1、2011年初中毕业升学考试（福建洛江区卷）数学 解答题 （ 9分）如图 13，抛物线 y=ax2 bx c(a0)的顶点为（ 1,4），交 x轴于 A、B，交 y轴于 D，其中 B点的坐标为（ 3,0） （ 1）求抛物线的式 （ 2）如图 14，过点 A的直线与抛物线交于点 E，交 y轴于点 F，其中 E点的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点 G为 PQ上一动点，则 x轴上是否存在一点 H，使 D、 G、 F、 H四点围成的四边形周长最小 .若存在，求出这个最小值及 G、 H的坐标；若不存在，请说明理由 . （ 3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T作 x的垂线，垂足为
2、 M，过点 M作直线 MN BD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使 DNM BMD，若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由 .答案：解：（ 1）设所求抛物线的式为： ，依题意，将点 B（ 3， 0）代入，得： 解得： a -1 所求抛物线的式为： （ 2）如图 6，在 y轴的负半轴上取一点 I，使得点 F与点 I关于 x轴对称， 在 x轴上取一点 H，连接 HF、 HI、 HG、 GD、 GE，则 HFHI 设过 A、 E两点的一次函数式为： y kx b（ k0）， 点 E在抛物线上且点 E的横坐标为 2，将 x 2代入抛物线 ，得 点 E坐标为（ 2， 3） 又 抛物线 图像分别
3、与 x轴、 y轴交于点 A、 B、 D 当 y 0时， ， x -1或 x 3 当 x 0时， y -1 4 3, 点 A（ -1， 0），点 B（ 3， 0），点 D（ 0， 3） 又 抛物线的对称轴为：直线 x 1， 点 D与点 E关于 PQ对称， GD GE 分别将点 A（ -1， 0）、点 E（ 2， 3）代入 y kx b，得： 解得： 过 A、 E两点的一次函数式为： y x 1 当 x 0时， y 1 点 F坐标为（ 0， 1） =2 又 点 F与点 I关于 x轴对称， 点 I坐标为（ 0， -1） 又 要使四边形 DFHG的周长最小，由于 DF是一个定值， 只要使 DG GH
4、HI最小即可 由图形的对称性和 、 、 ，可知， DG GH HF EG GH HI 只有当 EI为一条直线时， EG GH HI最小 设过 E（ 2， 3）、 I（ 0， -1）两点的函数式为： ， 分别将点 E（ 2， 3）、点 I（ 0， -1）代入 ，得： 解得： 过 A、 E两点的一次函数式为： y 2x-1 当 x 1时， y 1；当 y 0时， x ； 点 G坐标为（ 1， 1），点 H坐标为（ ， 0） 四边形 DFHG的周长最小为： DF DG GH HF DF EI 由 和 ，可知： DF EI 四边形 DFHG的周长最小为 。 （ 3）如图 7，由题意可知， NMD MDB， 要使， DNM BMD，只要使 即可， 即： 设点 M的坐标为（ a， 0），由 MN BD，可得 AMN ABD， 再由（ 1）、（ 2）可知， AM 1 a， BD ， AB 4 ， 式可写成： 解得： 或 （不合题意，舍去） 点 M的坐标为（ ， 0） 又 点 T在抛物线 图像上， 当 x 时， y 点 T的坐标为（ ， ） .
