2014届江苏省无锡市新区九年级第一次模拟考试数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届江苏省无锡市新区九年级第一次模拟考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 的倒数是（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：根据倒数的定义知： 的倒数是 -3. 故选 B. 考点 : 有理数的倒数 . 如图，在 ABC中， C=90， AC=BC=4， D是 AB的中点，点 E、 F分别在 AC、 BC 边上运动（点 E不与点 A、 C重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、 EF在此运动变化的过程中，有下列结论： DFE是等腰直角三角形； 四边形 CEDF不可能为正方形； 四边形 CEDF的面积随点 E位置的改变而发生变化； 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论

2、的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案： B. 试题分析： 连接 CD； ABC是等腰直角三角形， DCB= A=45， CD=AD=DB； AE=CF， ADE CDF； ED=DF， CDF= EDA； ADE+ EDC=90， EDC+ CDF= EDF=90， DFE是等腰直角三角形故此选项正确； 当 E、 F分别为 AC、 BC 中点时，四边形 CDFE是正方形，故此选项错误； 如图 2所示，分别过点 D，作 DM AC， DN BC，于点 M， N， 可以利用割补法可知四边形 CEDF的面积等于正方形 CMDN 面积，故面积保持不变；故此选项错误； DEF是等腰直角三

3、角形， DE=EF， 当 EF AB时， AE=CF， E， F分别是 AC， BC 的中点，故 EF 是 ABC的中位线， EF 取最小值 ， CE=CF=2， 此时点 C到线段 EF 的最大距离为 EF= 故此选项正确； 故正确的有 2个， 故选： B 考点 : 1.全等三角形的判定与性质； 2.等腰直角三角形 如图，用邻边分别为 a， b（ a b）的矩形硬纸板裁出以 a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 a与 b满足的关系式是 ( ) A b= a B b= a

4、C a D b= a 答案： D. 试题分析： 半圆的直径为 a， 半圆的弧长为 把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， 设小圆的半径为 r，则： 2r= 解得： r= AC= a-r= ， 如图小圆的圆心为 B，半圆的圆心为 C，作 BA CA于 A点， 则： AC2+AB2=BC2 即：（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2 整理得： 故选 D 考点 : 圆锥的计算 方程 的正数根的个数为（ ） A 1个 B 2个 C 3 D 0 答案： A 试题分析： 二次函数 y=x2+2x+1=（ x+1） 2的图象过点（ 0， 1），且在第一、二象限内，反比例函数 y= 的图象在第一、三象

5、限， 这两个函数只在第一象限有一个交点 即方程 x2+2x+1= 的正数根的个数为 1 故选 A 考点 : 1.二次函数的图象； 2.反比例函数的图象 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形 ABCD是菱形的依据是 （ ） A一组邻边相等的四边形是菱形 B四边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 答案： B. 试题分析：由图形作法可知： AD=AB=DC=BC， 四边形 ABCD是菱形， 故选 B 考点 : 1.菱形的判定； 2.作图 复杂作图 O1、 O2的半径分别为 3cm、 4cm，圆心距 O1O2为 5cm，则这两圆的位

6、置关系是（ ） A内切 B外切 C内含 D相交 答案： D. 试题分析： 4+3=7 5, 两圆相交 故选 D 考点 : 圆与圆的位置关系 若一个多边形的内角和是 1080度，则这个多边形的边数为（ ） A 6 B 7 C 8 D 10 答案： C. 试题分析：根据 n边形的内角和公式，得 （ n-2） 180=1080， 解得 n=8 这个多边形的边数是 8 故选 C. 考点 : 多边形内角与外角 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 答案： D 试题分析： A、不是轴对称图形，是中心对称图形故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心 对称图形故此选项错误； C、是轴对称图

7、形，不是中心对称图形故此选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形故此选项正确 故选 D 考点 : 1.中心对称图形； 2.轴对称图形 函数中 y= 自变量 x的取值范围是（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：根据题意知： x-20 解得： x2. 故选 A. 考点 : 1.函数自变量取值范围； 2.二次根式有意义的条件 . 下列运算中，正确的是（ ） A B C D 答案： C. 试题分析： A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误； C. ，故该选项正确； D. ，故本选项错误 . 故选 C. 考点 : 1.完全平方公式； 2.同底数幂的乘法； 3.二次根式的化简； 4

8、.分式的乘方 . 填空题 如图，边长为 6的正方形 ABCD内部有一点 P， BP=4， PBC=60，点 Q为正方形边上一动点，且 PBQ 是等腰三角形，则符合条件的 Q 点有 _个 答案： . 试题分析：分别以 BP 为腰 B为顶点、以 BP 为腰 P为顶点和以 BP 为底作三角形即可得到满足条件的 Q 的个数 如右图所示，分以下情形： （ 1）以 BP 为腰， P为顶点时： 以 P为圆心， BP 长为半径作圆，分别与正方形的边交于 Q1， Q2， Q3此时 P与 CD边相切； （ 2）以 BP 为腰， B为顶点时： 以 B为圆心， BP 长为半径作圆，与正方形的边交于 Q4和 Q1； （

9、 3）以 BP 为底时： 作 BP 的垂直平分线交正方形的边于 Q5和 Q1 综上所述，共有 5个点 . 考点 : 1.等腰三角形的判定； 2.正方形的性质 如图，将一张边长为 6的正方形纸片按虚线裁掉四个梯形后，剩下部分恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 _。 答案： 试题分析：这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为 6，宽为 6减去两个等边三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案： 将一张边长为 6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱， 这个正三角形的底面边长为 2，高为 ， 侧面积为长为 6，宽为 的长方形， 面积为： 6（ ） = 考点

10、 : 1.解直角三角形； 2.展开图折叠成几何体 已知扇形的圆心角为 120，半径为 3，扇形的周长为 . 答案： +2 试题分析：直接利用弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形的周长 扇形的圆心角为 120，半径为 3， 扇形的弧长为： ， 扇形的周长为： 6+2 考点 : 弧长的计算 如图 ， A、 B的坐标分别为（ 1， 0）、（ 0， 2），若将线段 AB平移到至 AB ， A 、 B 的坐标分别为（ 2， a）、（ b， 3），则 a+b= 答案： 试题分析：根据平移前后的坐标变化，得到平移方向，从而求出 a、 b的值 A（ 1， 0）转化为 A1（ 2， a）横坐标增加了 1， B（

11、0， 2）转化为 B1（ b， 3）纵坐标增加了 1， 则 a=0+1=1， b=0+1=1， 故 a+b=1+1=2 考点 : 坐标与图形变化 -平移 如图， O 的半径为 4，点 A、 B、 C在 O 上，且 ACB=45，则弦 AB的长是 . 答案： 试题分析：先根据圆周角定理得到 AOB=2 ACB=90，则可判断 OAB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解 连结 OA、 OB，如图， AOB=2 ACB=245=90， OAB为等腰直角三角形， AB= OA= 考点 : 1.圆周角定理； 2.等腰直角三角形 一元二次方程 x2+x-2=0的两根之积是 . 答案： -2

12、试题分析：根据根与系数的关系，即可求得答案： 设一元二次方程 x2+x-2=0的两根分别为 ， ， =-2 一元二次方程 x2+x-2=0的两根之积是 -2 考点 : 根与系数的关系 一台计算机硬盘容量大小是 20180000000字节，请用科学记数法将该硬盘容量表示 . 答案： .0181010. 试题分析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10， n为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 20180000000=2.0181010 考点 : 科学

13、记数法 表示较大的数 分解因式： 2x2-8= . 答案：（ x+2）（ x-2） 试题分析：先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 2x2-8 =2（ x2-4） =2（ x+2）（ x-2） 考点 : 提公因式法与公式法的综合运用 解答题 （ 1）在图 的半径为 R的半圆 O 内（含弧），求出一边落在直径 MN 上的最大的正三角形的面积？ （ 2）在图 的半径为 R的半圆 O 内（含弧），求出一边落在直径 MN 上的最大的正方形的面积？ 问题解决 （ 3）如图 ，现有一块半径 R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在 MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个

14、矩形的面积；若不存在，说明理由？ 答案：（ 1） R2；（ 2） R2；（ 3）存在， 36 试题分析：（ 1）如图 ， ACB 为满足条件的面积最大的正三角形连接 OC，则 OC AB，根据垂径定理得到 AB=2OB，然后利用含 30的直角三角形三边的关系求出 OB，再利用三角形的面积公式计算即可； （ 2）如图 ，正方形 ABCD为满足条件的面积最大的正方形连接 OA令OB=a，则 AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可； （ 3）如图 ，先作一边落在直径 MN 上的矩形 ABCD，使点 A、 D在弧 MN 上，再作半圆 O 及矩形 ABCD关于直径 MN 所在直

15、线的对称图形， A、 D的对称点分别是 A、 D连接 AD、 OD，则 AD为 O 的直径在 RtAAD中，当OA AD时， SAAD的面积最大 （ 1）如图 ， ACB为满足条件的面积最大的正三角形 连接 OC，则 OC AB AB=2OB tan30= R， S ACB= AB OC= R R= R2 （ 2）如图 ，正 方形 ABCD为满足条件的面积最大的正方形 连接 OA令 OB=a，则 AB=2a 在 Rt ABO 中， a2+（ 2a） 2=R2 即 a2= R2 S 正方形 ABCD=（ 2a） 2= R2 （ 3）存在 如图 ，先作一边落在直径 MN 上的矩形 ABCD，使点

16、A、 D在弧 MN 上，再作半圆 O 及矩形 ABCD关于直径 MN 所在直线的对称图形， A、 D的对称点分别是 A、 D 连接 AD、 OD，则 AD为 O 的直径 S 矩形 ABCD=AB AD= AA AD=SAAD 在 RtAAD中，当 OA AD时， S AAD的面积最大 S 矩形 ABCD 最大 = 2R R=R2=36 考点 : 1.垂径定理； 2.等边三角形的性质； 3.勾股定理； 4.正方形的性质 小明遇到这样一个问题： “如图 1，在边长为 a（ a 2）的正方形 ABCD各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当 AFQ= BGM= CHN= DEP=45时，求正方

17、形 MNPQ 的面积 ” 分析时，小明发现，分别延长 QE， MF， NG， PH交 FA， GB， HC， ED的延长线于 点 R， S， T， W，可得 RQF， SMG， TNH， WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为 _ （ 2）求正方形 MNPQ 的面积 （ 3）参考小明思 考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边 ABC各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D， E， F作BC， AC， AB的垂线，得到等边 RPQ若 S RPQ= ，则 AD的长为_ 答案： (1)

18、 a；（ 2） 2； (3) . 试题分析： (1)四个等腰直角三角形的斜边长为 a，其拼成的正方形的面积为 a2； （ 2）如图 2所示，正方形 MNPQ 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形 MNPQ 的面积； （ 3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题 . (1) a (2) 四个等腰直角三角形 RQF， SMG， TNH， WPE的面积和为 a2，正方形 ABCD的面积为 a2， S 正方形 MNPQ=S ARE+S DWH+S GCT+S SBF=4S ARE=4 1 2=2； (3) 如答图 1所示，分别延长 RD， QF， PE， 交

19、 FA， EC， DB的延长线于点 S， T， W 由题意易得： RSF， QET， PDW均为底角是 30的等腰三角形，其底边长均等于 ABC的边长 所以 RSF， QET， PDW的面积等于 ABC的面积。 由此可得： S RPQ=S ADS+S CFT+S BEW=3S ADS， 过点 A作 AN SD于点 N，设 AD=AS=x， 则 AN=AD sin30= x， SD=2ND=2ADcos30= x， S ADS= SD AN= x x= x2 S RPQ=S ADS+S CFT+S BEW=3S ADS， =3 x2，得 x2= ， 解得 x= 或 x= （不合题意，舍去） x=

20、 ，即 AD的长为 。 考点 : 四边形综合题 . 温州享有 “中国笔都 ”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将 n件产品运往A， B， C三地销售，要求运往 C地的件数是运往 A地件数的 2倍，各地的运费如图所示设安排 x件产品运往 A地 （ 1）当 n=200时， 根据信息填表： A地 B地 C地 合计 产品件数（件） x 2x 200 运费（元） 30x 若运往 B地的件数不多于运往 C地的件数，总运费不超过 4000元，则有哪几种运输方案？ （ 2）若总运费为 5800元，求 n的最小值 答案：（ 1）填表见；有三种方案，分别是：方案一： A地 40件， B地 80件， C地 80件；

21、方案二： A地 41件， B地 77件， C地 82件；方案三： A地 42件， B地 74件， C地 84件；（ 2） 221. 试题分析：（ 1） 根据 n=200求出运往 B第的件数，再分别乘以单价即可求出运往 B地、 C地的运费； 根据运往 B地的件数不多于运往 C地的件数，总运费不超过 4000元列出不等式组，然后求解得到 x的取值范围，再根据 x是正整数确定出运输方案； （ 2）根据总运费列出算式并用 x表示出 n，再根据 n不小于运往 A、 C两地的件数求出 x的取值范围，然后根 据一次函数的增减性求出 n的最小值即可 （ 1） 根据信息填表： ； 由题意，得 ， 解不等式 得，

22、 x40， 解不等式 得， x ， 所以， 40x ， x为整数， x=40或 41或 42， 有三种方案，分别是：方案一： A地 40件， B地 80件， C地 80件； 方案二： A地 41件， B地 77件， C地 82件； 方案三： A地 42件， B地 74件， C地 84件； （ 2）由题意，得 30x+8（ n-3x） +50x=5800， 整理，得 n=725-7x， n-3x0， 725-7x-3x0， 解得 x72.5， 又 x0， 0x72.5且 x为整数， n随 x的增大而减少， 当 x=72时， n有最小值为 725-772=221 考点 : 1.一次函数的应用； 2

23、.一元一次不等式组的应用 在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图， O（ 0， 0）、 B（ 6，0）、 C（ 6， 8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区 （ 1）求圆形区域的面积； （ 2）某时刻海面上出现 -渔船 A，在观测点 O 测得 A位于北偏东 45，同时在观测点 B测得 A位于北偏东 30，求观测点 B到 A船的距离（ 1.7，保留三个有效数 字）； （ 3）当渔船 A 由（ 2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答。 答案：（ 1） 25；（ 2） 16.2；（ 3） A船不会进入海洋生物保护区 试题分析：（ 1）连接 CB， CO，则

24、 CB y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC= ，则半径 OO=5， S O= 52=25 （ 2）过点 A作 AD x轴于点 D，依题意，得 BAD=30，在 Rt ABD中，设 BD=x，则 AB=2x，由勾股定理 AD= x，根据图形得到 OD=OB+BD=6+x，故 AB=2x=6（ +1） 16.2 （ 3）过点 A作 AG y轴于点 G过点 O作 OE OB于点 E，并延长 EO交AG于点 F由垂径定理得， OE=BE=3在 RtOOE中，由勾股定理得，OE=4所以 OF=9+3 -4=5+3 5 （ 1）连接 CB， CO，则 CB y轴， CBO=90， 设 O为由 O、 B、

25、C三点所确定圆的圆心 则 OC为 O的直径 由已知得 OB=6， CB=8，由勾股定理得 OC= 半径 OO=5， S O= 52=25 （ 2）过点 A作 AD x轴于点 D，依题意，得 BAD=30， 在 Rt ABD中，设 BD=x，则 AB=2x， 由勾股定理得， AD= ， 由题意知： OD=OB+BD=6+x，在 Rt AOD中， OD=AD， 6+x= x x=3（ +1）， AB=2x=6（ +1） 16.2 （ 3）过点 A作 AG y轴于点 G 过点 O作 OE OB于点 E，并延长 EO交 AG于点 F 由（ 1）知， OO=5，由垂径定理得， OE=BE=3 在 RtO

26、OE中，由勾股定理得， OE=4 四边形 FEDA为矩形 EF=DA，而 AD= x=9+3 OF=9+3 -4=5+3 5， 直线 AG与 O相离， A船 不会进入海洋生物保护区 考点 : 1.勾股定理的应用； 2.点与圆的位置关系 为了了解学生关注热点新闻的情况， “两会 ”期间，小明对班级同学一周内收看 “两会 ”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出） 根据上述信息，解答下列各题： （ 1）该班级女生人数是 _，女生收看 “两会 ”新闻次数的中位数是 _； （ 2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于 3次的人数占其所在群体总人数的百

27、分比叫做该群体对某热点新闻的 “关注指数 ”如果该班级男生对 “两会 ”新闻的 “关注指数 ”比 女生低 5%，试求该班级男生人数； （ 3）为进一步分析该班级男、女生收看 “两会 ”新闻次数的特点，根据你所学过的统计知识，选择有关统计量，来比较该班级男、女生收看 “两会 ”新闻次数的波动大小 答案：（ 1） 20， 3；（ 2） 25人；（ 3）男生比女生的波动幅度大 试题分析：（ 1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第 10与 11名同学的次数的平均数 （ 2）先求出该班女生对 “两会 ”新闻的 “关注指数 ”，即可得出该班男生对 “两会 ”新闻的 “关注指数 ”，再列方程

28、解答即可 （ 3）比较该班级男、女生收看 “两会 ”新闻次数的波动大小，需要求出男女生的方差 （ 1） 20， 3 （ 2）由题意：该班女生对 “两会 ”新闻的 “关注指数 ”为 100%=65% 所以，男生对 “两会 ”新闻的 “关注指数 ”为 60% 设该班的男生有 x人 则 =60%，解得： x=25 答：该班级男生有 25人 （ 3）男生收看 “两会 ”新闻次数的方差为 2，女生收看 “两会 ”新闻次数的方差为：, 因为 2 ,所以男生比女生的波动幅度大 考点 : 1.方差； 2.折线统计图； 3.算术平均数； 4.中位数； 5.众数 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜

29、色的球共 20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 请估计：当 n很大时，摸到白球的频率将会接近 _； 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 _；摸到黑球的概率是 _； 试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了。这个问题是：在一个不透

30、明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。 答案：（ 1） 0.60；（ 2） 0.60， 0.4；（ 3） 8， 12；（ 4） . 试题分析：本题要先根据已知条件求出摸到白球的平均频率，再计算即可 （ 1）当 n很大时，摸到白球的频率将会接近（ 0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601） 60.60； （ 2）摸到白球的概率是 0.60，摸到黑球的概率是 1-0.60=0.4； （ 3）白球有 20O.60=12（只），黑球有

31、20-12=8（只）； （ 4）把 a个黑球装入口袋中，将黑球、白球混合搅匀，做摸球实验，随机摸出一个球记下颜色，再放回口袋中，不断重复，可得到摸到黑球的频率 P， 由于黑球有 a个，则设白球的数量为 b，得 解得： 考点 : 1.利用频率估计概率； 2.概率公式 如图，点 D是线段 AB的中点，点 C是线段 AB的垂直平分线上的任意一点， DE AC 于点 E， DF BC 于点 F （ 1）求证： CE=CF； （ 2）点 C运动到什么位置时，四边形 CEDF成为正方形？请说明理由 答案： (1)证明见；（ 2） CD= AB时，四边形 CEDF为正方形，理由见 . 试题分析：（ 1）由

32、CD垂直平分线 AB，可得 AC=CB， ACD= BCD，再加 EDC= FDC=90，可证得 ACD BCD（ ASA）， CE=CF； （ 2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形所以当 CD= AB时，四边形 CEDF为正方形 （ 1）证明： CD垂直平分线 AB， AC=CB ABC是等腰三角形， CD AB， ACD= BCD DE AC， DF BC， DEC= DFC=90 EDC= FDC， 在 DEC与 DFC中， ， DEC DFC（ ASA）， CE=CF （ 2）解：当 CD= AB时，四边形 CEDF为正方形理由如下： CD AB， CDB= CDA=90

33、， CD= AB， CD=BD=AD， B= DCB= ACD=45， ACB=90， 四边形 ECFD是矩形， CE=CF， 四边形 ECFD是正方形 考点 : 1.线段垂直平分线的性质； 2.正方形的判定 解方程： = -3 解不等式组： 答案： (1) 原方程无解；（ 2） -1x 2. 试题分析：（ 1）先根据 “去分母、去括号、揿项、合并同类项、系数化为 1”的步骤解方程，然后再检验即可求得方程的解 . （ 2）先求出不等式组中 、 的解集，再找到公共部分即可 （ 1） = -3 = -3 1=x-1-3(x-2) 1=x-1-3x+6 x=2 经检验： x=2是增根，所以原方程无解

34、 . （ 2）解不等式（ 1）得： x 2； 解不等式（ 2）得： x -1 所以：不等式组的解集为： -1x 2. 考点 : 1.解分式方程； 2.解一元一次不等式组 . 计算：（ 1） (-3)2- (-1)0+ （ 2） 答案：（ 1） 9- ；（ 2） . 试题分析： (1)先分别计算有理数的乘方、绝对值，再进行二次根式的化简，最后进行加减运算即可求出答案：； （ 2）先把括号里的进行通分，再乘以除式的倒数，进行约分化简即可 . （ 1） (-3)2- (-1)0+ =9-2+1+1- =9- （ 2） = = = . 考点 : （ 1）实数的混合运算；（ 2）分式化简 . 在直角坐标

35、系 xOy中，已知点 P是反比例函数 y （ x 0）图象上一个动点，以 P为圆心的圆始终与 y轴相切，设切点为 A （ 1）如图 1， P运动到与 x轴相切，设切点为 K，试判断四边形 OKPA的形状，并说明理由 （ 2）如图 2， P运动到与 x轴相交，设交点为 B， C当四边形 ABCP是菱形时： 求出点 A， B， C的坐标 在过 A， B， C三点的抛物线上是否存在点 M，使 MBP的面积是菱形ABCP面积的 ？若存在，试求出所有满足条件的 M点 的坐标；若不存在，试说明理由 答案： (1) 四边形 OKPA是正方形；（ 2） A（ 0， ）， B（ 1， 0）， C（ 3， 0）；

36、（ 3）；（ 0， ），（ 3， 0），（ 4， ），（ 7， 8 ） 试题分析：（ 1）四边形 OKPA是正方形当 P分别与两坐标轴相切时，PA y轴， PK x轴， x轴 y轴，且 PA=PK，可判断结论； （ 2） 连接 PB，设点 P（ x， ），过点 P作 PG BC 于 G，则半径PB=PC，由菱形的性质得 PC=BC，可知 PBC 为等边三角形，在 Rt PBG 中， PBG=60， PB=PA=x， PG= ，利用 sin PBG= ，列方程求 x即可； 求直线 PB 的式，利用过 A 点或 C 点且平行于 PB 的直线式与抛物线式联立，列方程组求满足条件的 M点坐标即可 （

37、1）四边形 OKPA是正方形 证明： P分别与两坐标轴相切， PA OA， PK OK PAO= OKP=90 又 AOK=90， PAO= OKP= AOK=90 四边形 OKPA是矩形 又 AP=KP， 四边形 OKPA是正方形 （ 2） 连接 PB，设点 P的横坐标为 x，则其纵坐标为 过点 P作 PG BC 于 G 四边形 ABCP为菱形， BC=PA=PB=PC（半径） PBC为等边三角形 在 Rt PBG中， PBG=60， PB=PA=x， PG= sin PBG= ，即 解之得： x=2（负值舍去） PG= ， PA=BC=2 P(2, ) 易知四边形 OGPA是矩形， PA=

38、OG=2， BG=CG=1， OB=OG-BG=1， OC=OG+GC=3 A（ 0， ）， B（ 1， 0）， C（ 3， 0） 设二次函数式为： y=ax2+bx+c 据题意得： 解之得： 二次函数关系式为： y x2 x+ 设直线 BP 的式为： y=ux+v，据题意得： 解之得： 直线 BP 的式为： y= x- ， 过点 A作直线 AM BP，则可得直线 AM的式为： y x+ 解方程组： 得： ； 过点 C作直线 CM PB，则可设直线 CM的式为： y x+t 0=3 +t t 3 直线 CM的式为： y x 3 解方程组： 得： ； 综上可知，满足条件的 M的坐标有四个，分别为：（ 0， ），（ 3， 0），（ 4， ），（ 7， 8 ） 考点 : 二次函数综合题