1、2013届山东师大附中高三 12月（第三次）模拟检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若全集为实数集 ，集合 = =( ) A B C D 答案： D 试题分析： 求出集合 A中对数不等式的解集，确定出集合 A，根据全集为 R，找出不属于集合 A的部分，即可得到集合 A的补集，由于全集为实数集 ，集合 =故可知答案：为 D. 考点：集合的补集运算 点评：解决的关键是对于对数不等式的准确求解，注意利用单调性，属于基础题。 如图，函数 的图象为折线 ，设 ，则函数的图象为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数 y=f（ x）的图象为折线 ABC，其为偶函数，所研究 x0时 g（ x
2、）的图象即可，首先根据图象求出 x0时 f（ x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出 g（ x）的式再进行判断。解：如图：函数y=f（ x）的图象为折线 ABC，函数 f（ x）为偶函数，我们可以研究 x0的情况即可，若 x0，可得 B（ 0， 1）， C（ 1， -1），这直线 BC 的方程为： lBC： y=-2x+1， x 0， 1，其中 -1f（ x） 1；若 x 0，可得 lAB： y=2x+1， f（ x） =我们讨论 x0的情况：如果 0x ，解得 0f（ x） 1，此时 g（ x） =ff（ x） =-2（ -2x+1） =4x-2；若 x1，解得 -1f（
3、 x） 0，此时 g（ x） =ff（ x） =2（ -2x+1） =-4x+2； x 0， 1时， g（ x） = ,故选 A 考点：分段函数 点评：此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的式求法，是一道好题 设 下列关系式成立的是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于,结合三角函数的定义和三角函数知道大小关系可知， 1表示的大于 45度的角，那么正弦值大于余弦值，因此可知 ，选 A. 考点：三角函数 点评：解决该试题的关键是根据微积分基本定理得到原函数，求解定积分的值，属于基础题。 设函数 有三个零点 则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： C 试
4、题分析： 利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据 f （ x）的三个零点为 x1， x2， x3，且 x1 x2 x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论 . 解： 函数 f （ x） =x3-4x+a， 0 a 2， f（ x） =3x2-4令 f（ x） =0，得 x=, 当 x - 时， f（ x） 0；在（ - , ）上， f（ x） 0； ,在（ ， +）上， f（ x） 0再由 f （ x）的三个零点为 x1， x2， x3，且 x1 x2 x3，得到 x1,- , ,根据 f（ 0） =a 0，且 ,故有故选 C. 考点：函数的零点 点评：本试题考查了函数零点的
5、定义，函数零点与方程根的我呢提，利用导数求解函数的极值，属于基础题。 设函数 的最小正周期为 ，且 ，则 ( ) A 在 单调递减 B 在 单调递减 C 在 单调递增 D 在 单调递增 答案： A 试题分析： 根据题意，由于函数 的最小正周期为 ，故可知 ,又因为 ，则可知函数为偶函数，因此可知,因此可知 ,那么可知在单调递减，选 A. 考点：三角函数的单调性 点评：解决该试题的关键是利用三角函数的周期公式和函数的偶函数性质得到参数的值，进而分析其单调区间，属于基础题。 在 的对边分别为 ，若 成等差数列则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： 利用已知条件以及正弦定理求出 B的正弦
6、值，然后求角 B的大小解： acosC， bcosB， ccosA 成等差数列， acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理知：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC，即 sin（ A+C） =2sinBcosB因为 a+b+c=，所以 sin（ A+C） =sinB0，所以 cosB= B （ 0， ） B= 故选 C 考点：解三角形 点评：正弦定理的运用，以及边角的互化是解题的关键，属于基础题。 若实数 满足不等式组 则 的最大值是 ( ) A 11 B 23 C 26 D 30 答案： D 试题分析：根据题意，由于实数 满足不等式组 ，那么可知其不等式表示的区域为三
7、角形区域，且过点（ 10， 10）时，目标函数取得最大值，且为 20+10=30，故答案：为 D. 考点：线性规划的最优解 点评：解决该试题的关键是利用目标函数的平移法来得到最值，属于基础题。 函数 （ ） A是偶函数，且在 上是减函数 B是偶函数，且在 上是增函数 C是奇函数，且在 上是减函数 D是奇函数，且在 上是增函数 答案： D 试题分析：根据所学的函数 y=x,y=sinx，可知都是定义域内的奇函数，因此可知 根据奇函数的性质可知，奇函数加上奇函数，还是奇函数，排除 A,B,然后求解导数可知 ，可知导数大于等于零，因此说明原函数单调递增，故选 D. 考点：函数的奇偶性 点评：判定函数
8、的奇偶性可以运用定义法或者图想法，或者利用性质法来得到，属于基础题。 已知 为等比数列， ， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为在等比数列中，项数和相等，则对应项的积相同，那么由于 为等比数列， ， ，即可知，或者，那么可知公比为 ,那么解得结论为两种情况下的都是为 -7，故选 D. 考点：等比数列 点评：解决该试题的关键是利用等比数列的等比中项性质来化简求解得到其中的两项值，进 而求解，属于基础题。 非零向量 使得 成立的一个充分非必要条件是（ ） A B CD 答案： B 试题分析：根据题意，等式表示的为差向量的模等于两个非零向量的模的差，那么可知只有共线且方向的时候
9、能成立，因此可知其充要条件是共线且方向。那么它成立的一个充分不必要条件是 ，其余的都是非充分非必要条件，故选 B. 考点：向量的加法的几何意义 点评：熟练的求解出非零向量 使得 成立的一个充要条件是关键，属于基础题 等差数列 的前 项的和为 ，且 ，则 （ ） A 2012 B 2012 C 2011 D 2011 答案： D 试题分析：根据题意可知，由于等差数列 的前 项的和为 ，且则说明 同时结合 ,可知其首项为 2011，故选 D. 考点：等差数列 点评：等差数列的通项公式和前 n项和的关系式是解决该试题的关键，属于基础题。 若 ， A B C D 答案： A 试题分析：由于根据题意，可
10、知 ， 故选 A. 考点：同角关系的运用 点评：根据题意中角的范围，结合正切值和同角关系式来求解其正弦值，也可以采用定义法得到结论。 填空题 下列命题中，正确的是 （ 1）平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 （ 2）已知 ，其中 ，则 （ 3） 是 所在平面上一定点，动点 P 满足： ，则直线 一定通过 的内心 答案： 试题分析：对于（ 1）平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则结合 成立。 对于（ 2）根据向量的数量积为零说明是垂直关系，因此成立。 对于（ 3）由于 是 所在平面上一定点，动点 P满足：， ，说明点 P在 AB,AC的单位向量构成的平行四边形的对角线上，即为角平分线，因此过内
11、心，成立。故答案：为 考点：向量的运用 点评：解决该试题的关键是对于向量的几何意义的理解和运用，同时结合向量的数量积来求解模，属于基础题。 是定义在 上的偶函数且在 上递增 ,不等式的解集为 答案： 试题分析：利用函数的奇偶性可把不等式转化到区间 0， +）上，再由单调性可去掉不等式中的符号 “f”，从而化为具体不等式解决。解：因为 f（ x）为 R上的偶函数，所以 等价于 ，因为又 f（ x）在 0， +）上递增，所以 ,故答案：为 考点：函数奇偶性、单调性 点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解，解决本题的关键是利用函数性质化抽象不等式为具体不等式处理 在 中， 依次
12、成等比数列，则 B的取值范围是 答案： 试题分析：由 sinA， sinB及 sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简得到关于 a， b及 c的关系式，再利用余弦定理，基本不等式，即可确定 B的取值范围。解： sinA， sinB， sinC成等比数列， sin2B=sinA sinC，根据正弦定理化简得： b2=ac， cosB=, B （ 0， ） B (0， ),故答案：为 (0， ) 考点：等比数列，余弦定理 点评：本题考查等比数列的性质，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 不等式 的解集为 答案：（ - ， 1） 试题分析：解：由
13、2x+1=0，得 x=- ；由 x-1=0，得 x=1 当 x1时，原不等式转化为： 2x+1+x-1=3x 2，解得 x ，无解； 当 -x 1时，原不等式转化为： -2x-1+x-1=-x-2 2，解得 x -4， - x 1， 当 x - 时，原不等式转化为： -2x-1+1-x=-3x 2，解得 x - ， x - 综上所述，不等式|2x+1|+|x-1| 2的解集为 - x 1故答案：为：（ - ， 1） 考点：绝对值不等式的解集 点评：解决的关键是对于含有两个绝对值不等式的解集的分类讨论思想的运用，属于基础题。 解答题 (本题满分 12分 )设函数 ， （ ）求 的周期和最大值 （
14、 ）求 的单调递增区间 答案：（ 1） 的周期 （ 2） 试题分析：解：（ 1） ， 2分 4分 6分 的周期 7分 8分 （ 2）由 得 所以 10分 的增区间为 12分 考点：三角函数的性质 点评：解决的关键是将函数式化为单一函数的形式，然后结合三角函数的性质来求解得到结论，属于基础题。 (本题满分 12分 ) 在 中， （ ）若三边长构成公差为 4的等差数列，求 的面积 （ ）已知 是 的中线，若 ，求 的最小值 答案：（ 1） （ 2） 1 试题分析：解：（ 1） ，设三边为 ， 1分 由余弦定理： 2分 即 3分 所以 4分 6分 （ 2） 7分 8分 因为 ，所以 10分 11分
15、所以 12分 考点：解三角形 点评：解决该试题的关键是结合向量的数量积公式，以及正弦面积公式、余弦定理来得到求解，属于基础题。 (本题满分 12分 )数列 的前 项的和为 ,对于任意的自然数 ，（ ）求证：数列 是等差数列，并求通项公式 （ ）设 ，求和 答案：（ 1）根据前 n项和与通项公式的关系，结合定义法证明，并求解。 （ 2）而第二问关键是结合其通项公式，选择错位相减法来求和。 试题分析：解 ：（ 1）令 1分 （ 2） (1) 3分 是等差数列 5分 6分 （ 2） 8分 10分 所以 12分 考点：等差数列，以及数列求和 点评：解决的关键是利用等差数列的通项公式和错位相减法来准确的
16、求解运算，属于基础题。 (本题满分 12分 )已知 是函数 的一个极值点 （ ）求 的值； （ ）当 ， 时，证明： 答案：（ 1） （ 2）要证明差的绝对值小于等于 e，只要证明差介于 -e和 e之间即可，求解函数的 最值的差可知。 试题分析：（ ）解： ， 2分 由已知得 ，解得 当 时， ，在 处取得极小值 所以 . 4分 （ ）证明：由（ ）知， ， . 当 时， ， 在区间 单调递减； 当 时， ， 在区间 单调递增 . 所以在区间 上， 的最小值为 . 8分 又 ， ， 所以在区间 上， 的最大值为 . 10分 对于 ，有 所以 . 12分 考点：函数的最值 点评：解决的关键是利用
17、导数判定单调性，并能结合函数的最值来证明不等式，属于中档题。 （本小题满分 12分）已知 是等比数列，公比 ，前 项和为（ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 的前 项和为 ，求证 答案：（ 1） ， （ 2）根据裂项求和法得到和式，然后结合放缩法得到范围的求解。 试题分析： 解 ： 4分 5分 6分 （ 2）设 8分 = 10分 因为 ，所以 12分 考点：数列的通项公式和求和 点评：都不是和等差数列的通项公式和前 n项和公式是解决该试题的关键，属于基础题。 (本题满分 14分 )已知函数 （ ）求 的单调区间； （ ）如果当 且 时， 恒成立，求实数 的范围 . 答案： (1) 当 时，
18、 在 上是增函数 当 时，所以 在 上是增函数 当 时， 所以 的单调递增区间 和 ； 的单调递减区间 (2) 试题分析：（ 1）定义域为 2分 设 当 时，对称轴 ， ，所以 在 上是增函数 4分 当 时， ，所以 在 上是增函数 6分 当 时，令 得 令 解得 ；令 解得 所以 的单调递增区间 和 ； 的单调递减区间 8分 （ 2） 可化为 （ ） 设 ，由（ 1）知： 当 时， 在 上是增函数 若 时， ；所以 若 时， 。所以 所以，当 时， 式成立 12分 当 时， 在 是减函数，所以 式不成立 综上，实数 的取值范围是 14分 解法二 ： 可化为 设 令 , 所以 在 由洛必达法则 所以 考点：导数的运用 点评：解决该试题的关键是利用导数的符号判定函数单调性，同时能结合函数的单调性来求解函数的最值，解决恒成立，属于基础题。
