1、2013届云南师大附中高考适应性月考（七）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题中，真命题是 A B C D 答案： C 试题分析：当 时，有 成立，所以 是真命题，故选 C 考点：本题考查了全称（特称）命题的否定 点评：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 已知在半径为 2的球面上有 、 、 、 四点，若 ，则四面体 的体积的取值范围是 A B C D 答案： A 试题分析：设 AB， CD的中点分别为 M， N，则球心 O到 AB和 CD的距离是相等的，即 ，当 OM， ON在同一直线上，且 时，四面体 ABCD的体积最大， ，故选 A 考点：本题考查了空间的位置关系
2、及体积的求法 点评：此类问题实质上都是转化为线线垂直来解决，线面平行和线线平行之间的转化要熟练 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，若数列 的前 项和等于 ，则 A 7 B 6 C 5 D 4 答案： B 试题分析：由 得 ，即为 R上的减函数，所以 ，由 ，得 ，即 ，解得 或 ，又 ，所以 ，故 ，数列 即 ，其前 项和为 ，整理得，解得 ，故选 B 考点：本题考查了导数与数列的综合运用 点评：此类问题常常利用导数法研究函数的单调性，然后再利用数列的知识求解 过双曲线 的左焦点 作圆 的切线交双曲线右支于点 ，切点为 ，若 ，则双曲线的离心率为 A B C D 答案： C 试题分析：由 知
3、， 为线段 的中点，设双曲线的右焦点为 ，因为 ，由中位线定理得 ，由双曲线的定义得 ，又，则 ，得 ，即 ， ，故选C 考点：本题考查了双曲线离心率的求法 点评：紧扣定义和几何性质找到 的关系式 ,进而求出 .同时要注意灵活应用平面几何的知识 已知 是函数 的一条对称轴，且 的最大值为，则函数 A最大值是 4，最小值是 0 B最大值是 2，最小值是 -2 C最小值不可能是 -4 D最大值可能是 0 答案： D 试题分析：由 的一条对称轴是 ，得 ，即 ， ，所以 或 ，故选D 考点：本题考查了三角函数的性质 点评：熟练掌握三角函数的性质是解决此类问题的关键，属基础题 已知函数 ，则 且 ，有
4、 与的大小关系为 A B C D不能确定 答案： A 试题分析： ，所以，故选 A 考点：本题考查了重要的绝对值不等式的运用 点评：熟练掌握重要的绝对值不等式及其变形是解决此类问题的关键，属基础题 执行如图所示的程序框图，如果输入 ，那么输出的 值为 A 5 B 4 C 3 D 2 答案： B 试题分析：根据框图的流程图逐步进行计算，满足循环体结束的条件，输出的结果为 ，故选 B 考点：本题考查了程序框图的运用 点评：读懂程序结构，然后利用相关的知识去处理是解决程序框图问题的关键 若 ， ，则 A B C D 答案： D 试题分析：由 得 ，故选 D 考点：本题考查了二倍角公式及同角函数关系
5、点评：掌握三角函数的恒等变换公式是解决此类问题的关键，属基础题 若抛物线 的焦点到准线的距离为 4，则此抛物线的焦点坐标为 A B C 或 D 答案： C 试题分析：由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为 ，解得 ，所以当 时，焦点坐标为 ；当 时，焦点坐标为 ，故选 C 考点：本题考查了抛物线的定义 点评：熟练掌握抛物线的定义是解决此类问题的关键，属基础题 将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 A B C D 答案： C 试题分析：根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选 C 考点：本题考查了三视图的运用 点评：掌
6、握三视图的概念是解决此类问题的关键，属基础题 已知 、 为实数，复数 ，则 A B C D 答案： C 试题分析：由题意知 ，因此 ，故选 C 考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题 根据下表中的数据，可以判断函数 的一个零点所在区间为，则 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A 2 B 1 C 0 D -1 答案： B 试题分析：由表可知 ，故 ，故选 B 考点：本题考查了零点存在性定理 点评：熟练掌握零点的概念及零点存在性定理是解决此类问题的关键，属基础题 填空题 若定义在 上的函数 满足 ，其
7、中 ，且 ，则 答案： 试题分析：在已知等式中，令 得 ，又令 得 ，再令得 ，即 ，亦即 是以 为公差的等差数列，且首项也是 ，所以 ，从而 考点：本题综合考查了函数与数列的通项 点评：利用赋值法找出抽象函数的规律，然后利用数列的知识求出即可 在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以，又 ，即 ， 故 当且仅当 时，上式等号成立，故面积的最大值为 6 考点：本题考查了正余弦定理及三角形的面积 点评：基本不等式是求函数最值的常用方法，应用时注意等号成立的条件，属基础题 观察下列各式： ， ， ， ， ， ，则 答案： 试题分析：从第 3项起，每一项都是其前
8、两项的和，从而递推出 考点：本题考查了数列的通项 点评：提高归纳推理能力是解决此类问题的关键，应用时注意式子或者数字的规律性，属基础题 对于三次函数 ，给出定义：设 是函数的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点为函数 的 “拐点 ”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点 ”应对对称中心根据这一发现，则函数 的对称中心为 答案： 试题分析：由 ，得 ，所以此函数的对称中心为 考点：本题考查了函数的性质 点评：对于函数新概念问题，要根据函数的新定义及所学公式综合求解 解答题 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），若以直
9、角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （其中 为常数） （ 1）若曲线 与曲线 只有一个公共点，求 的取值范围； （ 2）当 时，求曲线 上的点与曲线 上的点的最小距离 答案：（ ） 或 ，（ ） 试题分析：（ ）曲线 M可化为 ， ， 曲线 N可化为 ， 若曲线 M， N只有一个公共点， 则当直线 N过点 时满足要求，此时 ， 并且向左下方平行运动直到过点 之前总是保持只有一个公共点， 当直线 N过点 时，此时 ，所以 满足要求； 再接着从过点 开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点， 相切时仍然只有一个公共点，联立 得 ， ，求得 ， 综上可求
10、得 t的取值范围是 或 （ 5分） （ ）当 时，直线 N： ，设 M上的点为 ， 则曲线 M上的点到直线 N的距离为 ， 当 时取等号，满足 ，所以所求的最小距离为 （ 10分） 考点：本题考查了极坐标、参数方程与直角方程的互化，直线与抛物线的位置关系 点评：近几年的高考试题对选修 4-4的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题，而且通常与直线和圆（圆锥曲线）联系 如图，已知 为锐角 的内心，且 ，点 为内切圆 与边的切点，过点 作直线 的垂线，垂足为 （ 1）求证： ； （ 2）求 的值 答案： (1)利用圆的性质证明，（ 2） 试题分析：（ ） 圆 与边 相切于点 ， （ 2分） 又 ，
11、 ， ， ， ， 四点共圆， （ 4分） （ 5分） （ ） 为锐角 的内心， ， ， （ 6分） 在 中， （ 8分） ， 在 中， ， （ 10分） 考点：本题考查了共圆的判断及三角形的性质 点评：掌握常见的四点共圆的方法是解决此类问题的关键，另外要灵活运用几何中的边角关系求解 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，点 、分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知 是椭圆的右焦点，以 为直径的圆记为 ，过点 引圆 的切线，求此切线的方程； （ 3）设 为直线 上的点， 是圆 上的任意一点，是否存在定点，使得 ？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由 答案：
12、（ ） （ ） （ ）存在定点 试题分析：（ ）依题意， ， 所以椭圆的方程为 ， 代入 D点坐标 ，解得 ，由此得 ， 所以椭圆的方程为 （ 4分） （ ）由（ ）知 ，故圆 的方程为 ， 则由 知，点 在圆 上， 因为 ，所以切线的斜率为 ， 故所求切线的方程为 ， 即 （ 8分） （ ）设 ，假设存在点 满足题意， 则 ， 点 在圆 C： 上， ， 化简得 ， 因为该式对任意的 恒成立，则 解得 故存在定点 对于直线 上的点 及圆 上的任意一点使得 成立 （ 12分） 考点：本题考查了椭圆方程及直线与圆的位置关系 点评：从近几年课标地区的高考命题来看，几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位
13、置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势 .近几年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力，试题风格每年都有所创新，但总体稳定 . 设 为常数，已知函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函 数 （ 1）设 为函数 的图像上任意一点，求点 到直线 的距离的最小值； （ 2）若对任意的 且 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ ） （ ） 试题分
14、析：（ ） 在区间 上是增函数， 当 时， 恒成立，即 恒成立，所以 又 在区间 上是减函数， 故当 时， 恒成立，即 恒成立，所以 综上， 由 ，得 ， 令 ，则 ，而 ， 所以 的图象上 处的切线与直线 平行， 所以所求距离的最小值为 （ 6分） （ ）因为 ，则 ， 因为当 时， 恒成立，所以 ， 因为当 时， ，所以 上是减函数， 从而 ， 所以当 时， ，即 恒成立，所以 因为 在 上是减函数，所以 ， 从而 ，即 ， 故实数 的取值范围是 （ 12分） 考点：本题考查了导数运用 点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复
15、合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用 .把数学运算的 “力量 ”与 数学思维的 “技巧 ”完美结合 如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，点 在棱上 （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）当 且 为 的中点时，求 与平面 所成角的正弦值 答案：（ ）利用线面垂直证明面面垂直；（ ） 试题分析：（ ） 四边形 ABCD是正方形， AC BD， PD 底面 ABCD， PD AC， AC 平面 PDB， 又 ， 平面 AEC
16、 平面 PDB （ 6分） （ ）方法一：如图 1，设 ACBD=O，连接 OE， 由（ ）知 AC 平面 PDB于 O， AEO为 AE与平面 PDB所成的角， O， E分别为 DB、 PB的中点， OE PD，且 OE= PD， 又 PD 底面 ABCD， OE 底面 ABCD， OE AO， 在 Rt AOE中，由 PD= AB， 设 ，则 ， ， ，于是 ， 即 AE与平面 PDB所成角的正弦值为 （ 12分） 方法二：如图 2，以 D为原点建立空间直角坐标系 D xyz， 设 ， AE与平面 PDB所成的角为 ， 则 ， ， ， ， 于是 ，所以 ， 且平面 的法向量 ，所以 ， 即
17、 AE与平面 PDB所成角的正弦值为 （ 12分） 考点：本题考查了空间中的线面关系及空间角的求法 点评：直线和平面成角的重点是研究斜线和平面成角，常规求解是采用 “作、证、算 ”，但角不易作出时，可利用构成三条线段的本质特征求解，即分别求斜线段、射影线段、点 A到平面的距离求之 一家化妆品公司于今年三八节期间在某社区举行了为期三天的 “健康使用化妆品知识讲座 ”每位社区居民可以在这三天中的任意一天参加任何一个讨论，也可以放弃任何一个讲座（规定：各个讲座达到预先设定的人数时称为满座）统计数据表明，各个讲座各天满座的概率如下表： 洗发水讲座 洗面奶讲座 护肤霜讲 座 活颜营养讲座 面膜使用讲座
18、3月 8日 3月 9日 3月 10日 （ 1）求面膜使用讲座三天都不满座的概率； （ 2）设 3 月 9 日各个讲座满座的数目为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 答案：（ ） （ ） 的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 P 试题分析：（ ）设面膜使用讲座三天都不满座为事件 A， 则 （ 3分） （ ） 的可能值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， ； ； ； ； ； （ 8分） 列表如下： 0 1 2 3 4 5 P （ 12分） 考点：本题考查了随机变量的概率、分布列及期望 点评：求解离散型随机变量 的分布列的关键是要搞清 取每一个值对应的随机事件进一步利用排列组合知识求出 取每个值
19、的概率，对于数学期望问题，先从 的分布列入手，代入期望公式即可求得 . 已知 中，角 、 、 成等差数列，且 （ 1）求角 、 、 ； （ 2）设数列 满足 ，前 项为和 ，若 ，求 的值 答案：（ ） （ ） 或 试题分析：（ ）由已知得 ，又 ，所以 又由 ，得 ，所以 ，所以 ， 所以 为直角三角形， （ 6分） （ ） = 所以 ， 由 ，得 ， 所以 ，所以 或 （ 12分） 考点：本题考查了正余弦定理及数列的求和 点评：解三角形的关键要熟练运用正余弦定理及其变形，对于数列求和要根据其通项特征选择相应的方法 已知函数 （ 1）若 ， ，求证： ； （ 2）若实数 满足 试求 的取值范围 答案：（ 1）利用作差法证明，（ 2） 试题分析：（ ）由 ， （ 5分） （ ）由（ ）可知 在 上为增函数， ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 综上所述，实数 的取值范围为 考点：本题考查了不等式的证明奇绝对值不等式的解法 点评：解含参的绝对值不等式时，常常利用分类讨论法去掉绝对值，将不等式转化为一般不等式求解
