1、2011届广东省佛山一中等三校高三 2月月考数学理卷 选择题 复数 的虚部是（ ） A 0 B i C 1 D -1 答案： C 已知双曲线 的左顶点、右焦点分别为 A、 F，点 B（ 0，b），若 ，则该双曲线离心率 e的值为（ ） A B C D 答案： B 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ） A B C D 答案： D 己知 是定义在 R上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是 ( ) A B 或 C D 或 答案： B 函数 的零点个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 在 的形状是（ ） A C为钝角的三角形
2、 B B为直角的直角三角形 C锐角三角形 D A为直角的直角三角形 答案： D 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输 出的 B等于（ ） A B C D 答案： A 设随机变量 服从标准正态分布 ， 在某项测量中，已知 0.950， 则 在 内取值的概率为（ ） A 0.025 B 0.050 C 0.950 D 0.975 答案： A 填空题 （几何证明选讲）如图所示， AC 和 AB分别是圆 O 的 切线， B、 C为切点 ,且 OC = 3， AB = 4，延长 OA到 D点，则 ABD的面积是 _ 答案： （二）选做题：在下面二道小题中选做一题，二题都选只计算前一题 的得分 . (
3、坐标系与参数方程 ) 在极坐 标系中，点 与点 关于直线对称， 答案： .已知集合 A=(x,y)|0 y sinx, 0 x ,集合 B=(x,y)|(x-2) +(y-2) 8,在集合 B中任意取一点 P,则 P A的概率是 。 答案： 定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个数叫做公积。已知等积数列 中，公积为 5，当 n为奇数时 ,这个数列的前 项和 =_。 答案： 已知实数 x、 y满足三个不等式： 则 xy的最大值是 。 答案： 已知 等于 答案： 一个总体分为 A、 B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 30的样本，已
4、知 B层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 。 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 。 （ ）求 的值域； （ ）若 （ x0）的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ， ， ，求数列 的前 项的和。 答案：解：（ ） 2 分 3 分 5 分 所以 f(x) 的值域为 -1,1 6 分 （ ）由正弦曲线的对称性、周期性可知 ， 。 9 分 10 分 12 分 （本小题满分 12分） 如图，在三棱锥 中， 底面 ABC, ， AP=AC, 点 ， 分别在棱 上，且 BC/平面 ADE （ ）求 证： DE 平面 ； （ ）当二面角 为直二面角时，求多面体 ABCED
5、与 PAED的体积比。 答案：解：（ ） BC/平面 ADE, BC 平面 PBC, 平面 PBC 平面ADE=DE BC/ED 2 分 PA 底面 ABC， BC 底面 ABC PA BC. 3 分 又 ， AC BC. PA AC=A, BC 平面 PAC. 5 分 DE 平面 . 6 分 （ ）由（ ）知， DE 平面 PAC， 又 AE 平面 PAC， PE 平面 PAC， DE AE， DE PE， AEP为二面角 的平面角， 8 分 ，即 AE PC， 9 分 AP=AC, E是 PC的中点， ED是 PBC的中位线。 10 分 12 分 （本小题满分 14分） 某大学开设甲、乙、
6、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响 . 已知学生小张只选甲的概率为 ，只选修甲和乙的概率是 ，至少选修一门的概率是，用 表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 . （ ）求学生小张选修甲的概率； （ ）记 “函数 为 上的偶函数 ”为事件 ，求事件 的概率； （ ）求 的分布列和数学期望。 答案： (本题满分 14分 ) 已知椭圆 的左右焦点为 ，抛物线 C： 以 F2为焦点且与椭圆相交于点 M，直线 F1M与抛物线 C相切。 （ ）求抛物线 C的方程和点 M的坐标； （ ）过 F2作抛物线 C的两条互相垂直的弦 AB、 DE，设弦 AB、 DE的中点分别为 F、 N，求证直线
7、 FN恒过定点； 答案：解：（ ）由椭圆方程得半焦距 1 分 所以椭圆焦点为 2 分 又抛物线 C的焦点为 3 分 设 则 ，直线 的方程为 4 分 代入抛物线 C得 与抛物线 C相切， ， 7 分 （ ）设 的方程为 代入 ，得 ， 8 分 设 ，则 9 分 ， 10 分 所以 ，将 换成 12 分 由两点式得 的方程为 13 分 当 ，所以直线 恒过定点 14 分 (本题满分 14分 ) 如图，两个工厂 相距 ，点 为 的中点，现要在以 为圆心， 为半 径的圆弧 上的某一点 处建一幢办公楼，其中 .据测算此办公楼受工厂 的 “噪音影响度 ”与距离 的平方成反比，比例系数是 1，办公楼受工厂
8、 的 “噪音影响度 ” 与距离 的平方也成反比，比例系数是 4，办公楼受 两厂的 “总噪音影响度 ” 是受 两厂 “噪音影响度 ”的和，设 为 . ( )求 “总噪音影响度 ” 关于 的函数关系， 并求出该函数的定义域； ( )当 为多少时， “总噪音影响度 ”最小？ 答案：解： ( )连接 ，设 则 . 1 分 在 中，由余弦定理得 ， 2 分 在 中，由余弦定理得 ， 3 分 .则 . 4 分 ，则 ， ， . 6 分 . 7 分 ( )令 . 8 分 . 由 ，得 ，或 （舍去） . 10 分 当 ，函数在 上单调递减； 当 ，函数在 上单调递增； 12 分 当 时，即 时，函数有最小值
9、， 也即当 为 （ ）时， “总噪音影响度 ”最小 . 14 分 （本小题满分 14分） 已知数列 的前 n项和为 满足 , 猜想数列 的单调性，并证明你的结论； ( ) 对于数列 若存在常数 M 0,对任意的 ，恒有 ， 则称数列 为 B-数列。问数列是 B-数列吗？ 并证明你的结论。 答案：解：由 猜想：数列 是递减数列 3 分 下面用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1时，已证命题成立 （ 2）假设当 n=k时命题成立，即 易知 ，那么 = 即 也就是说，当 n=k+1时命题也成立，结合（ 1）和（ 2）知，命题成立 6分 ( ) 数列 是 B-数列。 7 分 当 n=1时， ， 8 分 当 时，易知 9 分 10 分 12 分 所以数列 是 B-数列。 14 分
