1、2013届宁夏银川一中高三第六次考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 等差数列 及等比数列 中， 则当 时有（ ） A B C D 答案： D 试题分析：特取 。因为 所以当 n=3时， 所以 ，所以排除 A， B， C，故选 D。 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式。 点评：简单题，选择题解答 “不择手段 ”，利用 “构造 ”符合条件的数列解决问题，见其灵活性。 设 是定义在 上以 2为周期的偶函数，已知 ，则函数 在 上 ( ) A是增函数且 B是增函数且 C是减函数且 D是减函数且 答案： D 试题分析：设 x （ -1， 0），则 -x （ 0， 1），故 f（ -x）
2、 = 又 f（ x）是定义在 R上以 2为周期的偶函数，故 f（ x） = 再令 1 x 2，则 -1 x-2 0， f（ x-2） = ， f（ x） =， 由 1 x 2 可得 0 x-1 1， 故函数 f（ x）在（ 1， 2）上是减函数，且 f（ x） 0， 故选 D 考点：本题主要考查函数的单调性，奇偶性和周期性，对数函数的性质。 点评：典型题，利用奇偶性求函数的式，是常用处理方法，求出函数 f（ x）在（ 1， 2）上 的式，是解题的关键。 在锐角 中，若 ，则 的范围（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由正弦定理得 =2cosB， ABC 是锐角三角形， 三个内角均为锐
3、角， 即有 0 B ， 0 C=2B ， 0 -A-B=-3B ， 解得 B ，余弦函数在此范围内是减函数故 cosB ，故选 A。 考点：本题主要考查正弦定理的应用，余弦函数的性质。 点评：典型题，本题综合考查正弦定理的应用，余弦函数的性质，易因为忽视角的范围，而出错。 设 是等比数列 的前 n项和， ，则 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ， = 2， =，故选 B。 考点：本题主要考查等比数列的前 n项和公式。 点评：简单题，思路明确，对计算能力有一定要求。 设 为两条直线， 为两个平面，则下列结论成立的是 ( ) A若 且 ，则 B若 且 ，则 C若 ，
4、 则 D若 则 答案： D 试题分析：若 且 ，则 或则 相交，所以 A不正确； 结合锐角的二面角，一个面内的直线垂直于棱，可知 B不正确； 若 ， 则 或异面，所以 C不正确； 由垂直于同意一平面的直线平行，知 d正确，故选 D. 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：简单题，熟记定理、法则是基础，灵活借助于模型是技巧。 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( ) 答案： D 试题分析：根据三视图的投影规则，两个面上 “棱 ”投影在正方形边上，所以该几何体的左视图为 D。故选 D。 考点：本题主要考查几何体的特征，三视图。 点评：简单题，三
5、视图的投影规则是：主视、俯视、长对正，主视、左视 、高平齐，俯视、左视、宽相等。 已知双曲线 的中心 为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 两点，且 的中点为 ，则 的方程为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由已知条件易得直线 l的斜率为 k=kFN=1， 设双曲线方程为 ， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则有 ， 两式相减并结合 x1+x2=-24， y1+y2=-30得， ，从而 =1 即 4b2=5a2，又 a2+b2=9，解得 a2=4， b2=5，故选 B 考点：本题主要考查双曲线的标准方程、几何性质。 点评：中档题，涉及弦中点问题，往往可以利
6、用 “点差法 ”，得到斜率的表达式。 已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点， ，则线段 的中点 到 轴的距离为 ( ) A B 1 CD 答案： C 试题分析： F是抛物线 y2=x的焦点 F（ ， 0）准线方程 x=- 。 设 A（ x1， y1） B（ x2， y2），则由 |AF|+|BF|=x1+ +x2+ =3， 解得 x1+x2= ， 线段 AB的中点横坐标为 ， 线段 AB的中点到 y轴的距离为 ， 故选 C。 考点：本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。 点评：中档题，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出 A， B的中点横坐标，求
7、出线段 AB的中点到 y轴的距离。 若函数 ， ，则函数的极值点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，令 =0，结合函数 图象的交点有 3个，故选 D。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的极值。 点评：简单题，极值点的个数即 =0解的个数。 设 若 ，则 的值为 ( ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 所以 时，令 t= ，则 ，即 故选 A 考点：本题主要考查三角函数同角公式， 的和积互化。 点评：典型题，涉及 ， 的相互转化问题，一般通过 “平方 ”实现。 若直线 和直线 关于直线 对称，那么直线 恒过定点 ( ) A（ 2，
8、 0） B（ 1， -1） C（ 1， 1） D（ -2， 0） 答案： C 试题分析：直线 ，恒过定点（ 0， 2）， 设（ 0， 2）关于直线 的对称点为（ a， b）， 所以 ，解得 a=1， b=1， 所以直线 恒过定点（ 1， 1）故选 C 考点：本题考查主要直线关于直线对称问题的解法。 点评：中档题，注意对称直线恒过定点，就是对称前 直线过定点关于对称轴的对称点的坐标，注意应用垂直、平分建立方程组，此为一般的解对称问题的方法 设点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，则 的斜率的取值范围是（ ） A 或 B C D 或 答案： A 试题分析：如图所示：由题意得，所求直线 l的斜率 k
9、满足 kkPB 或 kkPA， 即 k ，或 k ， ，或 k-4， 即直线的斜率的取值范围是 或 ，故选 A 考点：本题主要考查直线的斜率公式的应用。 点评：典型题，应用数形结合思想，形象直观，通过观察不同位置直线的斜率大小变化情况，使问题得解。 填空题 已知直线 与圆 交于不同的两点 、 ， 是坐标原点， ，那么实数 的取值范围是 _ 答案：（ -2， - ， 2） 试题分析：设 AB线段的中点为 C，则 ， 故 ，即 | =|AC|， AOC45， AOB90 当 AOB=90 时， |AB|= ,R=2，圆心到直线的距离 |OC|=1， 故当 AOB90时，由题意可得 |OC|1，即
10、1， 解得 2 |m| ，解得实数 m的取值范围是（ -2， - ， 2） . 考点：本题主要考查平面向量的线性运算，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法。 点评：中档题，本题综合考查平面向量的线性运算，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法。 其中得到 1 是关键。 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3，体积为 6，则这个球的表面积是 _ 答案： 试题分析：正四棱锥的高为 3，体积为 6，易知底面面积为 6，边长为 正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高 PO1上， 记为 O， PO=AO=R， PO1=3， OO1=3-R， 在 Rt
11、 AO1O 中， AO1= ， AC= ，由勾股定理 R2=3+（ 3-R） 2得 R=2， 球的表面积 S=16。 考点：本题主要考查正四棱锥的几何特征，球的表面面积计算。 点评：中档题，关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径 设命题 ，命题 .若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析： 解集为 ； 的解集为a,a+1，为使 是 的必要不充分条件，须 是 a,a+1的子集，所以 的取值范围是 。 考点：本题主要考查充要条件的概念，一元二次不等式解法。 点评：中档题，充要条件的判断，有三种方法：定义法、等价关系法、集合关系法。 将函数 的图象向
12、左平移 个单位后，得函数的图象，则 等于 . 答案： 试题分析： 的图象向左平移 个单位后得到 ，根据诱导公式知当 = 时， 的图象。故答案：为 。 考点：本题主要考查正弦型函数图象和性质，图象的变换。 点评：简单题，注意角 的范围，利用诱导公式加以转化。 解答题 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数 ) 是上的动点， 点满足 ， 点的轨迹为曲线 . (1)求 的方程； (2)在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为 ，与 的异于极点的交点为 ，求 . 答案： (1) (为参数 ) ； (2) |AB| |2-1| 2 . 试题分析： (1)设 P
13、(x， y)，则由条件知 M ， 由于 M点在 C1上，所以 从而 C2的参数方程为 (为参数 ) 5分 (2)曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin. 射线 与 C1的交点 A的极径为 1 4sin ， 射线 与 C2的交点 B的极径为 2 8sin . 所以 |AB| |2-1| 2 . 10分 考点：本题主要考查平面向量的线性运算，极坐标的应用，参数方程的求法，直线与圆的位置关系。 点评：中档题，确定参数方程的过程中， 利用了 “代入法 ”。利用极坐标方程，确定线段的长度，令人耳目一新。 如图，直线 过圆心 ，交 于 ，直线 交 于 (不与 重合 )，直线
14、 与 相切于 ,交 于 ,且与 垂直，垂足为 ,连结 . 求证： (1) ; (2) . 答案： (1)利用弦切角 BAC= CAG.(2)利用三角形相似。 AC2=AE AF. 试题分析： (1)连结 BC, AB是直径， ACB=90, ACB= AGC=90. GC 切 O 于 C, GCA= ABC. BAC= CAG. 5分 (2)连结 CF, EC 切 O 于 C, ACE= AFC. 又 BAC= CAG, ACF AEC. , AC2=AE AF. 10分 考点：本题主要考查弦切角定理，圆的性质，三角形相似。 点评：简单题，利用弦切角定理及三角形相似知识，证明角相等、确定线段长
15、度的关系，是常见题目。 设函数 (I)讨论 的单 调性； （ II）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，问：是否存在 ，使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 答案：（ I）（ 1）当 时 ， 故 在 上单调递增 ； （ 2）当 时 ， 的两根都小于 ，在 上， ， 故 在 上单调递增； （ 3） 分别在 上单调递增，在 上单调递减 （ II）不存在 ，使得 试题分析：（ I） 的定义域为 1分 令 ，其判别式 2分 （ 1）当 时 ， 故 在 上单调递增 3分 （ 2）当 时 ， 的两根都小于 ，在 上， ， 故 在 上单调递增 4分 （ 3）当 时 ， 的两根为 ，
16、当 时， ；当 时， ；当 时， ，故 分别在 上单调递增，在 上单调递减 6分 （ II）由（ I）知， 因为 ， 所以 7分 又由 (I)知， 于是 8分 若存在 ，使得 则 即 9分 亦即 0分 再由（ I）知，函数 在 上单调递增， 11分 而 ，所以 这与 式矛盾 故不存在 ，使得 12分 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值，存在性问题探讨。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间，得到直线斜率表达式。存在性问题，往往要假设存在，利用已知条件探求。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
17、 如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直 ， ， ， （ 1）求证： ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值； 答案：（ 1）取 中点 ，连结 ， 证得 ，由四边形为直角梯形，得到 ，证得 平面 推出 （ 2）直线 与平面 所成角的正弦值为 试题分析：（ 1）证明：取 中点 ，连结 ， 因为 ，所以 2分 因为四边形 为直角梯形， ， ， 所以四边形 为正方形，所以 4分 所以 平面 所以 6分 （ 2）解法 1：因为平面 平面 ，且 所以 BC 平面 8分 则 即为直线 与平面 所成的角 9分 设 BC=a，则 AB=2a， ，所以 则直角三角形 CBE中， 。 11分 即
18、直线 与平面 所成角的正弦值为 。 12分 解法 2：因为平面 平面 ，且 ， 所以 平面 ，所以 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ， 则 所以 ，平面 的一个法向量为 设直线 与平面 所成的角为 ， 所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 （参照解法 1给步骤分） 12分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离及体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过
19、程。本题给出了两种解法，便于比较借鉴。 是双曲线 上一点， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，直线 ， 的斜率之积为 . (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线 的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足 ，求 的值 答案： (1) e . (2) 0或 -4. 试题分析： (1)点 P(x0， y0)(x0a)在双曲线 1上，有 1， 1分 由题意又有 ， 2分 可得 a2 5b2， c2 a2 b2 6b2，则 e . 4分 (2)联立 ，得 4x2-10cx 35b2 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 则 6分 设 ， ，即 又
20、C为双曲线上一点，即 -5 5b2，有 (x1 x2)2-5(y1 y2)2 5b2 。 7分 化简得： 2( -5 ) ( -5 ) 2(x1x2-5y1y2) 5b2 。 9分 又 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上，所以 -5 5b2， -5 5b2 由 式又有 x1x2-5y1y2 x1x2-5(x1-c)(x2-c) -4x1x2 5c(x1 x2)-5c2 10b2 得 2 4 0，解出 0或 -4. 12分 考点：本题主要考查双曲线标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，平面向量的线性运算。 点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运
21、用韦达定理。本题利用双曲线的标准方程，确定得到离心率。本题（ II）在利用韦达定理的基础上，又利于点在曲线上得到 的方程，使问题得解。 设各项均为正数的等比数列 中， ， .设 . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ， ，求证： ； 答案： (1) bn n. (2)“错位相减法 ”求和， “放缩法 ”证明。 试题分析： (1)设数列 an的公比为 q(q 0)， 由题意有 ， 2分 a1 q 2， 4分 an 2n， bn n. 6分 (2) c1 1 3， cn 1-cn ， 8分 当 n2时， cn (cn-cn-1) (cn-1-cn-2) (c2-c1) c1 1 ， cn .
22、10分 相减整理得： cn 1 1 - 3- 3， 故 cn 3. 12分 考点：本题主要考查等比数列的通项公式、求和公式， “错位相减法 ”， “放缩法 ”。 点评：中档题，本题综合考查等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。 “分组求和法 ”、 “错位相消法 ”、 “裂项相消法 ”是高考常常考到数列求和方法。 在 中， 的对边分别为 ，且 (1）求 的值； (2）若 ， ，求 和 答案：（ 1） ； (2） 试题分析：（ 1）由正弦定理得 ， ， 又 ， ， 2 分 即 ， ， 4 分 ,又 ， 6分 (2）由 得 ，又 ， 8分 由 ， 可得 ， 10分 ，
23、即 ， 12分 考点：本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。 点评：典型题，近些年来，将平面向量、三角函数、三角形问题等结合考查，已成较固定模式。研究三角函数问题时，往往要利用三角公式先行 “化一 ”。本题（ 2）通过构建 a， c的方程组，求得 a,c。 设函数 ,其中 . （ ）当 时，求不等式 的解集； （ ）若不等式 的解集为 ，求 的值 . 答案：（ ） . ( ) 。 试题分析：（ ）当 时， 可化为 .由此可得 或 . 故不等式 的解集为 . 5分 ( ) 由 得 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为 ，所以不等式组的解集为 由题设可得 ，故 . 10分 考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，简单不等式组的解法。 点评：中档题，利用转化思想，将含绝对值不等式转化成不等式组，是解答这类题目的一般方法，往往涉及分类讨论思想的应用。
