1、14.1 第 3 课时 黄金分割一、选择题1已知线段 a， b， c，其中 c 是 a 和 b 的比例中项， a4， b9，则 c 等于( )A4 B6 C9 D362在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( )A12.36 cm B13.6 cmC32.36 cm D7.64 cm3若 b 是 a 和 c 的比例中项， c 是 b 和 d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )A. B. ab bc ad bcC. D. bc cd ab cd4美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近 0.618 时越给人一
2、种美感已知某女士身高 160 cm，下半身长与身高的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A6 cm B10 cm C4 cm D8 cm5已知 C 是线段 AB 上的一个点( AC BC)，有以下命题：若 ，则 C 是线段 AB 的黄金分割点；ACAB BCAC若 ，则 C 是线段 AB 的黄金分割点；ACAB 5 12若 ，则 C 是线段 AB 的黄金分割点；BCAC 5 12若 AC2 BCAB，则 C 是线段 AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个26已知 P， Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB10，则
3、 PQ 的长为( )A5( 1) B5( 1)5 5C10( 2) D5(3 )5 57宽与长的比是 (约 0.618)的矩形叫做黄金矩形黄金矩形蕴藏着丰富的美学5 12价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K291，作正方形 ABCD，分别取 AD， BC 的中点 E， F，连结 EF；如图，以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GH AD，交 AD 的延长线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图 K291A矩形 ABFEB矩形 EFCDC矩形 EFGHD矩形 DCGH二、填空题8(1)实数 2 和 18 的比例中项是_
4、；(2)已知线段 a5 cm， b15 cm，则 a 与 b 的比例中项是_；(3)已知数 3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是_(只需填写一个数)9已知 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则 _， _.BCAB BCAC10据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 )的黄金比值时，人体感到最舒适这个气温约为_(精确到 1 ). 链 接 学 习 手 册 例 2归 纳 总 结11如图 K292 所示，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA PB.若 S1是以 PA 为边的正方形的面积， S2表示长是 AB，宽是 PB 的矩形的面积，
5、则 S1_S2(填“”“”或“”)3图 K292三、解答题12如图 K293，扇子的圆心角为 x，余下的扇形的圆心角为 y， x 与 y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观若取黄金比为 0.6，求 x 的值(精确到 1)4图 K29313我们定义：顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)如图 K294， ABC， BDC， DEC 都是黄金三角形已知 AB1，求 DE 的长图 K29414以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，在 BA 的延5长线上取一点 F，使 PF PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，
6、点 M 在 AD 上，如图 K295 所示(1)求 AM， DM 的长；(2)求证： M 是线段 AD 的黄金分割点图 K29515 思维拓展如图 K296，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 CACAB BCAC为线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线” ，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1， S2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线S1S S2S1(1)研究小组猜想：在 ABC 中，若点 D 为 AB 边的黄金分割点(如图)，则直线 CD 是 ABC
7、的黄金分割线你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DF CE，交 AC 于点 F，连结 EF(如图)，则直线 EF 也是 ABC 的黄金分割线请你说明理由图 K296671答案B2解析 A 设这本书的宽为 x cm，则 0.618，解得 x12.36，故选 A.x203答案B 4解析 D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解根据已知条件得下半身长是 1600.696(cm)设需要穿的高跟鞋的高度是 y cm，则根据黄金分割的定义，得 0.618.y
8、 96160 y解得 y8.故选 D.5答案D6解析 C 由黄金分割的意义可得 PQ10 10( 5 12 （ 1 5 12 ） 2)57解析 D 设正方形的边长为 2，则 CD2，CF1.在 RtDCF 中，DF ，12 22 5FG ，CG 1，5 5 ，CGCD 5 12矩形 DCGH 为黄金矩形故选 D.8答案 (1)6 (2)5 cm 3(3) ，12 或3 (写出一个即可)32 2解析 (3)设这个数为 x，则 3，6 或 x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论设这个数为 x，则 326x 或 623x 或 x236，解得 x 或 x12 或 x3 .32 289答案 3
9、52 5 12解析 因为 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，所以 .ACAB 5 12又因为 BCABAC，所以 1 1 .由黄金分割可知 .BCAB AB ACAB ACAB 5 12 3 52 BCAC ACAB 5 1210答案 23解析 用近似的黄金比值 0.618 直接与 37 相乘即可11答案 解析 根据黄金分割的定义得到 PA2PBAB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1PA 2，S 2PBAB，即可得到 S1S 2.P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，PA 2PBAB.又S 1是以 PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是 AB，宽是 PB 的矩形的面积，
10、S 1PA 2，S 2PBAB，S 1S 2.12解：x 与 y 的比通常按黄金比来设计，xy0.6，y x.53又xy360，x x360，53解得 x135.13解：ABC，BDC，DEC 都是黄金三角形，AB1，ABAC，ADBDBC，DEBECD.设 DEx，则 CDBEx，ADBC1x. ，ECBCBE1xx12x，ECDE BCAB ，1 2xx 1 x1解得 x (x 1 舍去)，3 52 3 529DE 的长为 .3 5214解：(1)正方形 ABCD 的边长为 2，P 是 AB 的中点，ABAD2，AP1，BAD90，PD ，AP2 AD2 5在正方形 AMEF 中，AMAF
11、 1，DMADAM3 .5 5(2)证明：由(1)，得 ADDM2(3 )62 .5 5又AM 2( 1) 262 .5 5AM 2ADDM，即 M 是线段 AD 的黄金分割点15 解：(1)对理由如下：设ABC 中边 AB 上的高为 h.则 SADC ADh，S BDC BDh，S ABC ABh，12 12 12 ， .S ADCS ABC ADAB S BDCS ADC BDAD又点 D 为 AB 边的黄金分割点， ，ADAB BDAD ，S ADCS ABC S BDCS ADC直线 CD 是ABC 的黄金分割线(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时 S1S 2 S，即 ，12 S1S S2S1三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线(3)DFCE，DEC 和FCE 的公共边 CE 上的高相等，10S DEC S FCE .设直线 EF 与 CD 交于点 G，S DGE S FGC ，S ADC S 四边形 AFGDS FGC S 四边形 AFGDS DGE S AEF ，S BDC S 四边形 BEFC.又 ， ，S ADCS ABC S BDCS ADC S AEFS ABC S四 边 形 BEFCS AEF直线 EF 也是ABC 的黄金分割线
