1、2013届江西省江西师大附中、临川一中高三 12月联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集为 R，集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为集合 ， ，所以 。 考点：集合的运算；分式不等式的解法；含绝对值不等式的解法。 点评：本题以集合的运算为背景，来考查不等式的解法，属于基础题型。 已知 为常数，若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为不等式 的解集为 ，所以的根为 -1， ， ， 1。又因为方程 和方程根分别互为倒数，所以方程 的根为 -1， -3,2,1，有穿根法知不等式 的解集为 。 考点：分式不等式
2、的解法；高次不等式的解法。 点评：解分式不等式的主要步骤是：移项 -通分 -分式化整式。此题的关键是找出方程 和方程 根之间的关系。 已知函数 ，若数列 满足 ，且对任意正整数 都有 成立，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为对任意正整数 都有 成立， 所以 为单调递增函数，所以。 考点：函数的单调性；指数函数的单调性；一次函数的 单调性。 点评：此题是易错题，错误的主要原因是：忘记限制条件 。我们在做题时一定要认真、仔细、考虑周全。 已知偶函数 ( 的部分图像如图所示若 EFG为等腰直角三角形 ,且 ,则 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分
3、析：因为 ，所以 T=2， A= ，所以 。又是偶函数，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 。 考点：函数 的图像及性质。 点评：本题考查函数的式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力若函数 为偶函数，则 ；若函数为奇函数，则 。 已知直线 ，平面 ，且 ，给出四个命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 l m； 若 l m，则其中真命题的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 试题分析： 因为 ， ，所以 ，又 则 ，所以 正确； 若 ，则 ，错误， 与 相交时也可以； 若 ，则 l m，错误，也有可能 l与 m可能相交，可能平行，可能异面； 因为
4、， l m，所以 ，又 ，所以 ， 考点：空间中点、线、面的位置关系；线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理；面面垂直的判定定理。 点评：本题直接考查性质定理和判定定理，熟练掌握一些性质定理和判定定理是解答本题的关键。属于基础题型。 在等差数列 中，首项 公差 ，若 ，则( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 所以 。 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式。 点评：本题直接考查等差数列的通项公式和性质，我们要熟记等差数列的通项公式。属于基础题型。 已知实数 满足 的最小值为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案： A 试题分析：画出线性约束条件 的可行域，由可行域知目标
5、函数 z=x+y的最小值为 2. 考点：简单的线性规划问题。 点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数 转化为斜截式的形式，即 的形式，但要注意 的正负。当 为正时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最大时对应的点；当 为负时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最小时对应的点。 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为抛物线 的焦点为（ 1,0），所以 因为双曲线的离心率等于 ，所以 联立解得： ，所以双曲线的方程为 。 考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质。 点评：注意双曲线
6、中 的关系式与椭圆中 的关系式的不同。属于基础题型。 若 ， ， ，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ，所以 。 考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性；比较数的大小。 点评：我们通常利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小，在比较数的大小的时候常引入中间量，常用的中间量有 0和 1. 如果 （ ， 表示虚数单位），那么 ( ) A 1 B C 2 D 0 答案： A 试题分析：因为 ， 所以 . 考点：复数的运算。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常
7、用公式： 。 填空题 已知函数 ，则关于 的方程 （ ）的解的个数可能为 （写出所有可能的结果） 答案：、 5、 6 试题分析：易知 的取值范围为 ，设 ，则 时，为双钩函数的一支，最小值为 2，在 t=1时取到；当 ， f(t)的取值范围为 ，并且是单调递增。分别判断各种情况： ，则只有当 t0时有根，此时 t有两个解，而 为二次函数，因此 x有四个根；当 a3时，同上可知，只有 t0是有根， x有四个解；当 时，此时 t0时有两个解， t0时有两个解，而 t0时有一个解，但在 t0 处 x有唯一解，因此 x有五个根。综上，该方程根的个数可能为 4、 5、 6个，其余个数均不可能。 考点：双
8、钩函数；基本不等式；二次函数的性质。函数图像的综合应用。 点评：本题考查函数的单调性，考查函数与方程的联系，做本题的关键是画出图形，根据图形分析出解得各种情况。有一定的难度 已知数列 的通项公式分别是 ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：要满足 对任意 恒成立， 当 n为奇数时，需满足 对任意 恒成立，所以 ； 当 n为偶数时，需满足 对任意 恒成立，即 。 综上知：实数 的取值范围是 。 考点：数列的综合应用；有关恒成立问题。 点评：分 “n为奇数 ”和 “n为偶数 ”两种情况进行讨论是解本题的关键。考查了学生分类讨论的数学数学。属于中档题。 若一个圆台的的主视
9、图如图所示，则其侧面积等于 答案： 试题分析：由截面图可知：圆台的上底面半径为 1，圆下底面半径为 2，圆台的高为 2，所以圆台的母线长为 ，所以圆台的侧面积为。 考点：圆台的侧面积公式；三视图。 点评：由三视图正确找出圆台上下底面半径和母线长是做本题的关键，熟记圆台的侧面积公式是做本题的前提条件。属于基础题型。 已知四点 ，则向量 在向量 方向上的射影是的数量为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， ， ，所以 ，所以向量 在向量 方向上的射影的数量为 。 考点：平面向量的数量积；向量射影的概念；向量的坐标。 点评：注意向量的投影和向量的射影的区别和联系，不同点：向量的投影是一个实数；向量的射
10、影是 一个向量；相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的； 过曲线 上一点 作其切线，则切线的方程是 答案： 或 试题分析：设切点为 ，因为 ，所以 ，所以切线方程为，因为过点 ，所以 。所以切线方程为 或 。 考点：导数的几何意义。 点评：曲线在某点处的导数就是曲线在这点切线的斜率，我们要熟练应用导数的几何意义来求曲线的切线方程，并且要注意在某点处的切线方程和过某点的切线方程的区别。 解答题 （本小题满分 12分）设锐角 ABC的三内角 A， B， C的对边分别为 A， b，c，已知向量 ， ，且 (1) 求角 A的大小； (2) 若 ， ，且 ABC的面积小于 ，求角 B的取值范围 答案：
11、（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）因为 ，则 ，即. 所以 ，即 ，即 . A是锐角，则 ，所以 . （ 2）因为 ， ，则 . 由已知， ，即 . 因为 B是锐角，所以 ，即 ，故角 B的取值范围是 . 考点：平面向量平行的条件；二倍角公式；三角形的面积公式。 点评：三角函数和其他知识点相结合往往是第一道大题，一般较为简单，应该是必得分的题目。而有些同学在学习中认为这类题简单，自己一定会，从而忽略了对它的练习，因此导致考试时不能得满分，甚至不能得分。比如此题在第二问中，就较易忘掉应用第一问求出 的范围。因此我们在平常训练的时候就要要求自己 “会而对，对而全 ”。 （本小题满分 12
12、分）已知命题 p：函数 在 内有且仅有一个零点命题 q： 在区间 内恒成立若命题 “p且q”是假命题，求实数 的取值范围 答案： A| - A-1或 A1 试题分析：先考查命题 p： 若 A 0，则容易验证不合题意； 故 ，解得： A-1或 A1. 再考查命题 q： x ， 3(A+1)- 在 上恒成立 易知 mAx ，故只需 3(A+1) - 即可解得 A- . 命题 “p且 q”是假命题， 命题 p和命题 q中一真一假。 当 p真 q假时， - A-1或 A1； 当 p假 q真时， 综上， A的取值范围为 A| - A-1或 A1 考点：复合命题；二次函数的性质；函数的零点；二次方程根的分
13、布问题。 点评：当一元二次方程有两相等实根时，此时对应的二次函数叫做有一个零点，而不是两个零点。我们一定要注意这一条，做题时容易出错。 （本小题满分 12分）如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC BC (1) 求证：平面 AB1C1 平面 AC1； (2) 若 AB1 A1C，求线段 AC与 AA1长度之比； (3) 若 D是棱 CC1的中点，问在棱 AB上是否存在一点 E，使 DE 平面 AB1C1？若存在，试确定点 E的位置；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）只需证 B1C1 平面 AC1 （ 2） 1： 1（ 3）点 E位于 AB的中点时。 试题分析：（ 1）由于 AB
14、C-A1B1C1是直三棱柱，所以 B1C1 CC1; 又因为 AC BC ，所以 B1C1 A1C1，所以 B1C1 平面 AC1 由于 B1C1 平面 AB1C1，从而平面 AB1C1 平面 AC1 （ 2）由（ 1）知， B1C1 A1C 所以，若 AB1 A1C，则可 得： A1C 平面 AB1C1，从而 A1C AC1 由于 ACC1A1是矩形，故 AC与 AA1长度之比为 1： 1 （ 3）点 E位于 AB的中点时，能使 DE 平面 AB1C1 证法一：设 F是 BB1的中点，连结 DF、 EF、 DE则易证：平面 DEF/平面AB1C1，从而 DE 平面 AB1C1 证法二：设 G
15、是 AB1的中点，连结 EG，则易证 EG DC1. 所以 DE/ C1G， DE平面 AB1C1 考点：面面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理。 点评：证明线面平行的常用方法： 定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行； 线线平行 T线面平行 若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。 即 面面平行 T线面平行 若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。 即 （本小题满分 12分）南昌市在加大城市化进程中，环境污染问题也日益突出。据环保局测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比现已知相距 18
16、的 A， B两家工厂（视作污染源）的污染强度分别为 ，它们连线上任意一点 C处的污染指数 等于两家工厂对该处的污染指数之和设 （ ） (1) 试将 表示为 的函数； (2) 若 ，且 时， 取得最小值，试求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 8. 试题分析：（ 1）设点 C受 A污染源污染程度为 ，点 C受 B污染源污染程度为 ，其中 从而点 C处 受污染程度 （ 2）因为 ，所以， ， ，令 ，得 。 又此时 ，解得 ，经验证符合题意 所以，污染源 B的污染强度 的值为 8 考点：函数的实际应用。 点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养
17、都是十分重要的建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出 的式并指明定义域。 （本小题满分 13分）已知函数 （其中 且 为常数）的图像经过点 A 、 B 是函数 图像上的点，是 正半轴上的点 (1) 求 的式； (2) 设 为坐标原点， 是一系列正三角形，记它们的边长是 ，求数列 的通项公式； (3) 在 (2)的条件下，数列 满足 ，记 的前 项和为 ，证明：。 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ，所以 .，两式相减得： ，整理得： . 试题分析：（ 1） . （ 2）由 . 由
18、 将 代人 ，由此原问题转化为 : “已知 且 ，求 ”. 又 ，两式相减可得： 又，因为 ，所以 , 从而 是以 为首项， 为公差的等差数列，即 . (3) ，所以 . 两式相减得： 整理得： . 考点：等差数列的性质；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如 An=BnCn，其中 Bn为等差数列， Cn为等比数列；分别列出 Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即 qSn；然后错一位，两式相减即可。 （本小题满分 14分）已知函数 ，其中 (1) 讨论函数 的单调性，并求出 的极值； (2) 若对于
19、任意，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 在 单调递减，在 单调递增。；（ 2） 。 试题分析： (1) ，所以 。 易知， 在 单调递减，在 单调递增。 所以 . （ 2）由（ 1）知 在 单调递减，在 单调递增； ，易知 g(x)在 。 当 0k2时， ，所以 ， ，要满足题意需1+k2-2k，即 ，所以此时 ； 当 2k4时， ， ， 令 ， ，显然 ，又 0，所以此时满足题意。综上知 。 . 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。 点评：（ 1）利用导数求函数的单调区间，一定要先求函数的定义域。（ 2）第二问分析出 “定义域上 g(x)极小值 f(x)极小值 ”是解题的关键，考查了学生分析问题和解决问题的能力。
