1、2011年初中毕业升学考试（广东河源卷）数学 解答题 如图 1， Rt ABC两直角边的边长为 AC 1， BC 2 （ 1）如图 2， O与 Rt ABC的边 AB相切于点 X，与边 CB相切于点 Y请你在图 2中作出并标明 O的圆心 O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （ 2） P是这个 Rt ABC上和其内部的动点 ,以 P为圆心的 P与 Rt ABC的两条边相切设 P的面积为 s，你认为能否确定 s的最大值？若能，请你 求出 s的最大值 ;若不能 ,请你说明不能确定 s的最大值的理由 答案：解： (1)共 2分 .（标出了圆心，没有作图痕迹的评 1分）看见垂足为Y（ X）
2、的一 条 垂 线 (或 者 ABC的平分线 )即评 1分， (2) 当 P与 Rt ABC的边 AB和 BC相切时，由角平分线的性质，动点 P是 ABC的平分线 BM上的点 . 如图 1，在 ABC的平分线 BM上任意确定点 P1 (不为 ABC的顶点 )， OX BOsin ABM, P1Z BP1sin ABM 当 BP1 BO 时 ， P1Z OX,即 P与 B的距离越大， P的面积越大 这时， BM与 AC的交点 P是符合题意的、 BP长度最大的点 . （ 3分 .此处没有 证明和结论不影响后续评分） 如图 2， BPA 90，过点 P作 PE AB，垂足为 E，则 E在边 AB上 .
3、 以 P为圆心、 PC为半径作圆，则 P与边 CB相切于 C，与边 AB相切于 E， 即这时的 P是符合题意的圆 .（ 4分 .此处没有证明和结 论不影响后续评分） 这时 P的面积就是 S的最大值 . A A， BCA AEP 90, Rt ABC Rt APE， （ 5分） . AC 1， BC 2， AB . 设 PC x，则 PA AC-PC 1-x, PC PE， ， x （ 6分） 如图 3，同理可得：当 P与 Rt ABC的边 AB和 AC相切时，设 PC y，则 ， y= . （ 7分） 如图 4，同理可得：当 P与 Rt ABC的边 BC和 AC相切时， 设 PF z，则 ，
4、z= . （ 8分） 由 ， ， 可知： 2， 2 1 3， 当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大， (或者 : x= =2 -4, y= = 5, y-x= 0, yx. z-y= 0) 2， （ 9分，没有过程直接得出酌情扣 1分） z y x. P的面积 S的最大值为 . （ 10分） 已知抛物线 y ax2 bx c与直线 y mx n相交于两点，这两点的坐标分别是（ 0, ）和 （ m-b， m2-mb n），其中 a， b， c， m， n为实数 ,且 a， m不为 0 （ 1）求 c的值； （ 2）设抛物线 y ax2 bx c与 x轴的两个交点是（ x1
5、， 0）和（ x2， 0），求x1x2的值； （ 3）当 -1x1时，设抛物线 y ax2 bx c上与 x轴距离最大的点为 P（ xo，yo ），求这时 yo的最小值 答案：解 : (1) （ 0， ）在 y ax2 bx c上， a02 b0 c， c .(1分 ) (2)又可得 n . 点（ m-b， m2-mb n）在 y ax2 bx c上， m2-mb a（ m-b） 2 b（ m-b） ， （ a-1）（ m-b） 2 0， （ 2分） 若（ m-b） 0，则（ m-b， m2-mb n）与（ 0， ）重合，与题意不合 a 1（ 3分，只要求出 a 1，即评 3分） 抛物线 y
6、ax2 bx c，就是 y x2 bx b2-4ac b2-4（ ） 0，（没 写出不扣分） 抛物线 y ax2 bx c与 x轴的两个交点的横坐标就是关于 x的二次方程 0ax2 bx c的两个实数根， 由根与系数的关系，得 x1x2 （ 4分） (3)抛物线 y x2 bx 的对称轴为 x ，最小值为 （没写出不扣分） 设抛物线 y x2 bx 在 x轴上方与 x轴距离最大的点的纵坐标为 H，在 x轴下方与 x轴距离最大的点的纵坐标为 h 当 -1，即 b 2时，在 x轴上方与 x轴距离最大的点是（ 1， yo）， H yo b ， (5分 ) 在 x轴下方与 x轴距离最大的点是（ -1，
7、 yo）， h yo -b b- ， (6分 ) H h 这时 yo的最小值大于 . (7分 ) 当 -1 0，即 0b2时， 在 x轴上方与 x轴距离最大的点是（ 1， yo）， H yo b ，当 b 0时等号成立 . 在 x轴下方与 x轴距离最大点的是 （ ， ）， h ，当 b 0时等号成立 . 这时 yo的最小值等于 . (8分 ) 当 0 1，即 -2b 0时 , 在 x轴上方与 x轴距离最大的点是（ -1， yo）， H yo 1（ -1） b -b -b 在 x轴下方与 x轴距离最大的点是 （ ， ）， h yo . 这 时 yo的 最 小 值 大 于 . (9分 ) 当 1 ，即 b -2时， 在 x轴上方与 x轴距离最大的点是（ -1， yo）， H -b , 在 x轴下方与 x轴距离最大的点是 (1， yo)， h b -（ b ） ， H h , 这时 yo的最小值大于 . (10分 ) 综上所述，当 b 0， x0 0时，这时 yo取最小值，为 yo . (11分 )
