1、2011届江西省临川二中高三第二学期第一次模拟考试理科数学 选择题 设 A、 B为非空集合 ,定义集合 A*B为如图非阴影部分表示的集合，若则 A*B= （ ） A（ 0， 2） B 0,1 2， +） C（ 1,2 D 0,1 （ 2， +） 答案： D （ 2）若对于任意角 ，都有 ，则下列不等式中恒成立的是 A B C D 答案： D 已知函数 ，关于方程（ 为正实数）的根的叙述有下列四个命题 存在实数 ，使得方程恰有 3个不同的实根； 存在实数 ，使得方程恰有 4个不同的实根； 存在实数 ，使得方程恰有 5个不同的实根； 存在实数 ，使得方程恰有 6个不同的实根； 其中真命题的个数是（
2、 ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： D 椭圆 的左准线为 ，左、右焦点分别为 ，抛物线 的准线也为 ，焦点为 ，记 与 的一个交点为 ，则( ) A B 1 C 2 D与 ， 的取值有关答案： B 如图：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E为棱 CC1的中点如果一只蜜蜂在正方体 ABC-A1B1C1D1内部任意飞，则它飞入三棱锥 A1-BDE内部的概率为（ ） A B C D 答案： A 临川二中的某教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼 2 5层的某一层楼上课，则满足有且仅有一人上 5楼上课，且甲不在 2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A 81 B 27 C 54
3、 D 108 答案： A 若复数 ，则 （ ） A B C D 答案： C 在 的形状是（ ） A C为钝角的三角形 B B为直角的直角三角形 C锐角三角形 D A为直角的直角三角形 答案： D 阴影部分面积 s不可用 求出的是（ ） 答案： D 若将一个真命题中的 “平面 ”换成 “直线 ”、 “直线 ”换成 “平面 ”后仍是真命题，则该命题称为 “可换命题 ”下列四个命题，其中是 “可换命题 ”的是（ ） 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两平面平行； 平行于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行 A B C D 答案： C “非空集合 M不是 P的子集 ”的充要条
4、件是（ ） A B C 又 D 答案： D 填空题 选做题（请考生在两个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） (1)在极坐标系中 ,过圆 的圆心 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 . 答案： 已知正四面 体 的棱长为 1，若以 的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为 . 答案： 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点： 1， 2， 3， 4，5， 6的横纵坐标分别对应数列 的前 12项，如下表所示： 来源 :学 #科 #网 按如此规律下去，则 . 答案： 观察下列几个三角恒等式 : ； ； 一般地 ,若 都有意义 ,你从这四个恒
5、等式中猜想得到的一个结论为 . 答案： 在样本的频率分布直方图中，一共有 n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（ n-1）个小矩形面积 之和的 ，且样本容量为 240，则中间一组的频数是 答案： 解答题 已知向量 向量 ， （ 1）化简 的式，并求函数的单调递减区间； （ 2）在 ABC中， 分别是角 A,B,C 的对边，已知的面积为 ，求 . 答案：（ 1） 的单调递减区间为：6分 （ 2）由 的面积为 可得： 9 分 12 分 （本小题满分 12分） 为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近 50多年的气象数据资料的统计分析，发现 8月份是本市雷电天气高峰期，
6、在 31天中平均发生雷电 14.57天如图 如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立 （ 1）求在大运会开幕（ 8月 12日）后的前 3天比赛中，恰好有 2天发生雷电天气的概率（精确到 0.01）； （ 2）设大运会期间（ 8月 12日至 23日，共 12天），发生雷电天气的天数为，求 的数学期望和方差 答案：（ 1）设 8月份一天中发生雷电天气的概率为 ，由已知2 分 6 分 （ 2）由已知 8 分 所以， 的数学期望 10 分 的方差 12 分 （本小题满分 12分） 一个几何体是由圆柱 和 三棱锥 组合而成，点 、 、 在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左
7、）视图的面积分别为 10 和 12，如图所示，其中 ， ， ， （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的平面角的大小 答案：（ 1） 在平面上的射影为 ，而 ，由三垂线定理得，4 分 （ 2）由已知得： ， ， ， 6 分 过 点作 于 ，连结 ，由 ，故 为所求二面角的平面角 故 ，所求二面角平面角的大小为12 分 执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为 ， ， ， ， （ 1）若输 入 ，写出输出结果； （ 2）若输入 ，求数列 的通项公式； （ 3）若输入 ，令 ，求常数 （ ），使得 是等比数列 答案：解 （ 1）输出结果是： 0， ， 3 分 （ 2）（法一）由程序框图知
8、， ， ， ， 所 ， 5 分 ，而 中的任意 一项均不为 1， （否则的话，由 可以得到 ， ，与 矛盾）， 所以， ， （常数）， ， 故 是首项为 ，公差为 的等差数列， 7 分 所以， ，数 列 的通项公式为 ， ， 8 分 （ 3）当 时， ， 令 ，则 ， ， 10 分 此时， ， 所以 ， ， ，又， 故存在常数 （ ）， 使得 是以 为首项， 为公比的等比数列 12 分 （本小题满分 13分） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 、 两点；椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）经过 、 两点分别作
9、抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点证明： ； （ 3） 椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 、（ 、 为切点），使得直线 过点 ？若存在，求出抛物线 与切线 、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由 答案：解：（ 1）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 .由已知条件得 ， 解得 . 分 （ 2）显然直线 的斜率存在，否则直线 与抛物线 只有一个交点，不合题意， 故可设直线 的方程为 ， ， 由 消去 并整理得 ， . ，得 5 分 过抛物线 上 、 两点的切线方程分别是 ， ，即 ， ，解得两条切线 、的交点 的坐标为 ，即 ， 分 . 8 分 （ 3）假设存在点 满足题意，
10、由（ 2） 知点 必在直线 上，又直线与椭圆 有唯一交点，故 的坐标为 ，设过点 且与抛物线相切的切线方程为： ，其中点 为切点 . 令 得， ， 解得 或 ， 10 分 故不妨取 ，即直线 过点 .综上所述，椭圆 上 存在一点，经过点 作抛物线 的两条切线 、 （ 、 为切点），能使直线 过点 . 此时，两切线的方程分别为 （本小题满分 14分） 已知函数 ，当 时， 取得极 小值 . （ 1）求 ， 的值； （ 2）设直线 ，曲线 .若直线 与曲线 同时满足下列两个条件： 直线 与曲线 相切且至少有两个 切点； 对任意 都有 .则称直线 为曲线 的 “上夹线 ”. 试证明：直线 是曲线 的
11、 “上夹线 ”. （ 3）记 ，设 是方程 的实数 根，若对于 定义域中任意的 、 ，当 ，且 时，问是否存在一个最小的正整数 ，使得 恒成立，若存在请求出 的值；若不存在请说明理由 . 答案：（ 1） ， 3 分 （ 2）由 ，得 ，当 时， 此时， ， 所以 是直线 与曲线 的一个切点， 当 时， ， ， ， 所以 是直线 与曲线 的一个切点 所以直线 与曲线 相切且至少有两个切点 6 分 对任意 ， 所以 ,因此直线 ： 是曲线 ： 的 “上夹线 ” 9 分 （ 3）方法一： ， 为 的根，即 ，也即， 10 分 而 ， 13 分 所以存在这样最小正整数 使得 恒成立 .14 分 方法二：不妨设 ，因为 ，所以 为增函数，所以又因为 ，所以 为减函数，所以 所以 ， 11 分 即 13分 故存在最小正整数 ，使得 恒成立 14 分
