1、2012-2013学年福建省三明一中、二中高二上学期期末联考理科数学卷（带解析） 选择题 从集合 中随机取出一个数，设事件 为 “取出的数是偶数 ”， 事件 为 “取出的数是奇数 ”，则事件 与 A是互斥且是对立事件 B是互斥且不对立事件 C不是互斥事件 D不是对立事件 答案： A 试题分析：从集合 中随机取出一个数，取出的数要么是奇数要么是偶数，不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件与 是互斥且是对立事件 . 考点：本小题注意考查互斥事件、对立事件的判断 . 点评：不可能同时发生的两个事件是互斥事件，必然有一个发生的互斥事件是对立事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事
2、件，但是是对立事件就一定是互斥事件 . 已知双曲线 的两个焦点为 ， 为坐标原点，点在双曲线上，且 ，若 、 、 成等比数列，则 等于 A B C D 答案： A 试题分析：由题意 、 、 成等比数列可知， ，即 ， 由双曲线的定义可知 ，即 可得 设 则 由余弦定理可得：， ， ，由 化简得： 因为 ， ，所以 所以 考点：本小题注意考查双曲线的简单几何性质 . 点评：本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，是有难度的综合问题，考查分析问题解决问题的能力 在棱长为 的正方体 内任取一点 ，则点 到点 的距离小等于 的概率为 A B C D 答案： D 试题分析：依题意可知与点 A距
3、离等于 的点的轨迹是一个八分之一个球面，其体积为： 点 到点 的距离小等于 的概率为考点：本小题注意考查几何概型 . 点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想属于基础题 已知函数 的图像如图所示， 的导函数，则下列数值排序正确的是 A B C D 答案： B 试题分析：由函数 的图像可知：当 时， 单调递增，且当 时， ，而 分别代表在 处的切线的斜率，从图示来看，显然这个切线的斜率是越来越小的。而 相当于，可以看成 2， 3中间某点上的切线的斜率，从而有。 考点：本小题注意考查导数的几何意义，函数的单调性 . 点评：此题主要考查函
4、数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，另外还考查学生的读图能力，要善于从图中获取信息 据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含 80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在 80mg/100ml（含 80）以上时，属醉酒驾车据法制晚报报道， 2012年 8月 15日至 8月 28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图是对这 28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 A B C D 答案： A 试题分析：根据频率分布直方图可知，属于醉酒驾车的人数约为考点：本
5、小题注意考查频率分布直方图的应用 . 点评：解决有关频率分布直方图的题目时，要注意频率分布直方图中纵轴表示的是频率 /组距，图中每个小矩形的面积是相应的频率 . 如图是把二进制数 化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 A B C D 答案： B 试题分析：根据二进制数与十进制数的转化方法可知 是退出循环，所以判断框中应填入的条件是 . 考点：本小题注意考查程序框图的理解，不同进制间数的转化 . 点评：程序框图的题目一般离不开循环结构，这时要分清是当型循环还是直到型循环 ，还要仔细判断退出循环的条件，避免多执行或少执行一步 . 有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶 米时，水面宽 米，则
6、当水面下降 米后，水面宽度为 A 9 B 4.5 C D 答案： D 试题分析：依题意可设抛物线方程为 ，代入点将 代入可得 ，所以水面宽度为 . 考点：本小题注意考查抛物线方程的求解和应用 . 点评：依题意可知该抛物线是开口向下的抛物线，代入 即可求出方程，这种用圆锥曲线解决实际问题的题目要灵活掌握 . 设 是两条直线， 是两个不同平面，下列四个命题中，正确的命题是 A若 与 所成的角相等，则 B若 ， ， ，则 C若 ， ， ，则 D若 ， ， ，则 答案： C 试题分析：若 与 所成的角相等，则 不一定平行，所以 A不正确；分别平行于两个平行平面的两条直线不一定平行，所以 B 不正确；如
7、果 相交，则也能找到符合 D中条件的 ，所以 D不正确；根据面面垂直和线面垂直的性质可知 C正确 . 考点：本小题注意考查空间中直线、平面的位置关系的判断和应用 . 点评：解决此类问题，要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可 . 已知某个三棱锥的三视图如右，根据图中标出的尺 寸（单位 : ），则这个三棱锥的体积是 A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该三棱锥的底面是一条边长度为 2 ，这条边上的高也为 2 的三角形，有一个侧面垂直于底面，三棱锥的高为 2，所以该三棱锥的体积为 考点：本小题注意考查空间几何体的三视图和三棱锥的体积的计算 . 点评：此类问题主要是
8、考查学生的空间想象能力和运算能力，要正确解决此类问题，首先要根据三视图正确还原几何体 . 若向量 、 的坐标满足 ， ，则 等于 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以所以 考点：本小题注意考查向量的坐标运算 . 点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可 . 填空题 给出以下四个命题： “正三角形都相似 ”的逆命题； 已知样本 的平均数是 ，标准差是 ，则 ； “ ”是 “方程 表示椭圆 ”的必要不充分条件； 中，顶点 的坐标为 ，则直角顶点 的轨迹方程是其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号 ) 答案： 试题分析： “正三角形都相似
9、 ”的逆命题是 “相似三角形是正三角形 ”，显然是假命题，所以 不是真命题；由样本 的平均数是 可以得到，而由标准差是 可以得到又因为 ，所以可以求出 所以 是假命题； “ ”是 “方程表示椭圆 ”的必要不充分条件是真命题；对于 ，不用求解也可以知道是假命题，因为在曲线方程中没有将三点共线的情况排除掉，所以不正确 . 考点：本小题注意考查命题的真假判断，平均数、方差的计算，椭圆的标准方程和曲线方程的求解 . 点评：本小题综合考查多个数学知识，类似于多项选择题，解这类题目时，一定要仔细，应用多选或少 选都一分不得 . 已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ， ，则 的最小值是 答案：
10、 试题分析：易求抛物线 的焦点为 ，而 在抛物线的上方，所以 的最小值为点 与焦点 的距离减去 ，而点 与焦点 的距离为 ，所以 的最小值是 . 考点：本小题注意考查抛物线上点的性质的应用 . 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这点性质经常用来求最值，解这种题目时还要注意转化思想的应用 . 若双曲线 的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为 答案： 试题分析：因为双曲线 的离心率为 ，所以所以双曲线方程为 ，令 ，即可得到双曲线的渐近线方程为 . 考点：本小题注意考查双曲线的基本量的计算 . 点评：将双曲线标准方程中的 1换成 0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程，这种求渐近线的
11、方法要掌握并灵活应用 . 当 时，程序段输出的结果是 答案： 试题分析：根据程序可知，因为 ，所以 考点：本小题注意考查条件语句的执行 . 点评：条件语句和循环语句是两种常考的语句，条件语句比较简单，判断清楚条件依次执行即可 . 写出命题 “ ，使得 ”的否定形式是 答案： ，使得 试题分析：题目中所给命题是特称命 题，特称命题的否定是全称命题，所以是：，使得 . 考点：本小题注意考查特称命题的否定 . 点评：解决含有一个量词的命题的否定问题时要注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，注意符号不要写错 . 解答题 已知 ： “直线 与圆 相交 ”； ： “方程的两根异号 ”若
12、为真， 为真，求实数 的取值范围 答案： 试题分析： 为真， 为真， 假 真 若 为假：由圆心 到直线的距离 不小于半径 ，即 ， 或 9 分 若 为真：由韦达定理知： 即 所以当 假 真时， 或 故 的取值范围是： 13 分 考点：本小题注意考查复合命题真值表的应用，直线与圆的位置关系，二次方程根的情况 . 点评：解决此类问题，应该先根据复合命题的真值表判断出两个命题的真假，进而求解各个命题的真假，一般情况是先求命题为真时的范围，如果命题为假，则求它的补集 . 已知动点 到 的距离比它到 轴的距离多一个单位 （ ）求动点 的轨迹 的方程； （ ）过点 作曲线 的切线 ，求切线 的方程，并求出
13、 与曲线 及轴所围成图形的面积 答案：（ ） （ ）切线 的方程为： ，所求的图形的面积为 试题分析：（ ）设动点 M的坐标为 ， 依题意得：动点 M到点 的距离与它到直线 的距离相等， 由抛物线定义知： M的轨迹 C是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， 其方程为： 6 分 （ ） 曲线 C的方程可写成： ， 注意到点 在曲线 C上，过点 N 的切线 斜率为 ， 故所求的切线 的方程为： 即 9 分 由定积分的几何意义，所求的图形的面积 13 分 考点：本小题注意考查抛物线标准方程的求解，导数的运算，切线的求解和定积分的计算 . 点评：解决轨迹方程问题时，经常先根据定义求出曲线类型再求解，因此
14、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义尤其重要，要熟练掌握，灵活应用 . 如图，长方体 中， ， ，点 在 上，且 （ ）证明： 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值 答案：（ ）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决（ ） 试题分析：（ ）以 为坐标原点，分别以 、 、 所在的直线为 轴、轴、 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系 则 ， 2 分 有 ， ， 故 ， 又 ，所以 平面 6 分 （ ）由（ ）得 是平面 的一个法向量， 设向量 是平面 的法向量，则 令 ，则 ， ， 10 分 所以二面角 的余弦值为 13 分 考点：本小题注意考查空间中线面垂直的证明，二面角的求解 . 点评：用空间向量证明立
15、体几何问题的依据还是相应的判定定理，如第一问中必须强调 ；另外，用法向量求二面角时，求出的可能是要求的角的补角，要仔细判断二面角时锐角还是钝角 . 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 至 月份每月 号的昼夜温差情况与因 患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日 期 1月 10日 2月 10日 3月 10日 4月 10日 5月 10日 6月 10日 昼夜温差 (C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 (个 ) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 组，用剩下的 组数据求线性回归方程，再用被选
16、取的 组数据进行检验 （ ）求选取的 组数据恰好是相邻两个月的概率； （ ）若选取的是 月与 月的两组数据，请根据 至 月份的数据，求出 关于 的线性回归方程 ；（其中 ） （ ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的试问该小组所得线性回归方程是否理想？ 答案：（ ） （ ） （ ）理想 试题分析：（ ）设抽到相邻两个月的数据为事件 因为从 6组数据中选取 2组数据共有 15种情况，每种情况都是等可能出现的， 其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5种， 4 分 （ ）由数据求得 ，由公式 ，得 ， 所以 关于 的线性回归方程为 9 分
17、（ ）当 时， ，有 ； 同样，当 时， ，有 ； 所以，该小组所得线性回归方程是理想的 13 分 考点：本小题注意考查古典概型，回归直线的求解及应用 . 点评：应用古典概型概率公式时要保证每种情况都是等可能出现的，否则就不能用古典概型公式求解 .回归直线方程的求解运算量较大，要根据公式，仔细计算，更要会应用 . 已知椭圆 方程为 ，左、右焦点分别是 ，若椭圆 上的点 到 的距离和等于 （ ）写出椭圆 的方程和焦点坐标； （ ）设点 是椭圆 的动点，求线段 中点 的轨迹方程； （ ）直线 过定点 ，且与椭圆 交于不同的两点 ，若 为锐角（ 为坐标原点 ），求直线 的斜率 的取值范围 答案：（
18、）椭圆 的方程 ，焦点 （ ） （ ） 试题分析：（ ）由题意得： ， 又点 椭圆 上， 椭圆 的方程 ，焦点 5 分 （ ）设椭圆 上的动点 ，线段 中点 ， 由题意得： ， 代入椭圆 的方程得， ， 即 为线段 中点 的轨迹方程 9 分 （ ）由题意得直线 的斜率存在且不为 ， 设 代入 整理， 得 ， 设 ， 为锐角 ，即 ， 又 ， 由 、 得 ， 的取值范围是 14 分 考点：本小题注意考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等 . 点评：圆锥曲线的综合问题一般离不开直线方程和圆锥曲线方程联立方程组，运算量较大，注意到联立得到直线方程后，不要忘记验证 . 已知函数 ， ， ( 为
19、自然对数的底数 ) （ ）当 时，求函数 的单调区间； （ ）函数 在区间 上恒为正数，求 的最小值； （ ）若对任意给定的 ，在 上总存在两个不同的 ，使得 成立，求 的取值范围 答案：（ ） 的单调减区间为 ，单调增区间为 （ ）（ ） 试题分析：（ ）函数 f (x)的定义域为 ， 当 时， 由 ， 由 故 的单调减区间为 ，单调增区间为 4 分 （ ） 在 恒成立等价于： 在 恒成立， 令 则 ， x , 于是 在 上为减函数，又在 x=e处连续 , 故在 , 从而要使 对任意的 恒成立 只要 ，故 的最小值为 9 分 （ ）一次函数 在 上递增，故函数 在 上的值域是 当 时， 为单调递减函数，不合题意； 当 时， ， 要使 在 不单调，只要 ，此时 故 在 上单调递减，在 上单调递增 注意到 时， 对任意给定的 ，在区间 上总存在两个不同的 使得成立，当且仅当 满足下列条件 ，即令 ， 当 时， 函数 单调递增； 当 时， 函数 单调递减 所以，当 时有 即 对任意 恒成立 又由 ，解得 综合 可知，当 时，对任意给定的 ，在 上总存在两个不同的 ，使 成立
