1、2013年初中毕业升学考试（江苏常州卷）数学（带解析） 选择题 在下列实数中，无理数是 A 2 B 3.14 CD 答案： D 试题分析：根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解： A、 2是有理数，故本选项错误； B、 3.14是有理数，故本选项错误； C、 是有理数，故本选项错误； D、 是无理数，故本选项正确。 故选 D。 有 3张边长为 a的正方形纸片， 4张边长分别为 a、 b（ b a）的矩形纸片，5张边长为 b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 A
2、 a+b B 2a+b C 3a+b D a+2b 答案： D 试题分析： 3张边长为 a的正方形纸片的面积是 3a2， 4张边长分别为 a、 b（ b a）的矩形纸片的面积是 4ab， 5张边长为 b的正方形纸片的面积是 5b2， a2+4ab+4b2=（ a+2b） 2， 拼成的正方形的边长最长可以为（ a+2b，。 故选 D。 二次函数 （ a、 b、 c为常数且 a0）中的 x与 y的部分对应值如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 3 4 3 0 5 12 给出了结论： （ 1）二次函数 有最小值，最小值为 3； （ 2）当 时， y 0； （ 3）二次函
3、数 的图象与 x轴有两个交点，且它们分别在 y轴两侧 则其中正确结论的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案： B 试题分析：由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线 x=1， 当 x=1时，二次函数 有最小值，最小值为 4；故（ 1）错误。 根据表格数据，当 1 x 3时， y 0， 当 时， y 0正确，故（ 2）正确。 二次函数 的图象与 x 轴有两个交点，分别为（ 1， 0）（ 3， 0），它们分别在 y轴两侧，故（ 3）正确。 综上所述，结论正确的是（ 2）（ 3）共 2个。故选 B。 已知 O 的半径是 6，点 O 到直线 l的距离为 5，则直线 l与 O 的位置关系是 A相离
4、 B相切 C相交 D无法判断 答案： C 试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定： 直线 l和 O 相交，则 d r； 直线 l和 O 相切，则 d=r； 直线 l和 O 相离，则 d r（ d为直线与圆的距离， r为圆的半径）。因此， O 的半径为 6，圆心 O 到直线 l的距离为 5， 6 5，即： d r。 直线 l与 O 的位置关系是相交。故选 C。 已知：甲乙两组数据的平均数都是 5，甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，下列结论中正确的是 A甲组数据比乙组数据的波动大 B乙组数据的比甲组数据的波动大 C甲组数据与乙组数据的波动一样大 D甲组数据与乙组数据的波动不能比较 答案： B 试
5、题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定。因此， ， 乙组数据的比甲组 数据的波动大。故选 B。 下列计算中，正确的是 A（ a3b） 2=a6b2 B a a4=a4 C a6a 2=a3 D 3a+2b=5ab 答案： A 试题分析：根据乘法分配律，合并同类项，幂的乘方运算法则逐一计算作出判断： A、（ a3b） 2=a6b2，故本选项正确； B、 a a4=a5，故本选项错误； C、 a6a 2=a62=a4，故本选项错误； D、 3a与 2b不是同类项，不能合并，故本选项错误。
6、 故选 A。 下列函数中，图象经过点（ 1， 1）的反比例函数关系式是 A B C D 答案： A 试题分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（ 1， 1）代入各函数关系式验算，易得，（ 1， 1）满足 。故选 A。 如图所示圆柱的左视图是 A B C D 答案： C 试题分析：找到从左面看所得到的图形即可，此圆柱的左视图是一个矩形，故选 C。 填空题 在平面直角坐标系 xOy中，已知第一象限内的点 A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点 B在反比例函数 的图象上，连接 OA、 OB，若OA OB， OB= OA，则 k= 答案： 试题分析：过点 A作 AE x轴于点 E，过点 B作
7、 BF x轴于点 F， 设点 A的坐标为（ a， ），点 B的坐标为（ b， ）， AOE+ BOF=90， OBF+ BOF=90， AOE= OBF。 又 BFO= OEA=90， OBF AOE。 ，即 。 ， ， 可得： 2k=1，解得： 。 如图， ABC内接于 O， BAC=120， AB=AC， BD为 O 的直径，AD=6，则 DC= 答案： 试题分析： BD为 O 的直径， BAD= BCD=90. BAC=120， CAD=12090=30。 CBD= CAD=30。 又 BAC=120， BDC=180 BAC=180120=60。 AB=AC， ADB= ADC。 AD
8、B= BDC= 60=30。 AD=6， 在 Rt ABD中， 。 在 Rt BCD中， 。 已知 x=-1是关于 x的方程 的一个根，则 a= 答案： 2或 1 试题分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把 x=1代入方程，即可得到一个关于 a的方程： ，解得 a=2或 1。 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温（ ） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数是 ，众数是 答案：； 28 试题分析：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为 25， 26， 27，27，
9、 28， 28， 28， 中位数是按从小到大排列后第 4个数为： 27。 众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是28，故这组数据的众数为 28。 函数 中自变量 x的取值范围是 ；若分式 的值为 0，则x= 答案： ； 试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须。 根据分式为 0的条件，要使 ，必须 。 已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150，则此扇形的弧长是 cm，扇形的面积是 cm2（结果保留 ） 答案： ； 试题分析： 扇形的半径为 6cm，圆心角为 150， 此扇形
10、的弧长是： 。 根据扇形的面积公式，得 。 已知一次函数 y=kx+b（ k、 b为常数且 k0）的图象经过点 A（ 0， 2）和点 B（ 1， 0），则 k= ， b= 答案：； 2 试题分析： 一次函数 y=kx+b（ k、 b 为常数且 k0）的图象经过点 A（ 0， 2）和点 B（ 1， 0）， 。 已知点 P（ 3， 2），则点 P关于 y轴的对称点 P1的坐标是 ，点 P关于原点 O 的对称点 P2的坐标是 答案：（ -3， 2）；（ -3， -2） 试题分析：关于 y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点 P（ 3， 2）关于 y轴对称的点 P1的坐标是（ -
11、3， 2）。 关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点 P（ 3， 2）关于原点 O 对称的点 P2的坐标是（ -3， -2）。 计算 ， ， ， 答案：； 3； ； 9 试题分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的意义分别进行计算即可得解： ， ， ， 。 解答题 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（ 6， 0），点 B（ 0， 6），动点 C在以半径为 3的 O 上，连接 OC，过 O 点作 OD OC， OD与 O 相交于点 D（其中点 C、 O、 D按逆时针方向排列），连接 AB （ 1）当 OC AB时， BOC的度数为 ； （ 2）连接
12、AC， BC，当点 C 在 O 上运动到什么位置时， ABC 的面积最大？并求出 ABC的面积的最大值 （ 3）连接 AD，当 OC AD时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由 答案：解：（ 1） 45或 135。 （ 2）当点 C到 AB的距离最大时， ABC的面积最大。 过 O 点作 OE AB于 E， OE的反向延长线交 O 于 C，如图，此时 C点到 AB的距离的最大值为 CE的长， OAB为等腰直角三角形， AB= OA=6 。 OE= AB=3 。 CE=OC+CE=3+3 。 ABC的面积 。 当点 C在 O 上运动到第三象限的角平分线
13、与圆的交点位置时， ABC的面积最大，最大值为 。 （ 3） 如图，过 C点作 CF x轴于 F， OD OC， OC AD， ADO= COD=90。 DOA+ DAO=90。 DOA+ COF=90， COF= DAO。 Rt OCF Rt AOD。， ，即 ，解得 。 在 Rt OCF中， ， C点坐标为 。 直线 BC 是 O 的切线。理由如下： 在 Rt OCF中， OC=3， OF= ， 。 COF=30。 OAD=30。 BOC=60， AOD=60。 在 BOC和 AOD中， ， BOC AOD（ SAS）。 BCO= ADC=90， OC BC。 直线 BC 为 O 的切线。
14、 试题分析：（ 1） 点 A（ 6， 0），点 B（ 0， 6）， OA=OB=6。 OAB为等腰直角三角形。 OBA=45。 OC AB， 当 C点在 y轴左侧时， BOC= OBA=45； 当 C点在 y轴右侧时， BOC=180 OBA=135。 （ 2）由 OAB为等腰直角三角形得 AB= OA=6 ，根据三角形面积公式得到当点 C到 AB的距离最大时， ABC 的面积最大，过 O 点作 OE AB于 E，OE的反向延长线交 O 于 C，此时 C点到 AB的距离的最大值为 CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE，然后计算 ABC的面积。 （ 3） 过 C点作 CF x轴于 F
15、，易证 Rt OCF Rt AOD，则 ，即，解得 ，再利用勾股定理计算出 ，则可得到C点坐标。 由于 OC=3， OF= ，所以 COF=30，则可得到 BOC=60， AOD=60，然后根据 “SAS”判断 BOC AOD，所以 BCO= ADC=90，再根据切线的判定定理可确定直线 BC 为 O 的切线。 用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则（史称 “皮克公式 ”） 小明认真研究了 “皮克公式 ”，并受此启发对正三角开形网格中
16、的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点 中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积 多边形 1 8 1 多边形 2 7 3 一般格点多边形 a b S 则 S与 a、 b之间的关系为 S= （用含 a、 b的代数式表示） 答案：解：填表如下： 格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积 多边形 1 8 1 8 多边形 2 7 3 11 一般格点多边形 a b S a+2（ b1） 试题分
17、析：根据 8=8+2（ 11）， 11=7+2（ 31）得到 S=a+2（ b1）。 某饮料厂以 300千克的 A种果汁和 240千克的 B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含 0.6千克 A种果汁，含 0.3千克 B种果汁；每千克乙种饮料含 0.2千克 A种果汁，含 0.4千克 B种果汁饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共 650千克，设该厂生产甲种饮料 x（千克） （ 1）列出满足题意的关于 x的不等式组，并求出 x的取值范围； （ 2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 1千克 3元，乙种饮料销售价是每 1千克 4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使
18、得这批饮料销售总金额最大？ 答案：解： （ 1）设该厂生产甲种饮料 x千克，则生产乙种饮料（ 650x）千克， 根据题意得， ， 由 得， x425，由 得， x200， x的取值范围是 200x425。 （ 2）设这批饮料销售总金额为 y元，根据题意得， ，即 y=x+2600， k=1 0， 当 x=200时，这批饮料销售总金额最大，为 200+2600=2400元。 试题分析：（ 1）表示出生产乙种饮料（ 650x）千克，然后根据所需 A种果汁和 B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到 x的取值范围。 （ 2）根据销售总金额等于两种饮料的 销售额的和列式整理，再根据一次函数的增
19、减性求出最大销售额。 在 Rt ABC中， C=90， AC=1， BC= ，点 O 为 Rt ABC内一点，连接 A0、 BO、 CO，且 AOC= COB=BOA=120，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点 B为旋转中心，将 AOB绕点 B顺时针方向旋转 60，得到 AOB（得到 A、 O 的对应点分别为点 A、 O），并回答下列问题： ABC= ， ABC= ， OA+OB+OC= 答案：解：作图如下： 30； 90； 。 试题分析：按题意作图。 C=90， AC=1， BC= ， 。 ABC=30。 AOB绕点 B顺时针方向旋转 60， ABC= ABC+60=30+60=90。
20、C=90， AC=1， ABC=30， AB=2AC=2。 AOB绕点 B顺时针方向旋转 60，得到 AOB， AB=AB=2， BO=BO， AO=AO。 BOO是等边三角形。 BO=OO， BOO= BOO=60。 AOC= COB=BOA=120， COB+ BOO= BOA+ BOO=120+60=180。 C、 O、 A、 O四点共线。 在 RtABC中， 。 如图，在 ABC中， AB=AC， B=60， FAC、 ECA是 ABC的两个外角， AD平分 FAC， CD平分 ECA 求证：四边形 ABCD是菱形 答案：证明： B=60， AB=AC， ABC 为等边三角形。 AB=
21、BC， ACB=60。 FAC= ACE=120。 BAD= BCD=120。 B= D=60。 四边形 ABCD是平行四边形。 AB=BC， 平行四边形 ABCD是菱形。 试题分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形 ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出。 如图， C是 AB的中点， AD=BE， CD=CE 求证： A= B 答案：证明： C是 AB的中点， AC=BC。 在 ACD和 BCE中， AD=BE， CD=CE AC=BC， ACD BCE（ SSS）。 A= B。 试题分析：根据中点定义求出 AC=BC，然后利用 “SSS”证明 ACD和 BCE全等，再根据全等三角形对
22、应角相等证明即可。 一只不透明的箱子里共有 3个球，其中 2个白球， 1个红球，它们除颜色外均 相同 （ 1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （ 2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图 答案：解：（ 1） 共有 3个球， 2个白球， 随机摸出一个球是白球的概率为 。 （ 2）根据题意画出树状图如下： 一共有 6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2种， P（两次摸出的球都是白球） 。 试题分析：（ 1）根据概率的意义列式即可。 （ 2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解。 为保证中小
23、学生每天锻炼 一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（ 1）和图（ 2） （ 1）请根据所给信息在图（ 1）中将表示 “乒乓球 ”项目的图形补充完整； （ 2）扇形统计图（ 2）中表示 ”足球 ”项目扇形的圆心角度数为 答案：解：（ 1）总人数是： 2040%=50（人）， 则打乒乓球的人数是： 50201015=5（人）。 补图如下： （ 2） 72。 试题分析：（ 1）首先根据打篮球的人数是 20人，占 40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从
24、而补全统计图。 （ 2）用 360乘以足球所占的百分比：即可得出扇形的圆心角的度数： 360=72。 解方程组和分式方程： （ 1）解方程组 （ 2）解分式方程 答案：（ 1）解： ， 由 得 x=2y 把 代入 ，得 3（ 2y） +4y=6，解得 y=3。 把 y=3代入 ，得 x=6。 原方程组的解为 。 （ 2）解：去分母，得 14=5（ x2）， 解得 x=4.8， 检验：当 x=4.8时， 2（ x2） 0， 原方程的解为 x=4.8。 【考点】解二元一次方程组。 试题分析：（ 1）利用代入消元法解方程组。 （ 2）最简公分母为 2（ x2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验
25、。 四、解答题（本大题共 2小题，共 15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤） 化简 （ 1） （ 2） 答案：（ 1）解：原式 = 。 （ 2）解：原式 = 。 试题分析：（ 1）针对二次根式化简，零指数幂，特殊角的三角函数值 3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 （ 2）先通分，然后再进行分子的加减运算，最后化简即可。 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=2x+2的图象与 x轴交于 A，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为（ a， 0），（其中 a 0），直线 l过动点 M（ 0， m）（ 0 m 2），且与 x轴平行，并与直线 AC、 BC
26、 分别相交于点 D、 E， P点在y轴上（ P点异于 C点）满足 PE=CE，直线 PD与 x轴交于点 Q，连接 PA （ 1）写出 A、 C两点的坐标； （ 2）当 0 m 1时，若 PAQ 是以 P为顶点的倍边三角形（注：若 HNK 满足 HN=2HK，则称 HNK 为以 H为顶点的倍边三角形），求出 m的值； （ 3）当 1 m 2时，是否存在实数 m，使 CD AQ=PQ DE？若能，求出 m的值（用含 a的代数式表示）；若不能，请说明理由 答案：解：（ 1）在直线式 y=2x+2中，令 y=0，得 x=1； x=0，得 y=2， A（ 1， 0）， C（ 0， 2）。 （ 2）当 0
27、 m 1时，依题意画出图形，如图 1， PE=CE， 直线 l是线段 PC的垂直平分线。 MC=MP。 又 C（ 0， 2）， M（ 0， m）， P（ 0， 2m2）。 设直线 l与 y=2x+2交于点 D， 令 y=m，则 x= ， D（ ， m）。 设直线 DP 的式为 y=kx+b，则有 ，解得： 。 直线 DP 的式为： y=2x+2m2。 令 y=0，得 x=m1， Q（ m1， 0）。 已知 PAQ 是以 P为顶点的倍边三角形，由图可知， PA=2PQ， ，即 ， 整理得： 。 解得： m= （ 1，不合题意，舍去）或 m= 。 m= 。 （ 3）当 1 m 2时，假设存在实数
28、m，使 CD AQ=PQ DE， 依题意画出图形，如图 2， 由（ 2）可知， OQ=m1， OP=2m2， 由勾股定理得： 。 A（ 1， 0）， Q（ m1， 0）， B（ a， 0） ， AQ=m， AB=a+1。 OA=1， OC=2，由勾股定理得： CA= 。 直线 l x轴， CDE CAB。 。 又 CD AQ=PQ DE， 。 ，即 ，解得： 。 1 m 2， 当 0 a1时， m2， m不存在；当 a 1时， 。 当 1 m 2时，若 a 1，则存在实数 ，使 CD AQ=PQ DE；若 0a1，则 m不存在。 试题分析：（ 1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解； （ 2）如图 1所示，解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标，然后利用 PA=2PQ，列方程求解。 （ 3）如图 2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出 m的值。
