1、2013届河北省正定中学高三第三次模拟考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , ,若 ，实数 =( ) A 3 B 2 C 2或 3 D 0或 2或 3 答案： 试题分析：当 时， ，则 ，故可为；当时， ，若 ，则 ，解得，所以实数 =0或 2或 3。故选。 考点：集合的基本关系 点评：集合的基本关系有三种：子集、真子集和相等。本题容易忽略的是，集合 B可为空集。 函数 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： 试题分析： ，当时， ，函数为增函数，又因为函数 满足，即函数 为偶函数，所以由得： ，解得 。故选 B。 考点：不等式的解集 点评：求不等式的解集，常结合到函数
2、的单调性，像本题解不等式就要结合到函数 的单调性。 已知 分别是双曲线 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则 的离心率为（ ） A B C D 答案： 试题分析：设 关于渐近线的对称点为 A（ x,y），则，另外，双曲线的渐近线为 ，其斜率，又求得线段 的中点 ，且 ，则有，解得 ，由 得： ，则 ，将 x和 y代入 得： ，化为 ，又因为，所以 ，解得 。故选 D。 考点：双曲线的性质 点评：求曲线的性质是必考点，做这类题目需结合图形才能较好的解决问题，因而画图是前提。 函数 的零点所在的区间为（ ） A B C D 答案： 试题分析：因为 ， ，所以，则
3、函数 在区间 上有零点。故选 C。 考点：函数零点的判定定理 点评：看一个连续的函数在一个区间内是否存在零点，我们可以求出这个区间的两个端点对应的函数值，若它们的乘积小于零，则函数在这个区间有零点。 在正三棱柱 中，已知 ， ，则异面直线 和所成角的正弦值为 ( ) A 1 B C D 答案： 试题分析：取线段 的中点 O，建立空间直角坐标系如下，则 ， ， ，求得 ， ，因为 ，所以 ，即异面直线 和所成角为直角，则其正弦值为 1.故选 A。 考点：异面直线所成的角 点评：求异面直线所成的角是一个考点，若图形可以建立空间直角坐标系，则由向量来求解较容易。 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值
4、为（ ） A B C D 答案： 试题分析：约束条件 画出的平行区域如下： 另外， ， z要取得最大值，只要 取得最大值，而 看成是两点 和 的斜率，当点 落在 A处时，最大，由 得： ，所以 z取得最大值为 。故选 C。 考点：平行区域 点评：本题是非线性规划的问题，画出不等式组的平行区域是基础，关键是将要求的问题进行转化，在本题中，是将 转化为斜率问题。 在 中 ,内角 A,B,C的对边分别是 ,若 ， ,则（ ） A B C D 答案： 试题分析：由 得： ，又由 得：， 所以由 得： 。故选 C。 考点：正弦定理；余弦定理 点评：在解三角形中，经常用到的知识点是正弦定理、余弦定理和三角
5、形的面积公式，有时也结合其他知识点，像向量、三角恒等变换。 已知 ,则 的值为（ ） A B C 1 D 2 答案： 试题分析： ， ，则 。故选 考点：分段函数 点评：在分段函数中，不管是求出函数值，还是求出自变量，需分清自变量的范围。 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ,则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： 试题分析：如图，圆 的圆心 C（ 3， 2），半径 ，求得圆心 C（ 3， 2）到直线 的距离 ，由勾股定理得： ，因为 ，所以 ，则 ，解得 。故选 A。 考点：直线与圆的位置关系 点评：关于直线与圆的位置关系的题目，一般情况下，结合圆心到直线的距离对解决问题有很大的作用。
6、 某程序框图如图所示 ,则该程序运行后输出的值是 ( ) A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 答案： 试题分析： ， ， 成立， ， 成立， ， ， 成立， ， ， ， 不成立， ，则该程序运行后输出的值是 .故选 考点：程序框图 点评：程序框图是一个考点，此类题目相对较容易。解决此类题目，只要按照箭头的流向一步步写即可，有时要寻求里面的规律。 已知某几何体的三视图如图，其中正 (主 )视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：该几何体是一个长方体去掉半个圆柱，长方体的体积为，半个圆柱的体积为 ，所以该几何体的体积为 。故选 A
7、。 考点：三视图；几何体的体积 点评：求几何体的表面积和体积是常考知识点，我们要知道柱体、锥体和球的表面积公式和体积公式。 已知 则 （ ） A B C D 答案： 试题分析： 。故选。 考点：三角恒等变换 点评：在三角恒等变换中，要用到的公式比较多，平时要多做一些题目去巩固这些公式。 填空题 已知数列 满足 ， ，则该数列的通项公式答案： 试题分析：由 得： ，化为，所以 ， ， ，各式相加得： ，化为 ，因为 ，所以 。 考点：数列的通项公式 点评：对于求一般数列的通项公式或前 n项和时，常用方法有：错位相减法、裂变法等，目的是消去中间部分。 已知向量 ， 满足 ， ，且对一切实数 ， 恒
8、成立，则 与 的夹角为 答案： 试题分析：令 与 的夹角为 。由 得： ，化为 ，因为 ， ，所以 ，当 时，式子显然成立；当 时， ，由于 ，故 ；当 时， ，由于 ，故 ；，所以 ，解得 考点：向量的运算 点评：在求向量的问题时，若出现到角度，则要结合到向量的数量积公式。 正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体 800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将 800名学生从 1到 800进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是 7，则从 中应取的数是 答案： 试题分析：由题意知：抽取间隔为 16，则抽出的数分别为： ，其中，在 中的数是 55 考点：系统抽样 点评：系统抽
9、样的特点是按照一定的间隔抽取，本题的间隔是 16. 复数 答案： 试题分析： 考点：复数的运算 点评：对于复数的除法，先将分子和分母都乘以分母的共轭复数，再进行运算。此类题目较简单，是必考点，务必得分。 解答题 在极坐标系内，已知曲线 的方程为 ，以极点为原点，极轴方向为 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数） . (1)求曲线 的直角坐标方程以及曲线 的普通方程； (2)设点 为曲线 上的动点，过点 作曲线 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围 . 答案： (1) ， (2) 试题分析：解： (1) 对于曲线 的方程为 ， 可化为直角坐标方
10、程 ，即 ； 对于曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 可化为普通方程 . (2) 过圆心 点作直线 的垂线，此时两切线成角 最大，即余弦值最小 . 则由点到直线的距离公式可知， ，则 ，因此 ， 因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是 . 考点：参数方程；极坐标方程 点评：解决关于参数方程的问题，需将问题转化为直角坐标系中的问题，转 化只需消去参数，需要注意的是，要结合参数去得到 x和 y的取值范围。 已知 与圆 相切于点 ,经过点 的割线 交圆 于点 ,的平分线分别交 于点 . (1)证明 : ； (2)若 ,求 的值 . 答案： (1)证明如下 (2) 试题分析： (1) PA是切线 ,A
11、B是弦 , BAP= C, 又 APD= CPE, BAP+ APD= C+ CPE, ADE= BAP+ APD, AED= C+ CPE, ADE= AED. (2)由 (1)知 BAP= C,又 APC= BPA, APC BPA, , AC=AP, APC= C= BAP,由三角形内角和定理可知 , APC+ C+ CAP=180, BC是圆 O的直径 , BAC=90, APC+ C+ BAP=180-90=90, C= APC= BAP= 90=30. 在 Rt ABC中 , = , =. 考点：几何证明 点评：关于几何证明的题目，若出现圆及切线，一般要结合到弦切角定理。 已知函数
12、 . （ 1）求函数 的最大值； （ 2）若函数 与 有相同极值点， 求实数 的值； 若对于 （ 为自然对数的底数），不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） ， 由 得 ；由 得 . 在 上为增函数，在 上为减函数 . 函数 的最大值为 . （ 2） . 由（ 1）知， 是函数 的极值点， 又 函数 与 有相同极值点， 是函数 的极值点， ，解得 . 经验证，当 时，函数 在 时取到极小值，符合题意 . ， 易知 ，即 . . 由 知 . 当 时， ；当 时， . 故 在 上为减函数，在 上为增函数 . ， 而 . . 当 ，即 时，对于 ，不等式
13、 恒成立. ， . 当 ，即 时，对于 ，不等式 恒成立. ， . 综上，所求实数 的取值范围为 . 考点：导数的应用 点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。 在平面直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和为，设点 的轨迹为曲线 . （ 1）写出 的方程； （ 2）设过点 的斜率为 （ ）的直线 与曲线 交于不同的两点 ,，点 在 轴上，且 ，求点 纵坐标的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ ）由题设知 , 根据椭圆的定义， 的轨迹是焦点为 ， ，长轴长为 的椭圆， 设其方程为 则 ， ， ，所以 的方程为
14、. （ II）依题设直线 的方程为 .将 代入 并整理得， . . 设 ， ，则 ， 设 的中点为 ，则 ， ， 即 . 因为 ，所以直线 的垂直平分线的方程为 ， 令 解得， ， 当 时，因为 ，所以 ； 当 时，因为 ，所以 . 综上得点 纵坐标的取值范围是 . 考点：椭圆的方程 点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（ ）。 在直三棱柱 中 , 平面 ,其垂足 落在直线 上 . (1)求证 : ； (2)若 , , 为 的中点 ,求三棱锥 的体积 . 答案： (1)证明如下 (2) 试题分析： ( )证明 : 三
15、棱柱 为直三棱柱 , 平面 , 又 平面 , 平面 ,且 平面 , . 又 平面 , 平面 , , 平面 ,又 平面 , (2)在直三棱柱 中 , . 平面 ,其垂足 落在直线 上 , . 在 中 , , , , 在 中 , 由 (1)知 平面 , 平面 ,从而 为 的中点 , 考点：直线与平面垂直的判定定理；几何体的体积公式 点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。 某班同学利用寒假在 5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次 “低碳生活习惯 ”的调查，以计算每户每月的碳排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族 ”，否则称为 “非低碳族 ”若小区
16、内有至少 的住户属于 “低碳族 ”，则称这个小区为 “低碳小区 ”，否则称为 “非低碳小区 ”已知备选的 5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区 . （ 1）求所选的两个小区恰有一个为 “非低碳小区 ”的概率； （ 2）假定选择的 “非低碳小区 ”为小区 ，调查显示其 “低碳族 ”的比例为 ，数据如图 1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2所示，问这时小区 是否达到 “低碳小区 ”的标准？ 答案：（ 1） （ 2）达到 试题分析：解：（ ）设三个 “非低碳小区 ”为 ，两个 “低碳小区 ”为 用 表示选定的两个小区， ， 则从 5 个小区中任选两个小区 ,
17、所有可能的结果有 10 个，它们是 ， ， , , , , , ， . 用 表示： “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区 ”这一事件，则 中的结果有 6个，它们是： ， , , ， , . 故所求概率为 . （ II）由图 1可知月碳排放量不超过 千克的成为 “低碳族 ”. 由图 2可知，三个月后的低碳族的比例为 ， 所以三个月后小区 达到了 “低碳小区 ”标准 . 考点：频率分布直方图；概率 点评：此类题目出现频繁，容易得分，做这种题目关键是要会看图。 已知等差数列 的公差 大于 0，且 是方程 的两根，数列 的前 项和为 ， . （ 1）求数列 的通项公式 ； （ 2）求数列 的前 项和
18、. 答案：（ 1） ， （ 2）试题分析：解：（ 1）因为 是方程 的两根，且数列 的公差 ， 所以 ，公差 .所以 . 又当 时，有 ，所以 . 当 时，有 ，所以 . 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 . （ 2）因为 ， 则 ， ， 由 - ，得 ， 整理，得 . 考点：数列的通项公式；数列的前 n项和公式 点评：对于求一般数列的通项公式或前 n项和时，常用方法有：错位相减法、裂变法等，目的是消去中间部分。 已知常数 满足 ，解关于 的不等式： . 答案： 试题分析：解 : （ 1）若 ，则 因为 ，所以 （ 2）若 ，则 因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 . 综上，有由（ 1）（ 2）可知，解集为 . 考点：绝对值不等式 点评：在求绝对值不等式中，常用公式是： 。
