1、2011届广西省桂林中学高三高考模拟考试文数 选择题 下列集合中，不是方程 的解集的集合是（ ） A B CD 答案： D 抛物线 的焦点为 ， 在抛物线上，且 ，弦 的中点 在其准线上的射影为 ，则 的最大值为（ ） A B C D 答案： A 考点：抛物线的简单性质 分析：设 |AF|=a， |BF|=b，由抛物线定义， 2|MN|=a+b再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得 |AB|的范围，进而可得答案： 解：设 |AF|=a， |BF|=b，由抛物线定义， 得 AF|=|AQ|， |BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中， 2|MN|=|AQ|+|BP|=a
2、+b 由勾股定理得， |AB|2=a2+b2配方得， |AB|2=（ a+b） 2-2ab， 又 ab( ) 2， （ a+b） 2-2ab（ a+b） 2- 得到 |AB| （ a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选 A 如图放置的边长为 的正方形 的顶点 、 分别在 轴、 轴（含坐标原点） 上滑动，则 的最大值为 ( ) A B C D 答案： D 考点：向量在几何中的应用 分析：令 OAD=，由边长为 1的正方形 ABCD的顶点 A、 D分别在 x轴、 y轴正半轴上，可得出 B， C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可 解：如图令 OAD=，由于 AD=1故 0A=co
3、s， OD=sin， 如图 BAX= -， AB=1，故 xB=cos+cos（ -） =cos+sin， yB=sin（ -）=cos 故 =（ cos+sin， cos） 同理可求得 C（ sin， cos+sin），即 =（ sin， cos+sin）， =（ cos+sin， cos） （ sin， cos+sin） =1+sin2， 的最大值是 2 故选 D 已知 （ 为常数）在 上有最大值为 ，那么此函数在 上的最小值是（ ） Ks5u A B C D 2 答案： A 在正方形 中， 沿对角线 将正方形 折成一个直二面角 ，则点 到直线 的距离为（ ） A B C D 答案： C
4、考点：点、线、面间的距离计算 分析：先找出二面角 B-AC-D 的平面角，根据直二面角的定义可求出 BD 的长，从而得到三角形 BCD为等边三角形，则 CD边上的中线即为点 B到直线 CD的距离，求出 BF 即可 解：取 AC 的中点 E，连接 DE、 BE，取 CD的中点 F，连接 BF 根据正方形的性质可知 DE AC， BE AC， 则 BED为二面角 B-AC-D的平面角，则 BED=90 而 DE=BE=2 ，则 BD=4，而 BC=DC=4 三角形 BCD为等边三角形即 BF CD 点 B到直线 CD的距离为 BF=2 故选： C 一圆形餐桌依次有 A、 B、 C、 D、 E、 F
5、共有 6个座位 .现让 3个大人和 3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座 方法总 数为（ ） A 6 B 12 C 144 D 72 答案： D 从题意：将一圆形餐桌依次有 A、 B、 C、 D、 E、 F共有 6个座位、看成一排，任何两个小孩都不能坐在一起，那么大人也不能坐在一起看作两种类型：一是大、小、大、小、大、小；二是小、大、小、大、小、大 解：一圆形餐桌依次有 A、 B、 C、 D、 E、 F 共有 6 个座位、不妨看作是大、小、大、小、大、小或者 小、大、小、大、小、大两类型，三个大人的入座方法 A33种，三个小孩的入座方法 A33种，因而不同的入座方法
6、总数为 2A33 A33=72 故选 D 已知函数 满足条件 则的值（ ） A ( B ( C D 答案： A 在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是（ ） A B C D 答案： B 所有的选法共有 C62=15 种，这两条棱是一对异面直线的选法有 3种，即三棱锥的 3对对棱，由古典概型公式可得所求事件的概率 解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条， 所有的选法共有 C62=15 种， 其中，这两条棱是一对异面直线的选法有 3种， 即三棱锥的 3对对棱， 故所求事件的概率等于： 故选 B 已知等比数列 中，公比 若 则 有（ ） A最小值 -4 B最大值 -4 C最小值
7、 12 D最大值 12 答案： C 试题分析：因为等比数列 中，公比 若 所以， ，= ，当且仅当 q=1时，有最小值 12，故选 C。 考点：等比数列的通项公式，均值定理的应用。 点评：小综合题，根据已知条件，得到 q的函数式，应用均值定理求得最值。应用均值定理应注意 “一正、二定、三相等 ”。 已知 均为实数，则 是 成立的 （ ） A充分不必要 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： B 双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 ( ) A B C D 答案： A 由双曲线的渐近线为 的渐近线为 ，则可画出它与直线x=3围成的三角形
8、区域，再由形到数即可 解：双曲线 x2-y2=4的两条渐近线方程为的渐近线为 =x，与直线 x=3围成一个三角形区域如图 若 则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为互为反函数的两个函数，定义域与值域互相交换。所以令，则 ，即 =-3，故选 D。 考点：反函数的概念。 点评：简单题，互为反函数的两个函数，定义域与值域互相交换。本题解答也可以先求反函数，再求 。 填空题 给出下列四个命题： ks5u 过平面外一点，作与该平面成 角的直线一定有无穷多条。 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异
9、面直线都平行； 对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 : 答案：、 如图，点 P在椭圆 上， F1、 F2分别 是椭圆的左、右焦点 ，过点 P作椭圆右准线的垂线，垂足为 M， 若四边形 为菱形，则椭圆的离心率是 答案： 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当时， ，则 的值为 答案： 已知函数 （ 且 ）的最小值为 ，则展开式的常数项是 (用数字作答 ) 答案： 解答题 （本小题满分 10分）（注意：在试题卷上作答无效） 在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 ,且满足 , (I )求角 B的大小； (II)设 ，且 的最大值是
10、5,求 k的值 答案：解 ：（ 1）由 得 Ks5u得 得 -5 分 (2)由 , （ ）且 的最大值是 ，则 ， ks5u 令 ,则 ， ， 10 分 （本小题满分 12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列 的前 n项和为 ，且 （ ） （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 满足： ，求数列 的通项公式； （ ）令 （ ），求数列 的前 n项和 答案：解：（ ）当 时， ， 当 时， ，知 满足该式， 数列 的通项公式为 2分 （ ） （ ） 4分 - 得： ， ， 故 （ ） 6分 （ ） ， 8分 令 ， 则 Ks5u - 得： ， 10 分 数列 的前 n项和 12 分 本小
11、题满分 12分）（注意：在试题卷上作答无效） 某高校的自主招生考试，其数学试卷共有 8道选择题，每个选择题都给出了 4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）。评分标准规定：每题只选 1项，答对得 5分，不答或答错得 0分。某考生每题都给出了答案：，已确定有 4到题的答案：是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判 断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这 8道选择题，试求： （ ）该考生得分为 40分的概率； Ks5u （ ）通过计算，说明该考生得多少分的可能性最大？ 答案：解：（ 1）要得 40分， 8道选择题必须全做对，在其余 4
12、道题中， 有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的概率为 ，还有一道题答对的概率为 ， 所以得 40分的概率为 5 分 （ 2）依题意，该考生得分的集合是 ，得分为 20表示只做对 4道题， 其余各题都做错，所以所求概率为 6分 同样可求得得分为 25分的概率为 ; 8 分 得分为 30分的概率为 10 分 得 35分的概率为 11 分 得 40分的概率为 答：得 25分或 30分的概率最大 （本小题满分 12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面已知 ， ， ， （ ）证明 ； （ ）求直线 与平面 所成角的大小 答案：解法一： ( ）作 ，垂足为
13、 ，连结 ，由侧面底面 ，得 底面 因为 ，所以 ， 又 ，故 为等腰直角三角形， ，由三垂线定理，得 （ ）由（ ）知 ，依题设 ， 故 ，由 ， ， ，得 ， 的面积 连结 ，得 的面积 设 到平面 的距离为 ，由于 ，得 ，解得 设 与平面 所成角为 ，则 所以，直线 与平面 所成的我为 解法二： （ ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得平面 因为 ，所以 又 ， 为等腰直角三角形， 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ， ， ， ， ， ， ， ，所以 （ ）取 中点 ， ，连结 ，取 中点 ，连结 ， ， ， （本小题满分 12分）（注意：在试题卷上作答无效）
14、 函数 ，其图象在 处的切线方程为 （ ）求函数 的式； （ ）若函数 的图象与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围； （ ）是否存在点 P，使得过点 P 的直线若能与曲线 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由 答案：解：（ ）由题意得 ， 且 ， 即 解得 ， ， 4分 （ ）由 ，可得 ， ， 则由题意可得 有三个不相等的实根， 即 的图象与 轴有三个不同的交点， ，则 的变化情况如下表 4 0 - 0 极大值 极小值 则函数 的极大值为 ，极小值为 6分 的图象与 的图象有三个不同交点，则有： 解得 8分 （ ）存在点 P满足
15、条件 9分 已知椭圆 的离心率为 其左、右焦点分别为 ，点 是坐标平面内一点，且 （ 为坐标原点）。 （ ）求椭圆 的方程； （ ）过点 且斜率为 k的动直线 交椭圆 于 A、 B两点，在 y轴上是否存在定点 M，使以 AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M的坐标；若不存在，说明理由。 答案： )解：（ 1）设 则由 由 得 即 所以 2 分 又因为 3 分 因此所求椭圆的方程为： 4 分 （ 2）动直线 的方程为： 由 得 设 则 6 分 假设在 y上存在定点 M（ 0， m），满足题设，则 由假设得对于任意的 恒成立， 即 解得 m=1。因此，在 y轴上存在定点 M，使得以 AB为直径的圆恒过这个点，点 M的坐标为（ 0， 1） 12 分
