1、2013-2014学年安徽师大附中高二下学期期中考查理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “对任意的 ”的否定是（ ） A存在 B存在 C不存在 D对任意的 答案： A 试题分析：题设的否定形式为存在 ,故选 A 考点：命题的否定 已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， 3，离心率 e2= 4， e2，故选C 考点：双曲线的简单性
2、质 在空间四边形 ABCD中， ( ) A -1 B 0 C 1 D以上答案：都不对 答案： B 试题分析：,故选 B 考点：平面向量数量积的运算 已知 是 的充分条件而不是必要条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件。现有下列命题： 是 的充要条件； 是 的必要条件而不是充分条件； 是 的充分条件而不是必要条件； 是 的充分条件而不是必要条件； 的必要条件而不是充分条件，则正确命题序号是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 是 的充分条件而不是必要条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件， ，故 s是 q的充要条件正确； 是 的必要条件而不是充
3、分条件不一定正确； 是 的充分条件而不是必要条件正确； 是 的充分条件而不是必要条件错误； 的必要条件而不是充分条件正确，故选 A 考点：命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断 如果椭圆 的弦被点 (4， 2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：设这条弦的两端点为 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），斜率为 k，则，两式相减再变形得 又弦中点为（ 4， 2），故 k= ，故这条弦所在的直线方程 y-2= （ x-4），整理得 x+2y-8=0；故选D 考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题 已知方程 ，它们所表示的曲线可
4、能是（ ） A B C D 答 案： B 试题分析：方程 ax2+by2=ab 化成： ， ax+by+c=0 化成： y= ，对于 A：由双曲线图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率大于 0，故错；对于 C：由椭圆图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率小于 0，故错；对于 D：由椭圆图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率小于 0，故错；故选 B 考点：圆锥曲线的轨迹问题 若动点 与定点 和直线 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 答案： D 试题分析：因为定点 F（ 1， 1）在直线 上，所以到定点 F的距离和到定直线 l的距离相等
5、的点的轨迹是直线，就是经过定点 A与直线，垂直的直线故选 D 考点： 1抛物线的定义； 2轨迹方程 若 A ， B ， C ，则 ABC的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 答案： C 试题分析：因为 、 、 ,所以可知角 A为钝角，故 ABC的形状是锐角三角形 考点： 1空间向量在立体几何中的应用； 2空间平面向量数量积的运算 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则的值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 答案： C 试题分析：抛物线的焦点 F为（ ， 0），双曲线 的右焦点 F2（ 4，0），由已知得 =4， p=8故选 C 考点：圆锥曲线的共同特征
6、已知 (2,4,5)， (3， x， y)，若 ，则 ( ) A x 6， y 15 B x 3， y C x 3， y 15 D x 6， y 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，所以 x 6， y 考点：空间向量的平行 填空题 在下列命题中： 若向量 a， b共线，则向量 a， b所在的直线平行； 若向量 a， b所在的直线为异面直线，则向量 a， b一定不共面； 若三个向量 a， b， c两两共面，则向量 a， b， c共面； 共面的三个向量是指平行于同一个平面的的三个向量； 已知空间的三个不共线的向量 a， b， c，则对于空间的任意一个向量 p总存在实数 x， y， z使得 p x
7、a yb zc其中正确命题是 答案： 试题分析：由于向量是可自由平移的，所以向量 a， b共线，不一定向量 a， b所在的直线平行，故命题 不正确；同样因为向量是可自由平移的，向量 a， b所在的直线为异面直线，则向量 a， b也可能共面，故命题 不正确；三个向量a， b， c 两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，故命题 不正确；共面的三个向量是指平行于同一个平面的的三个向量，故 正确；由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量 a， b， c，不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题 不正确故填 考点：命题的真假判断与应用 椭圆 上的点到直线 的最大距离是 答案： 试题分
8、析： 椭圆方程为 可设椭圆上的任意一点 P 坐标为（ 4cos，2sin） P到直线 的距离 d= 4 4 d的最大值为 考点：直线与圆锥曲线的关系 已知双曲线的两个焦点为 F1(- ， 0)、 F2( ， 0)， M是此双曲线上的一点，且 满足 0， | | | | 2，则该双曲线的方程是 答案： 试题分析：由于三角形 PF1F2为直角三角形，故 ，所以（ MF1-MF2） 2+2MF1 MF2=40，由双曲线定义得（ 2a） 2+4=40，即 a2=9，故 b2=1，所以双曲线方程为 故答案：为： 考点：双曲线的标准方程 在空间直角坐标系 O-xyz中，平面 OAB的一个法向量为 n (2
9、， -2,1)，已知点 P(-1,3,2)，则点 P到平面 OAB的距离 d等于 答案： 试题分析： O 是平面 OAB上一个点，设点 P到平面 OAB的距离为 d,则 d= =(-1,3,2) (2,-2,1)=-6, d= =2即 点 P到平面 OAB的距离为 2 考点：空间向量在立体几何中的运用 若 ，则 或 的逆否命题是 答案：若 且 ，则 试题分析：一个命题的逆否命题是把原命题的题设和结论否定并且交换位置， 命题 “若 ，则 或 ”的逆否命题是，若 且 ，则 考点：四种命题 解答题 已知点 A(3,2), 点 P是抛物线 y2 4x上的一个动点， F为抛物线的焦点，求的最小值及此时
10、P点的坐标 答案： , (1,2) 试题分析：设点 P在准线上的射影为 D，由抛物线的定义把问题转化为求PA+PD的最小值，同时可推断出当 D， P， A三点共线时 PA+PD最小，答案：可得 设点 P在准线上的射影为 D,记抛物线 y2 2x的焦点为 F（ 1,0），准线 l是 x= -1，由抛物线的定义知点 P到焦点 F的距离等于它到准线 l的距离，即 PF=PD , 因此 PA +PF=PA+ PD AD=4, 即当 D， P， M三点共线时 PA+PD最小，此时 P(1,2) 考点：抛物线的简单性质 已知命题 ：方 程 有两个不等的负实根，命题 ：方程无实根。若 或 为真， 且 为假。
11、求实数 的取值范围 答案： m (1,2 3， +) 试题分析：由题意 p,q中有且仅有一为真，一为假，若 p真 ，若 q真 2， q真 0 1m3, 若 p假 q真，则 1m2；若 p真 q假，则 m3； 综上所述： m (1,2 3， +) 考点：命题的真假判断与应用 在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离为 ，到 轴的距离为 ，且 （ 1）求点 的轨迹 的方程； （ 2） 若直线 斜率为 1 且过点 ，其与轨迹 交于点 ，求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）方法一： 由抛物线的定义直接得到结果；方法二：根据题中所给数据直接列出等式 ，化简即可得到结果（ 2） 将直
12、线 ， 与 ，联立，得 ，利用弦长公式得 ，将韦达定理代入即可得到结果 （ 1）方法一： 由抛物线的定义可知， ； 方法二： ，可得， （ 2） 直线 ， 联立 ，得 ， 考点： 1抛物线的定义； 2直线与抛物线的位置关系 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面 ， ， ， 为 的中点 （ 1）求直线 与 所成角的余弦值； （ 2）在侧面 内找一点 ，使 面 ，并求出点 到 和 的距离 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出，利用夹角公式即可求出直线 与 所成角的余弦值； （ 2）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则，由 面 可得关于 x，
13、z 的方程组，即可求出答案： （ 1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 的坐标为 、 、 、 、 、 ， 从而 设 的夹角为 ，则 与 所成角的余弦值为 （ 2）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则 ，由 面 可得， 即 点的坐标为 ，从而 点到 和 的距离分别为 考点： 1点、线、面间的距离计算； 2异面直线及其所成的角； 3直线与平面垂直的判定 已知椭圆 左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P（ 2， ），点 F2在线段 PF1的中垂线上 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设直线 与椭圆 C交于 M、 N 两点，直线 F2M与 F2N 的斜率互为相反数，求证：直线 l过定点，并求
14、该定点的坐标 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）根据椭圆的离心率求得 a和 c的关系，进而根据椭圆 C的左、右焦点分别为 F1（ -c， 0）， F2（ c， 0）又点 F2在线段 PF1的中垂线上，推断|F1F2|=|PF2|，进而求得 c，则 a和 b可得，进而求得椭圆的标准方程（ 2）设直线 MN 方程为 y=kx+m，与椭圆方程联立消去 y，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），根据韦达定理可表示出 x1+x2和 x1x2，表示出直线 F2M和 F2N 的斜率，由直线F2M与 F2N 的斜率互为相反数，可推断两直线斜率之和 为 0，把 x1+x2和 x1x2
15、代入即可求得 k和 m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点 解：（ 1）由椭圆 C的离心率 得 ，其中 ，椭圆 C的左、右焦点分别为 又点 F2在线段 PF1的中垂线上 解得 （ 2）由题意，知直线 MN 存在斜率，设其方程为 由 消去 设 则 且 （ 8分） 由已知，得 化简，得 （ 10分） 整理得 直线 MN 的方程为 ， 因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为（ 2， 0） （ 12分） 考点： 1椭圆的标准方程； 2恒过定点的直线； 3直线与圆锥曲线的综合问题 如图，边长为 1 的正三角形 所在平面与直角梯形 所在平面垂直，且 ， ， ， ， 、 分别是线段 、 的中点 （ 1）
16、求证：平面 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）由已知中 F为 CD的中点，易判断四边形 ABCD为平行四边形，进而 AF BC，同时 EF SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案：（ II）取 AB的中点 O，连接 SO，以 O 为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面 SAC与平面 ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角 S-AC-F的大小 （ 1） 分别是 的中点， 又 ，所以 ， 2 分 四边形 是平行四边形 是 的中点， 3 分 又 ， ， 平面 平面 5 分 （ 2）取 的中点 ，连接 ，则在正 中， ，又 平面平面 ， 平面 平面 ， 平面 6 分 于是可建立如图所示的空间直角坐标系 则有 ， ， ， ， ， 7 分 设平面 的法向量为 ，由 取 ，得 9 分平面 的法向量为 10分 11 分而二面角 的大小为钝角， 二面角 的余弦值为 考点： 1用空间向量求平面间的夹角； 2平面与平面平行的判定
