1、2013届福建省三明一中、二中高三上学期期末联考理科数学卷（带解析） 选择题 已知平面向量 ， ，且 ，则实数 的值为 A B C D 答案： C 试题分析：因为平面向量 ， ，且 ，所以 =3x+3=0，x=-1，故选 C。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量垂直的条件。 点评：简单题，两向量垂直，它们的数量积为 0. 已知集合 , 。若存在实数 使得 成立 ,称点 为 “ ”点，则 “ ”点在平面区域 内的个数是 A 0 B 1 C 2 D无数个 答案： A 试题分析：由 AB 得， na+b=3n2+12，（ AB= 时 x=n=m）， 对于任意的整数 n，动点（ a， b）的集
2、合是直线 l： na+b=3n2+12， 由于圆 x2+y2=108的圆心到直线 l的距离 d= =3（ ） 6 n为整数， 上式不能取等号，所以直线和圆相离 所以两者无有公共点 故选 A 考点：本题主要考查集合的运算，直线与圆的位置关系，均值定理的应用。 点评：中档题，本题综合性较强，首先根据两集合交集不空，得到方程na+b=3n2+12有实数解。利用数形结合思想，将问题转化成圆心到直线的距离。 已知 ，若方程 存在三个不等的实根，则 的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：画出函数 的图象（如图）。 当方程 存在三个不等的实根 时，其中有两根在区间（ 0,1）内，关于 x= 对
3、称，一个根在区间（ 1,2013）内，故 的取值范围是，选 D。 考点：本题主要考查分段函数的概念，一次函数、导数函数的图象，数形结合思想，函数方程的概念。 点评：基础题，分段函数是高考常考函数类型之一，在 x的不同范围内，函数的表达式不同，可扩大知识覆盖面。涉及函数方程问题，往往利用数形结合法，以形助数 。 若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则可以是 A B C D 答案： A 试题分析： 在 R 上连续，且 g（ ） = -2= 0，g（ ） =2+1-2=1 0 设 g（ x） =4x+2x-2的零点为 x0，则 x0 又 f（ x） =4x-1零点为 x= ； f（ x）
4、=（ x-1） 2的零点为 x=1； f（ x） =ex-1零点为 x=0； f（ x） =ln（ x- ）零点为 x= ， |x0- | ，即 A中的函数符合题意，故选 A 考点：本题主要考查函数零点的概念，函数零点存在定理。 点评：简单题，利用零点存在判定定理，确定得到 g(x)零点的存在范围，通过求几个常见函数的零点，比对，作出判断。 若函数 的图象（部分）如图所示，则 和 的取值是 A B C D 答案： D 试题分析：观察知 T=41-(-1)=8,所以 = ；即 ，将点（ -1,0）代入得 ，所以 = ， ，结合选项知选 D。 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数式。
5、点评：基础题，根据三角函数图象求式，是高考常考的一类题目，往往要观察求 A,T，计算求 。 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A B C D 答案： D 试题分析：从程序框图可以看出，输出的函数应满足两条，一是奇函数，二是存在零点。研究四个函数，是奇函数有 B,D两个，而 B. 无零点，故选D。 考点：本题主要考查程序框图的功能识别，常见函数式。 点评：基础题，程序框图的功能识别，是近些年常考的题目，一般不难。往往和函数、数列、方程等结合，以扩大知识覆盖面。 函数 在 处的切线方程是 A B C D 答案： B 试题分析：函数 在 处的切线斜率，即函数在此点的导数值
6、。所以切线斜率为 =-1，又切点为（ 0,0）由直线方程的点斜式的切线方程为 ，故选 B。 考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义。 点评：基础题，函数 在 处的切线斜率，即函数在此点的导数值。 定义： .若复数 满足 ，则 等于 A B C D 答案： A 试题分析： 即： zi+i=-1+2i,所以 z= ,故选 A。 考点：本题主要考查行列式的概念及计算，复数的代数运算。 点评：新定义问题，事实上行列式内容已出现在选学内容之中，明确直盯盯计算方法，建立 z的方程求解。 已知直线 平面 ,直线 ,则 “ ”是 “ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必
7、要条件 答案： A 试题分析：因为 平面 ,直线 , ，所以 ， ； 反之，若 平面 ,直线 , ，那么 l 垂直于平面 内的一条直线，即 不一定成立； 即 “ ”是 “ ”的充分不必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，充要条件的概念。 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。 设集合 ， ，若 ，则实数的值为 A B C D 答案： B 试题分析：因为集合 ， ，且 ， 所以 1,4是方程 的根，所以 p=14=4，故选 B。 考点：本题主要
8、考查集合的运算。 点评：简单题，直接按补集的定义及韦达定理建立 p的方程。 填空题 已知不等式 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意可知：不等式 xyax2+2y2对于 x 1， 2， y 2， 3恒成立， 即： a -2( )2，对于 x 1， 2， y 2， 3恒成立， 令 t= ，则 1t3， at-2t2在 1， 3上恒成立， y=-2t2+t=-2(t- )2+ ymax=-1， a-1。 考点：主要主要考查函数恒成立问题，分离参数法的应用，二次函数在闭区间上的值域。 点评：中档题，本题综合性较强。一般的，函数恒成立问题，往往要转化成求函数
9、的最值问题。分离参数法是处理此类问题的常用方法。 在平面直 角坐标系中 ,不等式组 所表示的平面区域的面积是 9，则实数 的值为 答案：； 试题分析：画出平面区域，这是一个直角三角形，顶点分别为（ -2,2），（ a， -a），（ a,a+4） ,因为所表示的平面区域的面积是 9，即，解得 a=1。 考点：本题主要考查平面区域的画法及其面积计算。 点评：简单题，利用数形结合思想，通过画出平面区域，结合给定面积求 a的值。 已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，则双曲线 的离心率 答案： ； 试题分析：抛物线 的准线 ： x=-2与双曲线 相切，所以 a=2，b=1, 双曲线 的离心率 = . 考
10、点：本题主要考查抛物线、双曲线的几何性质。 点评：简单题，涉及圆锥曲线的几何性质问题，往往与 a,b,c,e,p有关，熟练掌握它们的内在联系是解题的关键。 某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是 答案： ； 试题分析：观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面正三角形边长为 2，棱柱的高为 3，所以其体积为 = 。 考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进 一步解题。 已知随机变量 ，若 ，则 等于 答案： .3； 试题分析：正态分布曲线的对称轴是 x=0，而 ， 所以 等
11、于 0.5-0.2=0.3. 考点：本题主要考查正态分布的概念及其性质。 点评：简单题，注意利用正态分布的性质。 解答题 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， （ ）求 与 ； （ ）证明： 答案：（ ） ， （ ）由 ， 得 求得 因为 ，所以 ，于是 ， 得出 。 试题分析：（ ）设 的公差为 ， 因为 所以 3分 解得 或 （舍）， 故 ， 6分 （ ）因为 ， 所以 9分 故 11分 因为 ，所以 ，于是 ， 所以 即 13分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识， “裂项相消法 ”，不等式的证明。 点评：中档题，本题具有较强的
12、综合性，本解答从确定通项公式入手，从而求得了 ，进一步转化成数列 求和问题，利用 “裂项相消法 ”化简，达到证明不等式的目的。 已知向量 （ ）求 的式； （ ）求由 的图象、 轴的正半轴及 轴的正半轴三者围成图形的面积。 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ） 2分 4分 6分 ， 。 7分 （ ）令 0,解得 易知 的图象与 轴正半轴的第一个交点为 。 9分 所以 的图象、 轴的正半轴及 x轴的正半轴三者围成图形的面积 。 11分 13分 考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数图象和性质，平面向量的坐标运算，定积分的应用。 点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数
13、“化一 ”，这是常考题型。本题利用了定积分计算曲边梯形的面积。 图 1，平面四边形 关于直线 对称， ， ， 把沿 折起（如图 2），使二面角 的余弦值等于 对于图二，完成以下各小题： （ ）求 两点间的距离； （ ）证明： 平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ ） 。 （ ）由已知得 ，推出 ， 即 ，得到 平面 （ ） 试题分析：（ ）取 的中点 ，连接 ， 由 ，得： 就是二面角 的平面角，即 2分 在 中，解得 ，又，解得 。 4分 （ ）由 ， ， ， ， 又 ， 平面 8分 （ ）方法一：由（ ）知 平面 ， 平面 平面 平面 ，平面 平面 ， 作 交 于 ，则
14、 平面 ， 就是 与平面 所成的角。 11分 13分 方法二：设点 到平面 的距离为 ， ， ， ， 11分 于是 与平面 所成角 的正弦为 13分 方法三：以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系， 则 设平面 的法向量为 ，则 ， ， ， ， 取 ，则 ， & 二十世纪 50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒 引起世人对食品安全的关注中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm 罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼
15、，其体内汞含量比其他鱼偏高现从一批罗非鱼中随机地抽出 15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： （ ）若某检查人员从这 15条鱼中， 随机地抽出 3条，求恰有 1条鱼汞含量超标的概率； （ ）以此 15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据若从这批数量很大的鱼中任选 3条鱼，记 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 的分布列及 E 答案：（ I） 15条鱼中任选 3条恰好有 1条鱼汞含量超标的概率为 ； （ II） 0 1 2 3 P() E= . 试题分析：（ I）记 “15条鱼中任选 3条恰好有 1条鱼汞含量超标 ”为事件 A 则 15条
16、鱼中任选 3条恰好有 1条鱼汞含量超标的概率为 5分 （ II）解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= ， 7分 所有 的取值为 0， 1， 2， 3，其分布列如下： 0 1 2 3 P() 11分 所以 ， 12分 所以 E=1. 13分 解法二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= ， 7分 所有 的取值为 0， 1， 2， 3，其分布列如下： 0 1 2 3 P() 11分 所以 E= . 13分 考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列及期望。 点评：典型题，利用概率知识解决实际问题，在高考题中常常出现，这类题目解答的难点在于求随机变量的概率。 已知焦
17、点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 , 为椭圆 的左顶点 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点 . 若直线 垂直于 轴，求 的大小 ; 若直线 与 轴不垂直，是否存在直线 使得 为等腰三角形？如果存在，求出直线 的方程；如果不存在，请说明理由 . 答案：（ ） . （ ）（ ）当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 . （ ）当直线 与 轴不垂直时，不存在直线 使得 为等腰三角形 . 试题分析：（ ）设椭圆 的标准方程为 ，且 . 由题意可知： ， . 2分 解得 . 椭圆 的标准方程为 . 3分 （ ）由（ ）得 .设 . （ ）当直线 垂直于
18、轴时，直线 的方程为 . 由 解得： 或 即 （不妨设点 在 轴上方） . 5分 则直线 的斜率 ，直线 的斜率 . ，得 . . 6分 （ ）当直线 与 轴不垂直时，由题意可设直线 的方程为. 由 消去 得： . 因为 点 在椭圆 的内部，显然 . 8分 因为 ， ， ， 所以 . . 即 为直角三角形 . 11分 假设存在直线 使得 为等腰三角形，则 . 取 的中点 ，连接 ，则 . 记点 为 . 另一方面，点 的横坐标 ， 点 的纵坐标 . 又 故 与 不垂直，矛盾 . 所以 当直线 相关试题 已知 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 ， 方程 有实数根； 函数 的导数 满足 （
19、）判断函数 是否是集合 中的元素，并说明理由； （ ）集合 中的元素 具有下面的性质：若 的定义域为 ，则对于任意 ，都存在 ，使得等式 成立试用这一性质证明：方程 有且只有一个实数根； （ ）对任意 ，且 ，求证：对于 定义域中任意的 ， ，当 ，且 时， 答案：（ ）函数 是集合 中的元素 . （ ）方程 有且只有一个实数根 . （ ）对于任意符合条件的 , 总有 成立 . 试题分析：（ ）因为 当 时， ， 所以方程 有实数根 0； ， 所以 ，满足条件 ； 由 ，函数 是集合 中的元素 . 5分 （ ）假设方程 存在两个实数根 ， ， 则 ， . 不妨设 ，根据题意存在 ， 满足 .
20、因为 ， ，且 ，所以 . 与已知 矛盾 .又 有实数根， 所以方程 有且只有一个实数根 . 10分 （ ）当 时，结论显然成立； 11分 当 ，不妨设 . 因为 ,且 所以 为增函数，那么 . 又因为 ，所以函数 为减函数， 所以 . 所以 ，即 . 因为 ，所以 ， （ 1） 又因为 ，所以 ， （ 2） （ 1） （ 2）得 即 . 所以 . 综上，对于任意符合条件的 , 总有 成立 . 14分 考点：本题主要考查集合的概念，函数与方程，导数研究函数单调性的应用，反证法，不等式的证明。 点评：综合题，本题综合性较强，难度较大。证明方程只有一个实根，可通过构造函数，研究其单调性实现，本解法运用的是反证法。由自变量取值，且 ，确定函数值的关系 ，关键是如何实现两者的有机转换。
