所以 BC= AB，而 OD=OB，得证 . 试题：证明：（ 1） OD AC， OD为半径， CBD ABD，（ 2分） BD平分 ABC.（ 3分） （ 2） OB OD， OBD ODB 30， AOD OBD ODB 30 30 60.（ 4分） 又 OD AC于 E， OEA 90， A 180- OEA- AOD 180-90-60 30.（ 5分） 又 AB为 O的直径， ACB 90， 则在 Rt ACB中， BC AB， OD AB， BC OD.（ 7分） 考点： 1.垂径定理； 2.圆周角定理；
18、3.直角三角形的性质 . 已知关于 x的方程 。 （ 1）当该方程的一个根为 1时，求 a的值； （ 2）求证：不论 a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 . 答案：见 试题分析：（ 1）把 x=1代入方程 ，得： 1=a=a-2=0，解方程可得 a的值；（ 2）只要证明 = 0即可 . 试题：（ 1）把 x=1 代入方程 ，得： 1=a=a-2=0，解得： ；（ 2） = ，不论 a取何实数，所以 +4 0，即 0，所以方程都有两个不相等的实数根 . 考点： 1.方程的根； 2.根的判别式 . 已知平面直角坐标系中三点的坐标分别为： A（ 4、 4）， B（ -2， 2）， C（ 3，
19、0） 画出它的以原点 O 为对称中心的 ABC，写出 A， B， C三点的坐标。 答案：见 试题分析：（ 1）根据中心对称的特点在网格内确定 ABC，（ 2）根据点的位置可确定坐标 . 试题：（ 1）如图， ABC即为所求 （ 2） A（ -4、 -4）， B（ 2， -2）， C（ -3， 0） 考点： 1. 中心对称； 2.点的坐标 . 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，问经过三轮传染后共有多少个人患流感？ 答案： 试题分析：设每轮传染中平均每个人传染了 人，那么第一轮有（ ）人患了流感，第二轮有 人被传染，然后根据共有 121人患了流感即可列出方程，求解后再求第三轮患
20、了流感的人数 121（ ）人 试题：设每轮传染 x人，根据题意可得： ，即 （ x+1） 2=121，所以 =10或 =12（不合题意舍去），第三轮患了流感的人数=121+12110=1331 考点：一元二次方程的应用 . 解方程： 答案： 试题分析：观察方程特点适合用因式分解法解方程 . 试题： ， 考点：解一元二次方程 . 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C.抛物线 经过 A， C两点，且与 x轴交于另一点 B（点 B在点A右侧） （ 1）求抛物线的式及点 B坐标； （ 2）若点 M是线段 BC上的一动点，过点 M的直线 EF平行 y轴交 x轴于点 F，
21、交抛物线于点 E.求 ME长的最大值； （ 3）试探究当 ME取最大值时，在抛物线上、 x轴下方是否存在点 P，使以 M，F， B， P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，试说明理由 答案：见 试题分析：（ 1）由 求出点 A,C的坐标，然后带入 ，解方程组即可；（ 2）求出直线 BC的式是 y x-3，根据点 M在直线 BC 上，设M（ x， x-3），则 E（ x， x2-2x-3） ，表示出线段 ME的长，用配方法可求出最大值；（ 3）设在抛物线 x轴下方存在点 P，使以 P， M， F， B为顶点的四边形是平行四边形，求出点 P的坐标，然后判断点 P是不是
22、在抛物线上即可 . 试题：解：（ 1）当 y 0时， -3x-3 0， x -1， A（ -1, 0） 当 x 0时， y -3， C（ 0， -3） 抛物线过 A， C两点， 抛物线的式是 y x2-2x-3. 当 y 0时， x2-2x-3 0，解得 x1 -1， x2 3. B（ 3, 0） （ 2）由（ 1）知 B（ 3, 0） , C（ 0， -3）， 直线 BC的式是 y x-3. 设 M（ x， x-3）（ 0x3），则 E（ x， x2-2x-3） ME （ x-3） -（ x2-2x-3） -x2 3x - 2 . 当 x 时， ME的最大值为 . （ 3）不存在由（ 2）知 ME取最大值时， ME ， MF ， BF OB-OF . 设在抛物线 x轴下方存在点 P，使以 P， M， F， B为顶点的四边形是平行四边形， 则 BP MF， BF PM. P1 或 P2 . 当 P1 时，由（ 1）知 y x2-2x-3 -3- ， P1不在抛物线上 当 P2 时，由（ 1）知 y x2-2x-3 0- ， P2不在抛物线上 综上所述：在抛物线上 x轴下方不存在点 P，使以 P， M， F， B为顶点的四边形是平行四边形 考点： 1.一次函数； 2.二次函数； 3.平行四边形； 4.配方法 .
