1、2012届云南省建水一中高三 9月月考理科数学 选择题 已知复数 ，则复数 （ ） A B C D 答案： C 若实数 满足 则 的最小值是（ ） A 0 B 1 C D 9 答案： B 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且，则 的面积为 ( ) A B C D 答案： B 已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M且与 成 二面角的平面 截该球面得圆 N若该球面的半径为 4，圆 M的面积为 4 ，则圆 N 的面积为（ ） A 7 B 9 C 11 D 13 答案： D 如图， ABCD是边长为 1的正方形， O 为 AD中点， 抛物线 F的顶点为 O 且通过点 C，则阴影部
2、分的面积为 ( ) A B C D 答案： C 离散型随机变量 （ ） A B C D 答案： B （ ）展开式中 的系数为 10，则实数 a等于（ ） A -1 BC 1 D 2 答案： D 有四个关于三角函数的命题：（ ） ： x R, + = : x、 y R, sin(x-y)=sinx-siny : x , =sinx : sinx=cosy x+y= 其中假命题的是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： A 函数 （ ） A B C D 答案： B 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ） 答案： C 双曲
3、线 - =1的焦点到渐近线的距离为（ ） A B 2 C D 1 答案： A 下列函数中，既是偶函数、又在区间（ -1， 0）单调递增的函数是（ ） A B C D 答案： C 填空题 如图放置的边长为 1的正方形 PABC沿 x轴滚动。设顶点 P（ x， y）的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 x轴所围区域的面积为 。 答案：， 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 答案： 已知向量 ，则 答案： 已知 答案： 解答题 (10分 )已知 是公差不为零的等差数列 , 成等比数列 . （ ）求数列 的通项 ; （ ）求数列 的前 n项和 答案：解： 由题设
4、知公差 由 成等比数列得 解得 (舍去 ) 故 的通项 , 由等比数列前 n项和公式得 （ 12分） ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C所对的边长， a= ，b= ， ，求边 BC 上的高 . 答案：解： A B C 180，所以 B C ， 又 ， 即 ， ， 又 0A180，所以 A 60. 在 ABC中，由正弦定理 得 又 ，所以 B A， B 45， C 75， BC 边上的高 AD AC sinC （ 12分）在三棱锥 S-ABC 中， ABC是边长为 4的正三角形，平面SAC 平面 ABC， SA=SC=2 ， M、 N 分别为 AB、 SB的中点。 （ ）证明：
5、 AC SB； （ ）求二面角 N-CM-B的余弦值； 答案：解：解法一：（ ）取 AC 中点 D，连结 SD、 DB. SA=SC， AB=BC， AC SD且 AC BD， 2 分 AC 平面 SDB，又 SB 平面 SDB， AC SB.4 分 （ ） AC 平面 SDB， AC 平面 ABC， 平面 SDB 平面 ABC. 过 N 作 NE BD于 E， NE 平面 ABC，过 E作 EF CM于 F，连结 NF， 则 NF CM. NFE为二面角 N-CM-B的平面角 .6 分 平面 SAC 平面 ABC， SD AC， SD 平面 ABC. 又 NE 平面 ABC， NE SD.
6、SN=NB， NE= SD= = = ，且 ED=EB. 在正 ABC中，由平几知识可求得 EF= MB= ， 在 Rt NEF中， tan NFE= =2 ， NFE= 二面角 N-CM-B的余弦值为 .8 分 （ ）在 Rt NEF中， NF= = ， S CMN= CM NF= ， S CMB= BM CM=2 .10 分 设点 B到平面 CMN 的距离为 h， VB-CMN=VN-CMB， NE 平面 CMB， S CMN h= S CMB NE， h= = .即点 B到平面 CMN 的距离为 .12 分 解法二：（ ）取 AC 中点 O，连结 OS、 OB. SA=SC， AB=BC
7、， AC SO且 AC BO. 平面 SAC 平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC SO 面 ABC， SO BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz.2 分 则 A（ 2， 0， 0）， B（ 0， 2 ， 0）， C（ -2， 0， 0）， S（ 0， 0， 2 ）， M(1， ， 0)， N(0， ， ). =（ -4， 0， 0）， =（ 0， 2 ， 2 ）， =（ -4， 0， 0） （ 0， 2 ， 2 ） =0， 3 分 AC SB.4 分 （ ）由（ ）得 =（ 3， ， 0)， =（ -1， 0， ） .设 n=（ x， y， z）为平面 CMN 的一个法向量
8、， n=3x+ y=0， n=-x+ z=0， 则 取 z=1，则 x= ， y=- ， 6 分 n=( ， - ， 1)， 又 =(0， 0， 2 )为平面 ABC的一个法向量， cos(n， （ 12分）某同学参加 3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ， ( )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 ( )求该生至少有 1门课程取得优秀成绩的概率； ( )求 ， 的值； ( )求数学期望 。 答案：解：事件 表示 “该生第 门课程取得优秀成绩 ”， =1,2,3，由题
9、意知 ， ， （ I）由于事件 “该生至少有 1门课程取得优秀成绩 ”与事件 “ ”是对立的，所以该生至少有 1门课程取得优秀成绩的概率是 ， （ II）由题意知 整理得 ， 由 ，可得 ， . （ III）由题意知 = = = （ 12分） 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为 1时，坐标原点 到 的距离为 （ I）求 ， 的值； （ II） 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的 P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 答案：解 :(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为则 ，解得 .又 . （ II）由 (I）知椭圆的方程为 .设 、 由题意知 的斜率为一定不为 0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。 由韦达定理有： .假设存在点 P，使 成立，则其充要条件为： 点 ，点 P在椭圆上，即 。 整理得 。 又 在椭圆上，即 . 故 将 及 代入 解得 , = ,即 . 当 ; 当 . （ 12分）已知函数 ( )如 ，求 的单调区间； ( )若 在 单调增加，在 单调减少，证明 6. 答案：解：（ ）当 时， ，故 当 当 从而 单调减少 . ( ) 由条件得： 从而 因为 所以 将右边展开，与左边比较系数得， 故 又 由此可得 于是
