1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -黄金分割点与平行线分线段成比例（带解析） 选择题 如图， ABC中， D为 BC 的中点， E为 AC 上任意一点， BE交 AD于O某同学在研究这一问题时，发现了如下事实： 当 = = 时，有 = =； 当 = = 时，有 = ； 当 = = 时，有 = ； ；则当 = 时， =（ ） A B C D 答案： C 试题分析：本题可有两种思考方式： 根据题目中所给数据，寻找其中的规律，能判断出准确结果 根据三角形中位线性质进行解答 解：过 D点作 BE的平行线交 AC 于 F， D为 BC 的中点， DF 是 BCE的中位线 = ， = DF 是 BC
2、E的中位线， F是 EC 的中点， = BE DF， = = 故选 C 考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理 点评：本题根据所给数据可寻找规律，灵活运用三角形中位线的性质对本题的理解会更加透彻 在平行四边形 ABCD中， AC=4， BD=6， P是 BD上的任一点，过 P作EF AC，与平行四边形的两条边分别交于点 E， F如图，设 BP=x， EF=y，则能反映 y与 x之间关系的图象为（ ） ABCD答案： A 试题分析：图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式分两段求：当 P在 BO 上和 P在 OD上，分别求出两函数式，根据函数式的性质即可得出函数图象 解：设 AC 与
3、 BD交于 O 点， 当 P在 BO 上时， EF AC 即 ； 当 P在 OD上时，有 ， y= 故选 A 考点：一次函数的应用；一次函数的图象；平行四边形的性质；平行线分线段成比例 点评：此题为一次函数与相似形的综合题，有一定难度 1、要看图象先求关系式 2、分段求关系式 如图，在 ABC中， AB=AC， A=36， BD平分 ABC交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD的长是（ ） A B C 1 D +1 答案： C 试题分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出 BD的长 解： A= DBC=36， C公共， ABC BDC， 且 AD=
4、BD=BC 设 BD=x，则 BC=x， CD=2x 由于 = ， = 整理得： x2+2x4=0， 解方程得： x=1 ， x为正数， x=1+ 故选 C 考点：黄金分割 点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出 BD的长 如图，已知直线 a b c，直线 m、 n与直线 a、 b、 c 分别交于点 A、 C、 E、B、 D、 F， AC=4， CE=6， BD=3，则 BF=（ ） A 7 B 7.5 C 8 D 8.5 答案： B 试题分析：由直线 a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由
5、AC=4， CE=6， BD=3，即可求得 DF 的长，则可求得答案： 解： a b c， ， AC=4， CE=6， BD=3， ， 解得： DF= ， BF=BD+DF=3+ =7.5 故选 B 考点：平行线分线段成比例 点评：此题考查了平行线分线段成比例定理题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用 如图， ABC是边长为 6cm的等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ） A 4cm2 B 2cm2 C 3 cm2 D 3cm2 答案： C 试题分析：由题意知 EFGH为等腰梯形，要求它的面积，只要求出 EH、 FG及高（为等边三角形
6、的高的 ）即可 解： 等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截， AB被截成三等分， EH= BC=2cm， FG= BC=4cm，且四边形 EHGF是等腰梯形，它的高为等边三角形的高的 ， 等边三角形的高 =6sin60=3 ， 等腰梯形高等于 ， 等腰梯形的面积 = =3 ，即阴影部分的面积为 3 故选 C 考点：等边三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例 点评：本题利用了： 等边三角形的性质； 平行线等分线段的性质； 等边三角形高与边长的关系； 梯形的面积公式求解 填空题 已知点 M是线段 AB的黄金分割点，且 AM MB，若 AB=40，则AM= 答案： 试题分析：根据黄金分
7、割点的定义，知 AM是较长线段；则 AM= AB，代入数据即可得出 AM的长 解：由于点 M为线段 AB=40的黄金分割点，且 AM是较长线段， 则 AM= AB= 40=20 20 故答案：为： 20 20 考点：黄金分割 点评：本题考查黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比识记黄金分割的公式：较短的线段 =原线段的 ，较长的线段 =原线段的 是解题的关键 已知线段 AB及 AB上一点 P，当 P满足下列哪一种关系时， P为 AB的黄金分割点 AP2=AB PB； AP= AB； PB= AB
8、； ； 其中正确的是 （填 “序号 ”） 答案： 试题分析：根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到 AP 与 AB关系，再根据 AB、 AP、 BP 三者之间的关系对各小题整理即可判断正误 解： P为 AB的黄金分割点， = ， AP2=AB PB，故 小题正确； AP2=AB （ ABAP）， AP2+AB APAB2=0， 解得 AP= AB，故 小题正确； （ ABPB） = AB， 整理得， PB= AB，故 小题正确； AP= AB， PB=ABAP= AB， = = ，故 小题错误； = ，故 小题错误 综上所述， 正确 故答案：为： 考点：黄金分割 点评：本题考查了黄金分割，
9、明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键 解答题 如图，已知 ABC中， DE BC 交 AB于点 D，交 AC 于点 E，点 M在 BC边上， AM交 DE于点 F 求证： 答案：见 试题分析：由 DE BC，将问题分解为 DF BM， FE MC，分别利用平行线分线段成比例定理，利用 “中间比 ”过渡，得出新的比例式，再变形即可 证明： DE BC， = ， = = ， = 考点：平行线分线段成比例 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理关键是利用中间比过渡，得出新的比例 如图，在平行四边形 ABCD中，点 E为边 BC 上一点，连接 AE并延长 AE交 DC 的延长线于点 M，交 BD
10、于点 G，过点 G作 GF BC 交 DC 于点 F 求证： 答案：见 试题分析：由 GF BC，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，又由四边形 ABCD是平行四边形，可得 AB=CD， AB CD，继而可证得 ，则可证得结论 证明： GF BC， ， 四边形 ABCD是平行四边形， AB=CD， AB CD， ， 考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质 点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 已知： ABCD中， E是 BA边延长线上一点， CE交对角线 DB于点 G，交AD边于点 F 求证： CG2=GF GE 答案：见 试题分
11、析：由平行四边形可得 AD BC， AB CD，再由平行线 分线段成比例即可证明 证明： 四边形 ABCD是平行四边形， DC AB， AD BC， DC AB， ， AD BC， ， ， 即 CG2=GF GE 考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质 点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，能够熟练掌握 如图，在 ABC中， BD平分 ABC交 AC 于点 D， DE BC 交 AB于点 E，DE=4， BC=6， AD=5求 DC 与 AE的长 答案： 8 试题分析：根据平行线分线段成比例，可得 ，求出 AC，从而得到 DC 的长根据等腰三角形的性质得到 DE
12、=BE=4，再由平行线分线段成比例，可得= ，得到 AE的长 解： DE BC， ，（ 1分） 又 DE=4， BC=6， AD=5， ，（ 1分） ，（ 1分） ，（ 1分） DE BC， ， DBC= EDB（ 1分） BD平分 ABC， EBD= DBC，（ 1分） EBD= EDB，（ 1分） DE=BE=4，（ 1分） ，（ 1分） AE=8（ 1分） 考点：平行线分线段成比例 点评：本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，找准对应关系，避免错误 如图， AB EF CD，已知 AC+BD=120， BC=50， EC+ED=96，求CF 答案： 试题
13、分析：此题根据平行线分线段成比例定理写出比例式，再根据等式的性质，进行相加，得到和已知条件有关的线段的和，再代入计算 解： AB EF CD， = = = = + ，得 = = = 由 中取适合已知条件的比例式， 得 = 将已知条件代入比例式中，得 = CF=40 考点：平 行线分线段成比例 点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算是解决此题的关键 已知： 1= 2， CD=DE， EF AB，求证： EF=AC 答案：见 试题分析：根据 EF AB得 = ；根据角平分线的性质有 = 由 ED=CD得证 证明：过点 D作 DM AB于 M，作 DN AC 于 N， 1
14、= 2， DM=DN， S ABD： S ACD=AB： AC， S ABD： S ACD=BD： CD， = EF AB， = ； ， 又 CD=DE， EF=AC 考点：平行线分线段成比例；角平分线的性质 点评：此题考查平行线分线段成比例的性质及角平分线的性质，难度不大 如图，在 ABC中， D为 BC 边的中点， E为 AC 边上的任意一点， BE交AD与点 O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实， 当 ； 当 ； ； 如图 4中，当 时，请你猜想 的一般结论，并证明你的结论（其中 n为正整数） 答案： 理由见 试题分析： 过 D作 DF BE，即求 AO： AD=AE： AF，因为
15、 ，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出 AE： AF=2：（ n+2），即 = 解：猜想 = 证明：过 D作 DF BE， AO： AD=AE： AF D为 BC 边的中点， CF=EF= EC ， AE：（ AE+2EF） =1：（ 1+n） AE： EF=2： n AE： AF=2：（ n+2），即 = 考点：平行线分线段成比例 点评：本题考查平行线分线段定理及其应用，有一定难度，注意 D为 BC 边的中点的运用 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB落到线段 EA上，折出点 B的新位置B，因
16、而 EB=EB类似地，在 AB上折出点 B使 AB=AB这时 B就是 AB的黄金分割点请你证明这个结论 答案：见 试题分析：设正方形 ABCD的边长为 2，根据勾股定理求出 AE的长，再根据E为 BC 的中点和翻折不变性，求出 AB的长，二者相比即可得到黄金比 证明：设正方形 ABCD的边长为 2， E为 BC 的中点， BE=1 AE= = ， 又 BE=BE=1， AB=AEBE= 1， AB 点 B是线段 AB的黄金分割点 考点：黄金分割 点评：本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出 黄金比是解题的关键 如图，在平行四边形 ABCD中， E为边 AD延长线上的一点，且 D为 AE的
17、黄金分割点，即 ， BE交 DC 于点 F，已知 ，求 CF的长 答案： 试题分析：根据平行四边形的性质得出 CBF= AEB， BCF= BAE，从而得出 BCF EAB，根据相似三角形比例关系即可得出答案： 解： 四边形 ABCD为平行四边形， CBF= AEB， BCF= BAE， BCF EAB， ，即 ， 把 AD= ， AB= +1代入得， = ， 解得： CF=2 故答案：为： 2 考点：黄金分割 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中 如图 1，点 C将线段 AB分成两部分，如果 ，那么称点 C为线段 AB的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分
18、割点联想到 “黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l将一个面积为 S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1， S2，如果 ，那么称直线 l为该图形的黄金分割线 （ 1）研究小组猜想：在 ABC中，若点 D为 AB边上的黄金分割点（如图 2），则直线 CD是 ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？ （ 2）研究 小组在进一步探究中发现：过点 C任作一条直线交 AB于点 E，再过点 D作直线 DF CE，交 AC 于点 F，连接 EF（如图 3），则直线 EF 也是 ABC的黄金分割线请你说明理由 答案：（ 1）对，理由见 （ 2）见 试题分析：（ 1）设 ABC的边
19、AB上的高为 h，由三角形的面积公式即可得出= ， = ，再由点 D 为边 AB 的黄金分割点可得出 = ，故可得出结论； （ 2）由 DF CE可知 DEC和 FCE的公共边 CE上的高也相等，故S DEC=S FCE，设直线 EF 与 CD交于点 G，由同底等高的三角形的面积相等可知S DEG=S FEG，故可得出 S ADC=S 四边形 AFGD+S FCG=S AEF，再由 S BDC=S 四边形 BEFC，再由= 可知 = ，故直线 EF 也是 ABC的黄金分割线 解：（ 1）直线 CD是 ABC的黄金分割线理由如下： 设 ABC的边 AB上的高为 h S ADC= AD h， S
20、EDC= BD h， S ABC= AB h， = ， = ， 又 点 D为边 AB的黄金分割点， = ， = ， 直线 CD是 ABC的黄金分割线； （ 2） DF CE， DEC和 FCE的公共边 CE上的高也相等， S DEC=S FCE， 设直线 EF 与 CD交于点 G， S DEG=S FCG， S ADC=S 四边形 AFGD+S FCG=S 四边形 AFGD+S DGE=S AEF， S BDC=S 四边形 BEFC， 又 = ， = ， 直线 EF 也是 ABC的黄金分割线 考点：相似形综合题；黄金分割 点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到平行线的性质及三角形的面积公式，根
21、据题意理解黄金分割点及分割线的定义是解答此题的关键 如图，已知点 F在 AB上，且 AF： BF=1： 2，点 D是 BC 延长线上一点，BC： CD=2： 1，连接 FD与 AC 交于点 N，求 FN： ND的值 答案： 3 试题分析：过点 F作 FE BD，交 AC 于点 E，求出 = ，得出 FE= BC，根据已知推出 CD= BC，根据平行线分线段成比例定理推出 = ，代入化简即可 解：过点 F作 FE BD，交 AC 于点 E， = ， AF： BF=1： 2， = ， = ， 即 FE= BC， BC： CD=2： 1， CD= BC， FE BD， = = = 即 FN： ND=
22、2： 3 证法二、连接 CF、 AD， AF： BF=1： 2， BC： CD=2： 1， = = ， B= B， BCF BDA， = = ， BCF= BDA， FC AD， CNF AND， = = 考点：平行线分线段成比例 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目 如图，直线 l1、 l2、 l3分别交直线 l4于点 A、 B、 C，交直线 l5于点 D、 E、 F，且 l1 l2 l3，已知 EF： DF=5： 8， AC=24 （ 1）求 AB的长； 当 AD=4， BE=1时，求 CF的长 答案
23、：（ 1） 9 （ 2） 4 试题分析：（ 1）根据 l1 l2 l3，推出 = = ，代入求出 BC 即可求出 AB； （ 2）根据 l1 l2 l3，得出 = = ，求出 OB、 OC，根据平行线分线段成比例定理得出 = = ，代入求出即可 （ 1）解： l1 l2 l3， EF： DF=5： 8， AC=24， = = ， = ， BC=15， AB=ACBC=2415=9 （ 2）解： l1 l2 l3， = = ， = ， OB=3， OC=BCOB=153=12， = = ， = ， CF=4 考点：平行线分线段成比例 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理
24、进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例 如图：已知等边三角形 ABC， D为 AC 边上的一动点， CD=nDA，连线段BD， M为线段 BD上一点， AMD=60， AM交 BC 于 E （ 1）若 n=1，则 = = ； （ 2）若 n=2，求证： BM=6DM； （ 3）当 n= 时， M为 BD中点 （直接写结果，不要求证明） 答案：（ 1） 1 2 （ 2）见 （ 3） 试题分析：（ 1） CD=nDA，当 n=1时， CD=DA，据等边三角形 ABC 的三线合一，可以得出 BDA=90，由 AMD=60，可得 EAD=30， 又 BAC=60，可得 BAE
25、=30， AE为 BAC的角平分线依据三线合一可得 BE=EC容易得 AM=2MD， AM=BM问题得到解决 （ 2）若 n=2，则 CD=2DA， ABC是等边三角形， AMD=60，可证明 BAD ACE，得 AD=CE， CD=BE；作辅助线 CF BD交 AE于 F，可得= = = ， = = ，观察 的乘积，可得 BM、 DM的数量关 系 （ 3）由 M 为 BD 中点，可知 BM=MD由 AMD=60， ABC 为等边三角形，可得 AMD ACE， BME BCD，由相似三角形对应边成比例，可得AD= ， DC= ，运用比例的性质合理变形，问题可求 （ 1）解：当 n=1时， CD
26、=DA， ABC是等边三角形， BD AC， BAC=60， ADM=90， 又 AMD=60， MAD=30， BAE= BAC MAD=30，即 BAE= EAD， AE为 ABC的中线， ； 在 AMD中， MD= AM，（ 30角所对的直角边等于斜边的一半） BAM= ABM=30， AM=BM， （ 2）证明： AMD= ABD+ BAE=60 CAE+ BAE=60 ABD= CAE 又 BA=CA， BAD= ACE=60 BAD ACE（ ASA） AD=CE CD=BE 作 CF BD交 AE于 F， = = = ， = = ， 得 = ， BM=6DM （ 3）解： M为 BD中点， BM=MD， BAD ACE（ ASA） AD=CE CD=BE AMD ACE， BME BCD AD= ， DC= ， 得 CD= AD， n= 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定；等边三角形的性质 点评：此题为考查三角形中线段的倍数关系，相关知识点的综合应用能力，解题关键在如何作辅助线
