1、2011届广东省高三全真模拟考试数学文卷 选择题 设集合 ，则 等于 ( ) A B C D 答案： B 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “互为生 成 ”函数。给出下列函数： ； ； ； 其中 “互为生成 ”函数的是 ( ) A B C D 答案： D 如图 ,正方体 中，点 在侧面 及其边界上 运动，并且总是保持 ，则动点 的轨迹是（ ） A线段 B线段 C 中点与 中点连成的线段 D 中点与 中点连成的线段 答案： A 若圆 关于直线 对称，则直线 的斜率是 ( ) A 6 BC D 答案： D 给出如下三个命题： 若 “ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题； 命题
2、 “若 且 ，则 ”的否命题为 “若 且 ，则 ”； 在 中， “ ”是 “ ”的充要条件。其中不正确的命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案： B 曲线 在点（ 处切线的倾斜角为（ ） A B C D 答案： B 已知平面向量 , , 且 , 则 ( ) A B C D 答案： C 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ，则数列 的公比 的值为( ) A 2 B 3 C 2或 -3 D 2或 3 答案： C 如果函数 上单调递减，则实数 满足的条件是（ ） A B C D 答案： A 函数 是（ ） A周期为 的奇函数 B周期为 的奇函数C周期为 的偶函数 D非奇非偶函数 答
3、案： C 填空题 （坐标系与参数方程选做题）直线 截曲线 （ 为参数）的弦长为 _ 答案： （二）选做题（ 14、 15题，考生只能从中选做一题） （几何证明选讲选做题） 如图，已知 的两条直角边 , 的长分别为 ， ，以 为直径的圆与 交于点 ，则 . 答案： 右面是计算 的程序框图，图中的 、 分别是 和_. 答案： , （顺序不能颠倒） 在 中， ,且 ,则 的面积是 _ 答案： 一个公司共有 名员工，现正下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50的样本，已知某部门有 200名员工， 那么从该部门抽取的工人数是 . 答案： 解答题 （本小题共 12分）已知函数 （
4、）求 的最小正周期； （ ）若 , , 求 的值 答案： 解（ ） ， 3 分 5 分 函数 的最小正周期为 .6 分 （ ）若 , , 求 的值 解：由 ， ,7 分 化简可得 ,9 分 则 ,化简 10 分 由 , , 故 12 分 （本题满分 14分） 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85分为优秀， 85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表 . 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知在全部 105人中抽到随机抽取 1人为优秀的概率为 ( )请完成上面的列联表； ( )根据列联表的数据，若按 的可靠性要求，能否认为 “成绩与班级有关系 ” . ( )
5、若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的 10名学生从 2到 11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号 .试求抽到 6或 10号的概率 . 答案： 解： ( )表格如下 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 ( )根据列联表的数据，若按 的可靠性要求，能否认为 “成绩与班级有关系 ”解：根据列联表中的数据，得到 5 分 因此有 95%的把握认为 “成绩与班级有关系 ”。 7 分 ( )若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的 10名学生从 2到 11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰
6、子，出现的点数之和为被抽取人的序号 .试求抽到 6或 10号的概率 . 解：设 “抽到 6或 10号 ”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（ x， y） 8 分 所有的基本事件有（ 1， 1）、（ 1， 2）、（ 1， 3）、 、（ 6， 6）， 共 36个。 10 分 事件 A包含的基本事件有： （ 1， 5）、（ 2， 4）、（ 3， 3）、（ 4， 2）、（ 5， 1）（ 4， 6）、（ 5，5）、（ 6、 4），共 8个 12 分 14 分 （本题 12分）如图所示 ,在直四棱柱 中 , ,点是棱 上一点 （ 1）求证： 面 ； （ 2）求证： ； 答案： 如图所示
7、,在直四棱柱 中 , ,点 是棱 上一点 .， （ 1）求证： 面 ； 证明：由直四棱柱 ,得 , 所以 是平行四边形 , 所以 （ 3分） 而 , , 所以 面 -6分 （ 2）求证： ； 证明：因为 , 则 -9分） 又因为 ,且 ， 故 而 ，所以 （ 12分） （ （本题满分 14分）为赢得 2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本 9 万元，售价为 30 万元，每星期卖出 432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：万元， ）的平方成正比，已知商品单价降低 2万元时，一星期多卖出 24件
8、（ 1）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数； （ 2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 答案： 解：（ 1）设商品降价 万元，则多卖的商品数为 ， 若记商品在一个星期的获利为 ， 1 分 则依题意有 ， 4 分 又由已知条件， ，于是有 ， 5 分 所以 7 分 （ 2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：根据（ 1），我们有 9 分 作出以下表格： 2 12 0 0 极小 极大 12 分 故 时， 达到极大值因为 ， ，则定价为 万元能使一个星期的商品销售利润最大 14 分 （本小题满分 14分）已知椭圆 的左焦点为 F，左右顶点分别为 A,C上顶点为 B，过 F,
9、B,C三点作 ，其中圆心 P的坐标为 (1) 若 FC是 的直径，求椭圆的离心率；（ 2）若 的圆心在直线上，求椭圆的方程 答案： 解：（ 1）由椭圆的方程知 ， 点 ， ， 设 的坐标为 ， 1 分 FC是 的直径， -2分 ， -3分 解得 -5分 椭圆的离心率 -6分 （ 2）若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程 解： 过点 F,B,C三点， 圆心 P既在 FC的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上， FC的垂直平分线方程为 - -7分 BC 的中点为 ， BC 的垂直平分线方程为 - -9分 由 得 ， 即 -11分 P 在直线 上， -13分 由 得 椭圆的方程为 -14分 （本小题满分 14分）设不等式组 所表示的平面区域为 ，记 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为 （ 1）求 的值及 的表达式；（ 2）记 ，试比较的大小；若对于一切的正整数 ，总有 成立，求实数 的取值范围； （ 3）设 为数列 的前 项的和，其中 ，问是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求出正整数 ；若不存在，说明理由。 答案：
