1、2011年初中毕业升学考试（广西区南宁卷）数学 选择题 下列各式运算正确的是 A B C D 答案： B 我市五月份连续五天的最高气温分别为 23、 20、 20、 21、 26(单位 : ),这组数据的中位数和众数分别是 A 22,26 B 22,20 C 21,26 D 21,20 答案： D 下列图形中 ,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A等边三角形 B平行四边形 C等腰梯形 D菱形 答案： D 下面是空心圆柱在指定方向上的视图 ,正确的是答案： C 的倒数是 A 2 B 2 CD 答案： A 填空题 4的算术平方根是 答案： 我市山清水秀 ,被誉为绿色明珠 ,是中国优秀旅游城市 ,
2、年接待中外游客约5000000人 ,这个数字用科学记数法表示为 人 . 答案： 如图 1,在 Rt ABC中 , B=90.ED是 AC的垂直平分线 ,交 AC于点 D,交 BC于点 E,已知 BAE=30,则 C的度数为 答案： 0 凸 n边形的对角线的条数记作 ，例如： ，那么： =_； =_； =_（ ，用 含的代数式表示） 答案： 5； 4,； 。 函数 的自变量的取值范围是 答案： x1 计算题 （本题满分 6分）计算： 答案：解：原式 = 解答题 (本题满分 9分 )如图 9,已知线段 AB的长为 2a，点 P是 AB上的动点（ P不与 A， B重合），分别以 AP、 PB为边向线
3、段 AB的同一侧作正 APC和正 PBD （ 1）当 APC 与 PBD 的面积之生取最小值时， AP= ；（直接写结果） （ 2）连结 AD、 BC，相交于点 Q，设 AQC=，那么 的大小是否会随点 P的移动面变化？请说明理由； （ 3）如图 10，若点 P固定，将 PBD绕点 P按顺时针方向旋转（ 旋转角小于180），此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）答案：解：（ 1） ；（ 2） 的大小不会随点 P的移动而变化， 理由： APC是等边三角形， PA=PC, APC=600, BDP是等边三角形， PB=PD, BPD=600, APC= BPD, APD= C
4、PB, APD CPB, PAD= PCB, QAP+ QAC+ ACP=1200, QCP+ QAC+ ACP=1200, AQC=1800-1200 =600; (3) 此时 的大小不会发生改变，始终等于 600. (本题满分 9分 ) 如图 11，已知抛物线 与 x 轴交于两点 A、 B，其顶点为 C (1)对于任意实数 m，点 M（ m， -2）是否在该抛物线上 请说明理由； (2)求证 : ABC是等腰直角三角形； (3)已知点 D在 x轴上，那么在抛物线上是否存在点 P，使得以 B、 C、 D、 P为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 答案：
5、解：（ 1）假如点 M（ m， -2）在该抛物线上，则 -2=m2-4m+3, m2-4m+5=0,由于 =（ -4） 2-415=-4 0，此方程无实数解， 所以点 M（ m， -2）不会在该抛物线上； （ 2）当 y=0时， x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点 A在点 B左侧， A(1,0),B (3,0) y= x2-4x+3=(x-2)2-1, 顶点 C的坐标是（ 2， -1）， 由勾股定理得， AC= ,BC= ,AB=2， AC2+BC2=AB2, ABC是等腰直角三角形； (3)存在这样的点 P. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点 P与点 C的线段应
6、被x轴平分， 点 P的纵坐标是 1， 点 P在抛物 线 y= x2-4x+3上， 当 y=1时，即 x2-4x+3=1，解得 x1=2-,x2=2+ , 点 P的坐标是（ 2- ， 1）或（ 2+ ， 1） . 如图，已知 CD是 O的直径， AC CD，垂足为 C，弦 DE OA，直线AE、 CD 相交于点 B (1)求证：直线 AB是 O的切线 (2)当 AC 1， BE 2，求 tan OAC的值 答案： (1)证明：如 图，连接 OE， 弦 DE OA， COA= ODE, EOA= OED, OD=OE, ODE= OED, COA= EOA,又 OC=OE,OA=OA， OAC O
7、AE, OEA= OCA=90, OE AB， 直线 AB是 OO的切线； (2)由 (1)知 OAC OAE, AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角 ABC中， ， B= B, BCA= BOE， BOE BAC, ， 在直角 AOC中， tan OAC= . (本题满分 9分 ) 如图 8,等腰梯形 ABCD中 ,AB CD,AD=BC.将 ACD沿对角线 AC翻折后 ,点 D恰好与边 AB的中点 M重合 (1)点 C是否在以 AB为直径的圆上 请说 明理由 ; (2)当 AB=4时 ,求此梯形的面积 答案：解：（ 1）点 C在以 AB为直径的圆上 . 理由：连接 MC,MD, AB
8、CD, DCA= BAC, DAC= BAC, DAC= DCA, AD=CD, AD=AM, CD=AM, 四边形 AMCD是平行四边形， MC=AD, 同理 MD=BC, AD=BC, MC=MD=AD=BC=MA=MB, 点 C在以 AB为直径的圆上 . (2)由（ 1）得 AMD是等边三角形，过点 D作 DE AB于 E, 由勾股定理得， DE= , 梯形 ABCD的面积 = . (本题满分 7分 ) 为了鼓励城区居民节约用水 ,某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过 20度时 (1度 =1米 ),水费为 a元 /度；超过 20度时，不超过部分仍为 a元 /度，超过部分为 b
9、元 /度已知某用户四份用水 15度 ,交水费 22.5元 ,五月份用水30度 ,交水费 50元 (1)求 a,b的值； （ 2）若估计该用户六月份的水费支出不少于 60元，但不超过 90元，求该用户六月份的用水量 x的取值范围 答案：解：（ 1） a=22.515=1.5； b=(50-201.5)(30-20)=2; （ 2）根据题意，得 60201.5+2（ x-20） 90,35x50. (本题满分 7分 .)如图 7,反比例函数 的图像与一次函数的图象交于点 A、 B,其中 A(1,2) (1)求 m， b的值； (2)求点 B的坐标 ,并写出 时， 的取值范 围 答案：解：（ 1）
10、反比例函数 的图像过点 A(1,2)， 2= ，m=2; 一次函数 的图象过点 A(1,2)， 2=-1+b,b=3. （ 2） ，解得 ， ， 点 B（ 2,1）， 根据图像可得，当 1 x 2时， (本题满分 7分 )如图 6,我市某展览厅东面有两个入口 A、 B,南面、西面 、北面各有一个出口 .小华任选择一个入口进入展览大厅 ,参观结束后任选一个出口离开 (1)利用树状图表示她从进入到离开的所有路径； (2) 她从入口 A进入展厅并从北出口离开的概率是多少 答案：（ 1）一共有六种情况； （ 2） P（从入口 A进入展厅并从北出口离开） = （本题满分 7分 )如图 5，点 P在平行四
11、边形 ABCD的 CD边上，连结 BP并延长与 AD的延长线交于点 Q （ 1）求证： DQP CBP； （ 2）当 DQP CBP，且 AB=8时，求 DP的长 答案：证明：（ 1） 四边形 ABCD是平行四边形， AQ BC, DQP CBP； （ 2） DQP CBP， DP=CP= CD, AB=CD=8, DP=4. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（ -4， 4），点 B（ -4， 0），将 ABO绕原点 O 按顺时针方向旋转 135得到 。回答下列问题：（直接写结果） （ 1） AOB= ； （ 2）顶点 A从开始到 经过的路径长为 ； （ 3）点 的坐标为 答案：解：（ 1）
12、450；（ 2） ；（ 3）（ 2 ， 2 ） 王老师对河东中学九（一）班的某次模拟考试成绩进行统计后，绘制了频数分布直方图（如图，分数取正整数，满分 120分）根据图形，回答下列问题：（直接填写结果） （ 1）该班有 名学生； （ 2） 89.5 -99.5这一组的频数是 ，频率是 （ 3）估算该班这次数学模拟考试的平均成绩 是 答案：解：（ 1） 40；（ 2） 8人， 0.2；（ 3） 87.5分 （本题满分 6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图 2，他们在河东岸边的 A点测得河西岸边的标志物 B在它的正西方向，然后从 A点出发沿河岸向正 北方向行进 200米
13、到点 C处，测得 B在点 C的南偏西 60的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？答案：解：在 Rt ABC中， BAC=900,AC=200， tan600= , AB=200 2001.732346（米） （本题满分 6分）化简： 答案：解：原式 = 选做题：从 甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。 题甲：已知关于 的方程 的两根为 、 ，且满足.求 的值。 题乙：如图 12，在梯形 ABCD中， AD BC，对角线 AC、 BD相交于点 O，AD=2， BC=BD=3， AC=4. (1)求证 :AC BD (2)求 AOB的面积 我选做的是 题 答案：题甲：已知关于 的方程
14、 的两根为 、，且满足 .求 的值。 解：题甲：关于 的方程 的两根为 、 ， ， 解得： （舍去）或 ， 又 当 时，原式 = 题乙：（ 1）过点 D作 DE AC，交 BC的延长线于 E， AD BC， 四边形 ACED是平行四边形， DE=BD， DE BD， CE=AD， AD=2， BC=BD=3， AC=4， BE=BC+CE=5， DE=AC=4， BD=3， BD2+DE2=BE2， BDC=90， BD DE， BD AC； （ 2）过点 D作 DF BC于 F， ， AD BC， AOD COB， ， OA： AC=2： 5， 已知顶点为 A(1,5)的抛物线 经过点 B(
15、5,1). (1)求抛物线的式 ; (2)如图（ 1） ,设 C,D分别是 轴、 轴上的两个动点，求四边形 ABCD周长的最小值； （ 3）在（ 2）中，当四边形 ABCD的周长最小时，作直线 CD.设点P( )( )是直线 上的一个动点， Q是 OP的中点，以 PQ为斜边按图（ 2）所示构造 等腰直角三角形 PRQ. 当 PBR与直线 CD有 公共点时 ,求 的取值范围； 在 的条件下，记 PBR与 COD的公共部分的面积为 S.求 S关于 的函数关系式，并求 S的最大值。答案：解：（ 1） 抛物线的顶点为 A（ 1， 5）， 设抛物线的式为 ， 将点 B（ 5， 1）代入，得 ， 解得 ，
16、 （ 2）作 A关于 y轴的对称 点 ，作 B关于 x轴的对称点 ，显然 ，如图 (5.1)，连结 分别交 x轴、 y轴于 C、 D两点， ， 此时四边形 ABCD的周长最小，最小值就是 。 而 ， 四边形 ABCD周长的的最小值为 。 （ 3） 点 B关于 x轴的对称 点 B（ ），点 A关于 y轴的对称点 A（ 1，5），连接 AB，与 x轴， y轴交于 C， D点， CD的式为： ， 联立 ， 得： 点 P在 上，点 Q是 OP的中点， 要使等腰直角三角形与直线 CD有公共点，则 故 的取值范围是： 如图： 点 E（ 2， 2），当 EP=EQ时， ，得： ， 当 时， 当 时， 当 时
17、， 当 时， 故 的最大值为： 如图（ 1） ,在直角 ABC中 , ACB=90 ,CD AB,垂足为 D,点 E在 AC上 ,BE交 CD于点 G,EF BE交 AB于点 F,若 AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数 ). 试探究线段 EF与 EG的数量关系 . (1)如图（ 2） ,当 m=1,n=1时 ,EF与 EG的数量关系是 证明 : (2) 如图（ 3） ,当 m=1,n为任意实数时 ,EF与 EG的数量关系是 证明 (3)如图（ 1） ,当 m,n均为任意实数时 ,EF与 EG的数量关系是 (写出关系式 ,不必证明 ) 答案：（ 1）图甲：连接 DE， AC=mBC， CD
18、 AB，当 m=1， n=1时 AD=BD， ACD=45， CD=AD= AB， AE=nEC， DE=AE=EC= AC， EDC=45， DE AC， A=45， A= EDG， EF BE， AEF+ FED= EFD+ DEG=90， AEF= DEG， AEF DEG（ ASA）， EF=EG （ 2）解： EF= EG证明：作 EM AB于点 M， EN CD于点 N， EM CD， AEM ACD， 即 EM= CD， 同理可得， EN= AD， ACB=90， CD AB， tanA= ， ， 又 EM AB， EN CD， EMF= ENG=90， EF BE， FEM=
19、GEN， EFM EGN， ， 即 EF= EG； （ 3） EF= EG .如图 13， D为 O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且 CDA= CBD. (1)求证 :CD是 O的切线 ; (2)过点 B作 O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=6,tan CDA= ,求 BE的长 答案：（ 1）证明：连 OD， OE，如图， AB为直径， ADB=90，即 ADO+ 1=90， 又 CDA= CBD， 而 CBD= 1， 1= CDA， CDA+ ADO=90，即 CDO=90， CD是 O的切线； （ 2）解： EB为 O的切线， ED=EB， OD BD， ABD= OEB
20、， CDA= OEB 而 tan CDA= ， tan OEB= ， Rt CDO Rt CBE， ， CD= ， 在 Rt CBE中，设 BE= ， ， 解得 即 BE的长为 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 mx n经过点 A(3， 0)、 B(0， -3)，点 P是直线 AB上的动点，过点 P作 x轴的垂线 交抛物线于点 M，设点 P的横 坐标为 t (1)分别求出直线 AB和这条抛物线的式 (2)若点 P在第四象 限，连接 AM、 BM，当线段 PM最长时，求 ABM的面积 (3)是否存在这样的点 P，使得以点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接
21、写出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由 答案：解： (1)把 A（ 3， 0） B（ 0， -3）代入 ，得 解得 所以抛物线的式是 . 设直线 AB的式是 ,把 A（ 3， 0） B（ 0， ）代入 ,得 解得 所以直线 AB的式是 . (2)设点 P的坐标是（ ） ,则 M（ , ） ,因为 在第四象限，所以 PM= ，当 PM最长时 ，此时 = = . （ 3）若存在，则可能是： P在第四象限：平行四边形 OBMP ,PM=OB=3， PM最长时 ，所以不可能 . P在第一象限平行四边形 OBPM： PM=OB=3， ，解得， （舍去），所以 P点的横坐标是 . P在第三象限平行四边形 OBPM： PM=OB=3， ，解得（舍去）， ，所以 P点的横坐标是 . 所以 P点的横坐标是 或 .
