1、2013-2014学年湖南省师大附中高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为过点 和 的直线与直线 平行，所以假设过点 A,B的直线为 ，代入 A,B两点的坐标为得 解得 .所以 .故选 A.本小题也可以通过求出直线 AB的斜率，求出的值 . 考点： 1.两直线平行的判断 .2.斜率相等是直线平行的充分不必要条件 . 把正方形 沿对角线 折起 ,当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 和平面 所成的角的大小为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为正方形 沿对角线 折起，成为一
2、个四棱锥，在折的过程中以面 底面，所以底面积是没有改变的，只有高在变化 .当面 垂直于底面 时，以 四点为顶点的三棱锥体积最大 .如图点 是 的中点 .所以 ，又因为面 面 ，且面 面 .所以面 .又因为 .所以直线 和平面 所成的角的为.故选 C. 考点： 1.三棱锥的体积公式 .2.二面的概念 .3.直线与平面所成的角 . 若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为圆 的圆心为 ，则根据圆的性质可得直线与直线 垂直，所以 .即 .又因为 .所以 .又因为直线 过点 所以直线 的方程为.故选 D. 考点： 1.圆的性质 .2.两直线垂直的性质
3、.3.直线方程的表示 . 圆 上的点到点 的距离的最小值是（ ） A 1 B 4 C 5 D 6 答案： B 试题分析：因为圆 的圆心 到点 的距离为.所以圆 上的点到点 的距离的最小值是的长减去圆的半径即 .故选 B.本校题主要是考查点与圆的位置关系 . 考点： 1.两点距离公式 .2.点与圆的位置关系 . 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的表面积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为一个正方体的棱长为为 2，则该正方体的对角线长为.又因为该正方体的顶点都在球面上，所以球的直径就是正方体的对角线，即球的半径 .又因为球的表面积.故选 B. 考点： 1.球的内接正方
4、体 .2.球的表面积公式 .3.长方体的对称性 . 下列四个结论： 两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 . 两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行 . 两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行 . 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 . 其中正确的个数为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面的位置关系 .所以（ 1）不正确；两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行，或异面，所以（ 2）不正确；两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以（ 3
5、）不正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 或直线在平面内，所以（ 4）不正确 .故选 A. 考点： 1.直线与平面的位置关系 .2.直线与直线的位置关系 .3.相关的判断定理 . 过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为与直线 垂直的直线方程的可以假设为 .代入点 即可得 故所求的方程为 .故选B.本小题也可以先求出垂线的斜率，再根据点斜式写出直线方程 . 考点： 1.直线垂直关系 .2.待定系数的思想 . 填空题 在平面直角坐标系内，设 、 为不同的两点，直线 的方程为 ， 设 有下列四个说法： 存在实数 ，使点
6、在直线 上； 若 ，则过 、 两点的直线与直线 平行； 若 ，则直线 经过线段 的中点； 若 ，则点 、 在直线 的同侧，且直线 与线段 的延长线相交 上述说法中，所有正确说法的序号是 答案： 试题分析：若点 在直线 上，即满足 所以不存在这样的实数所以 不正确；若 ，即 ，所以即 所以 即过 、两点的直线与直线 平行成立 所以 正确；若 即把线段 的中点代入直线 即可得，所以 正确；若 即 ，所以 与 的值同正或同负，即点 、 在直线 的同侧，又因为 所以点 N 离直线更近，所以直线 与线段 的延长线相交 所以 正确 综上填 考点： 1 点与直线的位置关系 2 平行直线的关系式 3 分式不等
7、式的解法 在棱长为 1的正方体 中，点 ， 分别是线段 ，（不包括端点）上的动点，且线段 平行于平面 ，则四面体的体积的最大值是 _ 答案： 试题分析：过 作 ， 为垂足 依题意可得 平面 又因为平面 所以可得 假设 由 可得所以四面体 的体积 = =当且仅当 成立 故填 考点： 1 线面平行的性质 2 线面垂直 3 三棱锥的体积公式 如图，二面角 的大小是 60，线段 在平面 EFGH上， 在 EF上， 与 EF 所成的角为 30，则 与平面 所成的角的正弦值是_. 答案： 试题分析：过点 作 .且 .过点 作 面 .垂足为 .连结 则 为 与平面 所成的角 .依题意 .设 .则在 中， .
8、又在 中 .所以故填 . 考点： 1.二面角的问题 .2.直线与平面所成角的问题 .3.解三角形的知识 . 一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为 _. 答案： 试题分析：由三视图如图所示，该正三棱柱是一个直的 三棱柱 .底面是一个高为6的等边三角形，所以底面边长 .高位为 1.由三棱柱的体积公式可得 因为 .所以 . .本小题的解题关键是通过三视图得到底面边长，这点易错 . 考点： 1.三视图知识 .2.棱柱的体积公式 . 直线 恒经过定点 ，则 点的坐标为 _ 答案： 试题分析：因为直线 恒经过定点的含义是，对于任意的不同的参数，直线都过这一点 .从
9、方程的角度理解是参数 不能起作用 .所以只有让参数的系数为零即可求得结论 .所以 ，可得 .所以恒过 .故填 . 考点： 1.直线方程 .2.一个参数的直线恒过定点问题 . 在空间直角坐标系中，点 与点 的距离为 _. 答案： 试题分析：因为在空间直角坐标系中两点 的距离公式为.所以 .故填 5.本小题考查空间两点间距离的公式 . 考点：空间两点的距离公式 . 方程 表示一个圆，则 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：解（一）因为方程 ，可化为.所以要使 能表示一个圆 .则.故填 .解（二）根据圆的一般式 .的条件 可知 .故填 . 考点： 1.圆的一般方程 .2.圆的标准方程 .3.含参的
10、方程成为圆的方程的条件 . 如图，正方体 中， ，点 为 的中点，点 在上，若 ，则线段 的长度等于 _ 答案： 试题分析：因为 ，所以过 得平面 与平面 相交于.所以 .又因为点 为 的中点，点 在 上，所以，点 是线段 的中点 .所以 .又因为在正方体 中， .，所以 .所以 .故填 . 考点： 1.线面平行的性质 .2.三角形的中位线性质 . 解答题 如图，在正方体 中， （ 1）求证： ; （ 2）求直线 与直线 BD所成的角 答案：（ 1）见； (2) 试题分析：（ 1）在正方体 中， ，又因为 平 面 ， 平面 ，所以 又因为 所以 平面 本小题证线面垂直，属于较基础题型 (2)因
11、为求直线 与直线 BD所成的角，又因为 所以 与 所成的角即为所求的角，连结 ， 可知 是一个等边三角形，所以故填 试题： (1)在正方体中 ， 又 ，且 , 则 , 而 在平面 内，且相交 故 ； 6分 （ 2）连接 ， 因为 BD平行 ，则 即为所求的角， 而三角形 为正三角形，故 ， 则直线 与直线 BD所成的角为 12分 考点： 1 线面垂直的判定 2 异面直线所成的角 已知圆 C： =0 （ 1）已知不过原点的直线 与圆 C相切，且在 轴， 轴上的截距相等，求直线 的方程； （ 2）求经过原点且被圆 C截得的线段长为 2的直线方程 答案：（ 1） 或 ；（ 2） ， 试题分析：（ 1
12、）因为已知不过原点的直线 与圆 C相切，且在 轴， 轴上的截距相等，所以可以假设所求的直线为 ，又因为该直线与圆相切所以圆 C： =0的圆心（ -1,2）到直线的距离等于圆的半径 即可求出 的值 （ 2）求经过原点且被圆 C截得的线段长为 2的直线方程，要分两类 i)直线的斜率不存在； ii)直线的斜率存在 再根据点到直线的距离即可求得结论 试题：（ 1） 切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为 1分 圆心 C（ -1,2）到切线的距离等于圆半径 ， 3分 即 = 4分 或 5分 所求切线方程为： 或 6分 （ 2）当直线斜率不存在时，直线即为 y轴，此时，交点坐标为 (0,1),(0
13、,3),线段长为 2，符合故直线 8分 当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即 由已知得，圆心到直线的距离为 1， 9分 则 ， 11分 直线方程为 综上，直线方程为 ， 12分 考点： 1 点到直线的距离 2 直线与圆的位置关系 3 直线方程的表示 某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图 与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位 cm）； （ 1）求出这个工件的体积； （ 2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米 1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分） . 答案： (1) ;(2)314
14、元 试题分析： (1)根据三视图可知该工件是一个圆锥的形状，其中圆的半径 为 2，母线长为 3，所以圆锥的高 .又根据圆锥的体积公式 .可得 .故填 . (2)因为圆锥的表面积公式为 .又因为 ，.所以 .所以 10个共要 .所以共需要元 .所以填 314元 . 试题：（ 1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为 4， 母线长为 3， 2分 设圆锥高为 ， 则 4分 则 6分 （ 2）圆锥的侧面积 ， 8分 则表面积 =侧面积 +底面积 = （平方厘米） 喷漆总费用 = 元 11分 考点： 1 三视图 2 圆锥的体积 3 圆锥的表面积 已知：以点 C(t, )(t R,t0)为圆心的圆与 轴
15、交于点 O,A，与 y轴交于点O,B，其中 O 为原点 （ 1）求证： OAB的面积为定值； （ 2）设直线 y=2x+4与圆 C交于点 M,N，若 OM=ON，求圆 C的方程 答案： (1)参考； (2) 试题分析： (1)因为要证 OAB的面积为定值，关键是要求出 A,B两点的坐标 根据圆的半径是 即 所以可以写出圆 C的方程 从而分别令即可求得 A,B两点的坐标 再根据 就即可证得结论 (2)因为直线 y=2x+4与圆 C交于点 M,N，若 OM=ON 又因为 所以可得 由直线 的斜率即可求得直线 的斜率，从而得到直线的方程，在代入 C (t, ) 即可求得 的值，再根据 的值判断直线与
16、圆的关系 从而确定圆的方程 试题：（ 1）因为圆 C过原点 O， 设圆 的方程是 令 得 ；令 得所以 ,即 的面积为定值 （ 2）因为 垂直平分线段 因为 ,所以直线 的方程是 所以 ，解得 或 当 时，圆心的坐标为 此时 到直线 的距离 ， 圆 与直线 相交于两点 10分 当 时，圆心 的坐标为 ， ， 此时 到直线 的距离 圆 与直线 不相交， 不符合题意舍去 11分 圆 的方程为 13分 考点： 1 圆的方程 2 直线与圆的方程 3 圆的对称性 如图，四棱锥 中， , ，侧面 为等边三角形（ 1）证明： （ 2）求 AB与平面 SBC所成角的正弦值 答案：（ 1）参考；（ 2） 试题分
17、析：（ 1）要证 ，从原图中较难找出线与线的垂直，通过取线段 AB的中点 E，并连接 DE，可求出 SE， DE的长结合已知 SD的长，可得 再通过证明 平面 可得 从而可得 平面 （ 2）求 AB与平面 SBC所成角的正弦值，因为 ，所以所求的问题等价于 与平面 SBC所成角的正弦值 只需要证明平面 平面，从而作出即可得 与平面 SBC所成角为 通过解三角形即可得结论 试题：（ 1）证明：取 AB中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE为矩形，DE=CB=2。 连结 SE，则 又 SD=1，故 所以 为直角。 由 ，得 ,所以 SD与两条相交直线 AB、 SE都垂直。 所以 6分 （ II）
18、由 知， 作 ，垂足为 F， 则 , 作 ，垂足为 G，则 FG=DC=1。 连结 SG，则 又 ， , 故 ， 作 ， H为垂足，则 即 F到平面 SBC的距离为 由于 ,所以 平面 ， E到平面 的距离 d也为 设 AB与平面 所成的角为 ，则 考点： 1 线面垂直的知识 2 面面垂直的知识 3 直线与平面所成角的概念 4 线面转化的思想 5 提升探索，分类的能力 已知圆 ，设点 B,C是直线 上的两点，它们的横坐标分别是 ，点 P在线段 BC 上，过 P点作圆 M的切线 PA，切点为 A （ 1）若 ，求直线 的方程； （ 2）经过 三点的圆的圆心是 ，求线段 ( 为坐标原点）长的最小值
19、 答案：（ 1） 或 （ 2） 试题分析：（ 1）因为点 P在线段 BC 上，所以可假设点 P的坐标 又根据，所以可求出点 P的坐标，同时要检验一下使得点 P符合在线段 BC上 再通过假设直线的斜率利用点到直线的距离等于圆的半径即可求出直线的斜率，从而得到切线方程 （ 2）因为经过 三点的圆的圆心是 ，求线段 ( 为坐标原点）长 通过假设点 P的坐标即可表示线段 PM的中点 D的坐标（因为 ） 根据两点间的距离公式写出 的表达式 接着关键是根据的范围讨论 因为 的值受 的大小决定的 要分三种情况讨论即 i) ;ii) ,iii) 分别求出三种情况的最小值即为所求的结论 试题：（ 1）设 因为 ， ，所以解得 或 （舍去） 所以 由题意知切线的斜率存在，设斜率为 k 所以直线 的直线方程为 即直线 PA与圆 M相切， ，解得 或 直线 PA的方程是 或 6分 （ 2）设 与圆 M相切于点 A， 经过 三点的圆的圆心 D是线段 MP的中点 的坐标是 设 当 ，即 时， 当 ，即 时， 当 ，即 时 则 考点： 1 直线与圆的位置关系知识 2求圆的切线方程的知识 3 求直角三角形的外接圆的方程的方法 4 解决动区间的二次函数的最值问题的能力 5 分类的思想方法
