1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -完全平方公式（带解析） 选择题 下列运算： a3+a3=a6； （ a3） 2=a6； （ 1） 0=1； （ a+b） 2=a2+b2； a3 a3=a9； （ ab2） 3=ab6其中正确的有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B 试题分析：本题涉及零指数幂、乘方、完全平方公式几个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据运算法则求得计算结果 解： a3+a3=2a3，故选项错误； （ a3） 2=a6，正确； （ 1） 0=1，正确； （ a+b） 2=a2+b2+2ab，故选项错误； a3 a3=a6，故选项错误；
2、 （ ab2） 3=a3b6，故选项错误故正确的有 两个故选 B 考点：零指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式 点评：本题涉及的知识点较多，正确对知识点进行理解记忆是解决本题的关键 如果 1 + =0，那么 等于（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 答案： C 试题分析：完全平方公式：（ ab） 2=a22ab+b2，形如 a22ab+b2的式子要符合完全平方公式的形 式 a22ab+b2=（ ab） 2才成立 解： 1 + =（ 1 ） 2， （ 1 ） 2=0， 1 =0， 解得 =1 故选 C 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式，熟练掌握公
3、式结构是解题的关键 填空题 若 A=a2+5b24ab+2b+100，则 A的最小值是 答案： 试题分析：由题意 A=a2+5b24ab+2b+100=（ a2b） 2+（ b+1） 2+99，根据完全平方式的性质，求出 A的最小值 （ a2b） 20，（ b+1） 20， a99， A最小值为 99，此时 a=2， b=1 故答案：为 99 考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方 点评：此题主要考查非负数偶次方的性质即所有非负数都大于等于 0和完全平方式的性质及其应用 已知 a+10=b+12=c+15，则 a2+b2+c2abbcac= 答案： 试题分析：根据已知 a+10=b+12=c
4、+15，可得到 ab=2， ac=5， bc=3运用完全平方式可得 a2+b2+c2abbcac= （ ab） 2+（ bc） 2+（ ac） 2，再将前面的 ab、 ac、 bc的值代入求出结果 解： a+10=b+12=c+15 a+10=b+12 ab=2 同理得 ac=5， bc=3 a2+b2+c2abbcac= （ a22ab+b2） +（ b22bc+c2） +（ a22ac+c2） = （ ab）2+（ bc） 2+（ ac） 2= （ 4+25+9） =19 故答案：为 19 考点：完全平方公式 点评：本题考查完全平方式同学们能够运用完全平方式熟练推导与记忆a2+b2+c2a
5、bbcac= （ ab） 2+（ bc） 2+（ ac） 2这是解题的关键 若实数 a、 b、 c满足 a2+b2+c2=9，那么代数式（ ab） 2+（ bc） 2+（ ca） 2的最大值为 答案： 试题分析：对原式进行变形成 3（ a2+b2+c2） （ a+b+c） 2，再由平方数的特点求值 解：（ ab） 2+（ bc） 2+（ ca） 2=2（ a2+b2+c2） （ 2ab+2bc+2ac） =2（ a2+b2+c2） （ a+b+c） 2（ a2+b2+c2） =3（ a2+b2+c2） （ a+b+c） 2 =27（ a+b+c） 2要使原式的值最大，则（ a+b+c） 2取最
6、小值 0， 即原式的最大值是 27 故答案：为： 27 考点：完全平方公式 点评：本题主要考查完全平方公式，注意：（ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 已知： ，则 a， b之间的关系式是 答案： a=b2 试题分析：根据非负数的性质得出 x2+2+ a=0， x+ b=0，再将第一个等式运用完全平方公式，将第二个等式代入即可 解：由已知等式，得 x2+2+ a=0， x+ b=0， 由此可得（ x+ ） 2=a， x+ =b， 则 b2=a， 故答案：为： a=b2 考点：完全平方公式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 点评：本题主要考查完全平方公式，熟记
7、公式的几个变形公式对解题大有帮助 若代数式 a2+（ ） a+9是完全平方式，那么横线上应填的数是 答案： 6 试题分析：根据两数和（或差）完全平方公式求解 解：由两数和（或差）的完全平方公式可知， a26a+9=（ a3） 2， 故答案：为： 6 考点：完全平方公式 点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的两种形式对解题大有帮助 如果 a2+b2+2c2+2ac2bc=0，那么 2a+b1的值为 答案： 试题分析：把已知条件根据完全平方公式整理成平方 和等于 0的形式，然后根据非负数的性质用 c表示出 a、 b，再代入代数式计算即可 解： a2+b2+2c2+2ac2bc =a2+2ac+
8、c2+b22bc+c2 =（ ac） 2+（ bc） 2=0， a+c=0， bc=0， 解得 a=c， b=c， 2a+b1=2c+c1=21= 故答案：为： 考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方 点评：本题考查了完全平方公式的应用，整理成平方和的形式，再利用非负数的性质用 c表示出 a、 b的值是解题的关键，是道好题 已知 =2，则 = 答案： 4 试题分析：根据完全平方公式求出 x+ x2+ =2， x+ =2时，根据公式 x3+=（ x+ ）（ x2x + ）求出 x3+ 的值，根据完全平方公式求出 x6+ 的值，根据立方和公式求出 x9+ =的值即可； x+ =2时，同法可求出答
9、案： 解： x2+ =2， 2x =2， =4， x+ =2， x+ =2时， x3+ =（ x+ ）（ x2x + ） =2（ 21） =2， 两边平方得： x6+2x3 + =4， x6+ =42=2， x9+ =（ x3） 3+ =（ x3+ ）（ x6x3 + ） =2（ 21） =2， +x9+ +x=2+2=4； x+ =2时，同法可求 +x9+ +x=22=4 故答案：为： 4 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式和立方和公式的应用，关键是灵活运用公式：立方和公式 x3+y3=（ x+y）（ x2xy+y2），完全平方公式（ a+b）2=a2+2ab+b2进行计算 已
10、知 ，则 = 答案： -2 试题分析：把已知条件配成完全平方公式的形式，然后判断出 a 是负数，再开平方即可得解 解： a2+ =6， a22+ =62， （ a ） 2=4， 0 a1， a ， a 0， a =2， =a =2 故答案：为： 2 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式，根据 a与 互为倒数，乘积二倍项不含字母配成完全平方公式是解题的关键，要注意根据 a的取值范围判断出 a 是负数，这也是本题容易出错的地方 已知： m， n， p均是实数，且 mn+p2+4=0， mn=4，则 m+n= 答案： 试题分析：由 mn+p2+4=0 可得出 mn=p24；将 mn=4
11、的左右两边同时乘方，根据完全平方公式两公式之间的联系整理出（ m+n） 2，然后开方即可求出 m+n的值 解： mn+p2+4=0， mn=4， mn=p24，（ mn） 2=16， （ m+n） 24mn=（ mn） 2=16， （ m+n） 2=16+4mn， =16+4（ p24）， =4p2； m， n， p均是实数， （ m+n） 2=4p20， p=0， m+n=0 故答案：是： 0 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式，关键是要灵活运用完全平方公式，整理出（ m+n） 2的形式 解答题 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m
12、和 n的值 解： m2+2mn+2n26n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 （ m+n） 2+（ n3） 2=0 m+n=0， n3=0 m=3， n=3 问题（ 1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值 （ 2）已知 a， b， c是 ABC的三边长，满足 a2+b2=10a+8b41，且 c是 ABC中最长的边，求 c的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 5c 9 试题分析：（ 1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出 x、 y的值，然后代入代数式计算即可； （ 2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出 a、
13、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解 解：（ 1） x2+2y22xy+4y+4， =x22xy+y2+y2+4y+4， =（ xy） 2+（ y+2） 2， =0， xy=0， y+2=0， 解得 x=2， y=2， xy=（ 2） 2= ； （ 2） a2+b2=10a+8b41， a210a+25+b28b+16=0， 即（ a5） 2+（ b4） 2=0， a5=0， b4=0， 解得 a=5， b=4， c是 ABC中最长的边， 5c 9 考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系 510329 点评：本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平
14、方和的形式是解题的关键 设实数 a， b， c满足 a2+b2+c2=1若 a+b+c=0，求 ab+bc+ca的值； 答案： 试题分析：把 a+b+c=0两边平方，然后展开得到 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，再把 a2+b2+c2=1代入进行计算即可； 解： a+b+c=0， （ a+b+c） 2=0， a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0， 而 a2+b2+c2=1， ab+bc+ca= ； 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式：（ ab） 2=a22ab+b2也考查了（ ab） 2的非负性质以及代数式的变形能力 已知 |xy+1|与 x2+8x+16互
15、为相反数，求 x2+2xy+y2的值 答案： 试题分析：先把 x2+8x+16整理成完全平方公式，利用相反数的概念可得即|xy+1|+（ x+4） 2=0，两个非负数的和等于 0的形式，那么每一个非负数都等于 0，从而求出 x、 y的值，再把 x、 y的值代入所求代数式计算即可 解： |xy+1|与 x2+8x+16互为相反数， |xy+1|与（ x+4） 2互为相反数， 即 |xy+1|+（ x+4） 2=0， xy+1=0， x+4=0， 解得 x=4， y=3 当 x=4， y=3时，原式 =（ 43） 2=49 考点：完全平方公式 点评：本题主要考查完全平方公式、非负数的性质完全平方公
16、式：（ ab）2=a22ab+b2注意会正确的拆项 已知 m=201020111， n=2010220102011+20112，请尝试用一种简便方法比较 m、 n大小 答案： m n 试题分析：将 n中的式子变形后，利用完全平方公式化简，即可比较出两式的大小 解： m=201020111， n=2010220102011+20112=20102220102011+20112+20102011=（ 20102011） 2+20102011=20102011+1， 201020111 20102011+1， m n 考点：完全平方公式 点评：此题考查 了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键 已
17、知（ 2a）（ 3a） =5，试求（ a2） 2+（ 3a） 2的值 答案： 试题分析：把（ 2a）和（ 3a）看成一个整体，利用完全平方公式求解 解：（ a2） 2+（ 3a） 2=（ a2） 2+（ 3a） 2+2（ a2）（ 3a） 2（ a2）（ 3a）， =（ a2+3a） 22（ a2）（ 3a）， =1+2（ 2a）（ 3a）， =1+10， =11 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式：（ ab） 2=a22ab+b2求解，整体思想的运用使运算更加简便 求代数式 5x24xy+y2+6x+25的最小值 答案： 试题分析：首先把已知等式变为 4x24xy+y2+x2+
18、6x+9+16，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题 解： 5x24xy+y2+6x+25 =4x24xy+y2+x2+6x+9+16 =（ 2xy） 2+（ x+3） 2+16 而（ 2xy） 2+（ x+3） 20， 代数式 5x24xy+y2+6x+25的最小值是 16 考点：完全平方公式 点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，首先利用公式分解因式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题 （ A类）（ 1）已知 x+y=1，求 x2+xy+ y2的值；（ 2）已知 10a=2， 10b=3，求
19、10a+b的值 （ B类）（ 1）已知 x23x+1=0，求 x2+ 的值（ 2）已知 10a=20， 102b=5，求10a2b的值 （ C类）若 x+y=2， x2+y2=4，求 x2003+y2003的值 答案：（ A类）（ 1） （ 2） 6 （ B类）（ 1） 7 （ 2） 4 （ C类） 22003 试题分析： A和 B类：（ 1）题利用完全平方公式求值（ 2）运用幂的乘方的逆运算即可底数不变指数相加，就是两式相乘 C类：根据已知条件先求出 x、 y的值，然后代入所求代数式求值即可 解： A类：（ 1） x2+xy+ y2， = ， = ， = ； （ 2） 10a+b=10a 1
20、0b=32=6； B类：（ 1）解： x23x+1=0 x3+ =0， x+ =3， x2+ =（ x+ ） 22=7， （ 2） 10a2b=10a102b=205=4 C类： x+y=2， x2+2xy+y2=4， 又 x2+y2=4， xy=0， 或 ， x2003+y2003=22003 考点：完全平方公式；同底数幂的乘法 点评：本题主要考查了完全平方公式和幂的乘方的运算，以及解方程的能力 已知 a= x+2009， b= x+2008， c= x+2010，求代数式a2+b2+c2abbcca的值 答案： 试题分析：先求出 ab， bc， ca的值，然后把 a2+b2+c2abbcc
21、a根据完全平方公式配方，再代入进行计算即可求解 解： a= x+2009， b= x+2008， c= x+2010， ab=1， bc=2， ca=1， a2+b2+c2abbcca= （ a22ab+b2） +（ b22bc+c2） +（ a22ca+c2） ， = （ ab） 2+（ bc） 2+（ ca） 2， = （ 1+4+1）， =3 故答案：为： 3 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式的利用，把代数式根据完全平方公式配方是解题的关键，也是本题的难点 已知 a=2009， b=2008，求 的值 答案： 试题分析：先提出 ，根据完全平方公式分解因式得出 （ ab）
22、2，代入求出即可 解： = （ a22ab+b2） = （ ab） 2 当 a=2009， b=2008时， 原式 = （ 20092008） 2 = 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意： a22ab+b2=（ ab） 2 若 x+ =2，则 x2+ = _ ， x3+ = _ ， x4+ = _ 任意正整数 n，猜想： = _ 答案： 试题分析：先根据 x+ =2求出（ x+ ） 2=4，进而可得出 x2+ 的值，同理求出x3+ 及 x4+ 的值，找出规律即可进行解答 解： x+ =2， （ x+ ） 2=4， x2+ =2； x3+ =（ x+ ）（ x2+ 1）
23、， =2（ 21）， =2； x4+ =（ x2+ ） 22， =42， =2， 故 xn+ =2 故答案：为： 2 考点：完全平方公式 点评：本题考查的是完全平方公式及立方和公式，能根据题意得出 x2+ =2是解答此题的关键 已知 a2+b2=1， ab= ，求 a2b2与（ a+b） 4的值 答案： 试题分析：由（ ab） 2=a2+b22ab，可求得 ab的值，又由（ a+b） 2=（ ab）2+4ab，即可求得 a2b2与（ a+b） 4的值 解： a2+b2=1， ab= ， （ ab） 2=a2+b22ab， ab= （ ab） 2（ a2+b2） = （ 1） = ， a2b2=
24、（ ab） 2=（ ） 2= ； （ a+b） 2=（ ab） 2+4ab= +4 = ， （ a+b） 4=（ a+b） 22= 考点：完全平方公式 点评：本题主要考查完全平方公式的变形注意熟记公式结构是解题的关键完全平方公式：（ ab） 2=a22ab+b2 用简便方法计算： （ 1） 1.372+21.378.63+8.632 （ 2） 4 2012 答案：（ 1） 100 （ 2） -4 试题分析：（ 1）根据完全平方公式的逆运用得出（ 1.37+8.63） 2，求出即可； （ 2）根据积的乘方的逆运用得出 （ ） 420114 ，先求出括号内的，再求出即可 解：（ 1）原式 =（ 1
25、.37+8.63） 2 =102 =100； （ 2）原式 =（ ） 20114 20114 =（ ） 420114 =（ 1） 20114 =14 =4 考点：完全平方公式；幂的乘方与积的乘方 点评：本题考查了完全平方公式和积的乘方和幂的乘方，注意： am bm=（ ab） m，a2+2ab+b2=（ a+b） 2 已知 x27x+1=0，求 x2+x2的值 答案： 试题分析：利用完全平方公式巧妙转化 x2+x2成已知条件然后代入求值 解：因为 x27x+1=0，所以 x0， 则等式两边都除以 x， 得 x7+x1=0， 即 x+x1=7， 所以（ x+x1） 2=x2+2x x1+（ x1
26、） 2=49， x2+2+x2=49， 所以 x2+x2=47 考点：负整数指数幂完全平方公式 点评：本题主要考查负整数指数幂和完全平方式的知识点，本题利用了完全平方公式：（ ab） 2=a22ab+b2求解 已知 a23a+1=0，求（ 1） a2+a2 （ 2） a4+a4 （ 3） a+a1的值 答案：（ 1） 7 （ 2） 47 （ 3） 3 试题分析：将 a23a+1=0进行变形，可求出 a+ 的值，然后利用平方的知识，可得出各个代数式的值 解： a23a+1=0，且 a0， a2+1=3a， a+ =3， （ 1） a2+a2=（ a+ ） 22=7； （ 2） a4+a4=（ a
27、2+a2） 22=47； （ 3） a+a1=a+ =3 考点：负整数指数幂；完全平方公式 点评：此题考查了负整数指数幂及完全平方公式的知识，属于基础题，根据题意得出 a+ 的值是解答本题的关键 如图是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出行如（ a+b） n展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数 （ 1）（ a+b） =a+b （ 2）（ a+b） 2=a2+2ab+b2 （ 3）（ a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3 （ 4）（ a+b） 4=a4+ a3b+6a2b2+4ab3+b4 （ 5）（ a+b） 5=a5+ a4b+ a3b2+ a2b3
28、+ ab4+b5 答案：； 5、 10、 10、 5 试题分析：本题考查学生的观察分析逻辑推理能力，由（ a+b） =a+b，（ a+b）2=a2+2ab+b2，（ a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（ a+b） n的各项展开式的系数除首尾两项都是 1外，其余各项系数都等于 （ a+b） n1 的相邻两个系数的和，由此可得（ a+b） 4 的各项系数依次为 1、 4、 6、4、 1；（ a+b） 5的各项系数依次为 1、 5、 10、 10、 5、 1 解：可以发现：（ a+b） n的各项展开式的系数除首尾两项都是 1外，其余各项系数都等于（ a+b） n1的相邻两个系数的和，
29、（ a+b） 4的各项系数依次为 1、 4、 6、 4、 1； （ a+b） 5的各项系数依次为 1、 5、 10、 10、 5、 1； 故本题答案：为：（ 4） 4； （ 5） 5、 10、 10、 5 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键 已知（ x+1） 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求下列各式的值： （ 1） a+b+c+d+e+f；（ 2） b+c+d+e；（ 3） a+c+e 答案：（ 1） 32 （ 2） 30 （ 3） 16 试题分析：应用公式（ a+b） 2=a2+2ab+b2求出（ x+1） 2
30、的值，再利用多项式的乘法法则展开，利用恒等式，系数相等求出 a b c d e f 的值，再代入求出代数式的值 解：（ 1）（ x+1） 5， =（ x+1） 2（ x+1） 2（ x+1）， =（ x2+2x+1）（ x2+2x+1）（ x+1）， =（ x4+4x3+6x2+4x+1）（ x+1）， =x5+5x4+10x3+10x2+5x+1， （ x+1） 5， =ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f， a=1， b=5， c=10， d=10， e=5， f=1， （ 1） a+b+c+d+e+f=1+5+10+10+5+1=32 （ 2） b+c+d+e=5+10+10+5=3
31、0 （ 3） a+c+e=1+10+5=16 考点：代数式求值；多项式；多项式乘多项式；完全平方公式 点评：此题关键是考查降次问题，由 5降到 2转化到学过的知识，进一步求出结果 已知实数 a、 b满足（ a+b） 2=1，（ ab） 2=25，求 a2+b2+ab的值 答案： 试题分析：先由已知条件展开完全平方式求出 ab的值，再将 a2+b2+ab转化为 完全平方式（ a+b） 2和 ab的形式，即可求值 解： （ a+b） 2=1，（ ab） 2=25， a2+b2+2ab=1， a2+b22ab=25 4ab=24， ab=6， a2+b2+ab=（ a+b） 2ab=1（ 6） =7 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解
