1、2013年黑龙江省哈师大附中高三第四次联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A=x|-lx3，集合 B=|x|log2xl，设函数 f（ x） =ax+x -4的零点为 m，函数 g（ x） = logax+x-4的零点为 n，则 的最小值为 A 1 B 2 C 4 D 8 答案： A 试题分析：作三个函数 的图像如下，由于函数 f（ x）=ax+x -4的零点为 m，则 ，化为 ，所以函数 f（ x）的零点 m就是函数 交点的横坐标。同理：函数 g（ x）的零点 n就是 交点的横坐标。求得直线 的交点为 ，由于函数 的图像关于 对称，则 ，即 ，所以 ， ， 。故选 A。 考点
2、：函数的零点 点评：当函数的零点无法直接求出时，需通过画出函数的图像来求解。 双曲线 过其左焦点 F1作 x轴的垂线交双曲线于 A， B两点，若双曲线右顶点在以 AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为 A（ 2， +） B（ 1， 2） C（ ， +） D（ 1， ） 答案： A 试题分析：如图，令 ，由于双曲线右顶点在以 AB为直径的圆内，而右顶点到左焦点的距离为 ，则 。由于点 B在双曲线上，故 ，化为 ，所以 ，又因为 ，所以，解得 。故选 A。 考点：双曲线的性质 点评：解决双曲线的问题，有时要用到双曲线的特点：双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值是为 函数 的部分图象如图 所
3、示，则 A B C D 答案： D 试题分析：由 得： 。由 得： 。取 ，时， ，符合题意。故选 D。 考点：正弦函数的图像 点评：确定函数 中的数 ， 是最慢确定的。 如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是 A i1006 B i 1006 C i1007 D i 1007 答案： C 试题分析： ，第 1步：条件， ， ，第 2步条件， ， ， ，第 1007步：， ，第 1008步：条件，输出 s。故条件是 i1007。选 C。 考点：程序框图 点评：程序框图是一个考点，此类题目相对较容易。解决此类题目，只要按照箭头的流向一步步写即可，有时要寻求里面的规律。 下
4、图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设 甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ，中位数分别为 m甲 ， m乙 ，则 A m乙 B m乙 D ， m甲 b”是 “sinAsinB”的必要不充分条件 答案： B 试题分析：当 p为真命题， q为假命题时， p q为真命题，故 A项错误；命题 “ ”的否定是 “ ”， B项正确； 恒成立，则 ，故 “a5”是 “ 恒成立 “的充分不必要条件， C项错误；在 ABC中， “ab”是 “sinAsinB”的充要条件， D项错误。故选 B。 考点：命题的真假性 点评：判断命题的真假性是一个考点，这种题目涉及知识点多，因而比较难，所以可用到排
5、除法。 函数 的图象的大致形状是答案： B 试题分析：函数 化为 ，其图像是 B项。故选 B。 考点：函数的图像 点评：含有绝对值的函数，要画出它的图像，需将函数变为分段函数。 下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程 =2-x的说法中，不正确的是 A变量 x与 y正相关 B该回归直线必过样本点中心（ ） C当 x=l时， y的预报值为 l D当残差平方和 越小时模型拟合的效果越好 答案： A 试题分析：当 x增大时， =2-x减小，所以变量 x与 y负相关， A错误。故选A。 考点：回归分析 点评：在回归分析中，当 x增大时， y减小，则变量 x与 y负相关；当 x增大时，y也增大，则变量 x
6、与 y正相关。 已知向量 ， 满足 | |=2, | |=l，且（ + ） （ ），则 与 的夹角为 A B C D 答案： A 试题分析：因为（ + ） （ ），所以（ + ）（ ） =0，化为 ，又因为 | |=2, | |=l，所以 ，求得 与 的夹角为。故选 A。 考点：向量的数量积；向量垂直的条件 点评：本题用到向量垂直的结论： 。在向量中，还有另一个重要的结论： 。 若复数 z=（ a2 +2a-3） +（ a-l） i为纯虚数（ i为虚数单位），则实数 a的值为 A -3 B -3或 1 C 3或 -1 D 1 答案： A 试题分析：复数 z=（ a2 +2a-3） +（ a-l
7、） i为纯虚数（ i为虚数单位），则，解得 。故选 A。 考点：复数的概念 点评：在复数 中， a是实部， b是虚部， i是虚数单位。要得到复数的实部和虚部，需将复数变成 的形式。 填空题 如图，在矩形 ABCD中， AB =2 AD =3， AB中点为 E，点 F， G分别在线段 AD， BC上随机运动，则 FEG为锐角的概率为 。 答案： 试题分析：令 ， 则 ， 。若 FEG为锐角，则 钝角，所以 ， ，化为 。满足 的点 如下图阴影部分，求得阴影部分面积为 ，则所求概率为考点：定积分 点评：本题关键是得到 ，然后结合定积分求解。 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。 答案
8、： 试题分析：几何体是由一个长方体和一个正方体构成的。长方体的体积为 3，正方体的体积为 1，所以该几何体的体积为 4 考点：几何体的体积 点评：由三视图来求出几何体的表面积或体积是常考的类型题，做此类题目关键是将三视图转化为几何体。 在（ 的展开式中， x的系数是 。（用数字作答） 答案： -56 试题分析：（ 展开式的通项为 ，令 ，则 ， ，所以 x的系数是。 考点：二项式定理 点评：涉及到 展开式中的问题，常用到二项式定理得通项：。 已知等差数列 的前 n项和为 ，且 ，则 。 答案： 试题分析：由 得： ，解得 ， 。 考点：等差数列的性质；等差数列的前 n项和 点评：本题用到等差数
9、列的性质： 。若在等差数列中，给出几个项相加，常用到这个性质。 解答题 已知直线 的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 （ I）判断直线 与圆 C的位置关系； （ ）若点 P（ x， y）在圆 C上，求 x +y的取值范围 答案：（ I）相交（ ） 试题分析：解： (1)直线 ，圆 ，圆心到直线的距离 ， 相交 （ 2）令 为参数） ， 的取值范围是考点：参数方程；极坐标方程 点评：解决关于参数方程的问题，需将问题转化为直角坐标系中的问题，转化只需消去参数，需要注意的是，要结合参数去得到 x和 y的取值范围。 如图， AB 是 O 的
10、直径， C、 E 为 O 上的点， CA 平分 BAE， CF AB， F是垂足， CD AE，交 AE延长线于 D （ I）求证： DC是 O的切线； （ ）求证： AF FB=DE DA 答案：证明如下 试题分析： 证明： (1)连结 , , , 为圆 的切线 （ 2） 与 全等， , 考点：几何证明 点评：在几何证明中，要证明关于四段线段的等式成立，只需找到四段线段所在的两个三角形，然后证明它们相似就好。 已知 f（ x） =1nx-a（ x-l）， a R （ I）讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 x1时， 石恒成立，求实数 a的取值范围， 答案：（ I） 在 上单调递增；在 上单
11、调递减（ ）试题分析：解：（ ） 的定义域为 ， 当 时，则 ， 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 在 上单调递增；在 上单调递减 （ ）由题意， 时， 恒成立 设 ，则 对 时恒成立 则 当 时， ，即 在 上单调递减， 当 时， 与 恒成立矛盾 当 时，对于方程 （ *）， （ ） ，即 时， ，即 在 上单调递增， 符合题意 （ ） ，即 时，方程（ *）有两个不等实根 ，不妨设 ，则 ， 当 时， ，即 递减， 与 恒成立矛盾 综上，实数 的取值范围为 另解： 时， 恒成立， 当 时，上式显然成立；当 时， 恒成立 设 ，可证 在 上单调递减（需证明）， 又由洛必达法
12、则知， ， 故， 考点：导数的应用 点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。 已知抛物线 E:y2= 4x，点 P（ 2， O）如图所示，直线 过点 P且与抛物线 E交于 A（ xl， y1）、 B（ x2， y2）两点，直线 过点 P且与抛物线 E交于 C（ x3， y3）、 D（ x4， y4）两点过点 P作 x轴的垂线，与线段 AC和 BD分别交于点 M、 N （ I）求 y1y2的值； （ ）求讧： |PM|=| PN| 答案：（ I） （ ）证明如下 试题分析：解： (1)令直线 ， 证明：（ 2）直线 ，即 当 时 ， 同
13、理 ， 考点：抛物线 点评：关于曲线的大题，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（ ）。 几何体 EFG ABCD 的面 ABCD， ADGE， DCFG均为矩形， AD=DC=l， AE=。 （ I）求证： EF 平面 GDB； （ ）线段 DG上是否存在点 M使直线 BM与平面 BEF所成的角为 45，若存在求等￥ 的值；若不存在，说明理由 答案：（ I）证明如下（ ）存在 试题分析：证明：（ 1）由已知有 面 , 面 ， 连结 ，在正方形 中， , 面 ， 面 , 且 , 为平行四边行， , , 面 解： (2)分别以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 令 , , 令 为平面
14、的一个法向量， ， 令 ， ， ， ， 或 ， 存在 此时 考点：直线与平面垂直的判定定理 点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。当然，此类题目也经常要我们求出几何体的体积和表面积。 甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1分，答错不答都得 0分，已知甲队 3人每人答对的概率分别为 ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分 （ I）求随机变量 的分布列及其数学期望 E（ ）； （ ）求在甲队和乙队得分之和为 4的条件下，甲队比乙队得分高的概率
15、答案：（ I）如下（ ） 试题分析：解：（ 1） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 ; ; ; 的分布列为 0 1 2 3 (2)设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高 ”为事件 B 则 ; 考点：分布列及其数学期望；概率 点评：求随机变量的分布列和数学期望是常考题型，解决这种题目关键是求出随机变量对应的概率。 在 ABC中角， A， B， C所对的边分别为 a,b,c，向量 m=（ cos ， 1），n=（一 l,sin（ A+B），且 m n （ I）求角 C的大小； （ ）若 ，且 a+b =4，求 c 答案：（ I） （ ） 试题分析：解：（ 1） 且 ， （ 2） ,又 考点：三角恒等变换；余弦定理 点评：解三角形的题目，必用到正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，有时要结合到向量的性质和三角恒等变换。 选修 45: 不等式选讲 已知函数 。 （ I）当 a=-3时，求 的解集； （ ）当 f（ x）定义域为 R时，求实数 a的取值范围 答案：（ I） （ ） 试题分析：解：（ 1） 时， 当 时 当 时 ，不成立 当 时 综上，不等式的解集为 （ 2）即 恒成立， ，当且仅当时取等， 考点：绝对值不等式 点评：在求绝对值不等式中，常用公式是： 。
