1、2014届四川成都石室中学高三一诊模拟考试（ 2）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ,集合 , ,则集合 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，选 C. 考点：集合的基本运算 . 定义域为 R的函数 满足 时，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当 时， ，即 .此时， . 当 时， ，.此时，. 所以 在 上的最小值为 . 恒成立，则 ，即 ，即或 . 考点：函数与不等式 . 已知 ，若向量 与向量 共线，则的最大值为（ ） A 6 B 4 C 3 D 答案： A 试题分析：向量 与向量 共线，所以. ， 所以 . 考
2、点： 1、共线向量； 2、重要不等式 . 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 、 的图象都经过点 ，则 的值可以是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：函数 的图象向右平移 个单位长度后得 .因为 、 的图象都经过点 ,所以.因为 ，所以 的值是 ， 的值可以是 .选 B. 考点：三角函数的图象及基本计算 . 执行右图所示的程序框图（其中 表示不超过 的最大整数），则输出的值为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 答案： A 试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果为：，这时 .最后输出 7. 考点：程序框图 . 下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
3、） A B C D 答案： B 试题分析：由于三视图可知，这是一个四棱锥，根据图中尺寸可得体积.选 B. 考点：三视图及几何体的体积 . 将 5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （ ） A 10 B 20 C 30 D 40 答案： B 试题分析：将 5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2名学生，那么必然是一个宿舍 2名，而另一个宿舍 3名：共有 种 .选 B. 考点：排列组合 . 已知 的面积为 2，在 所在的平面内有两点 、 ，满足, ,则 的面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 的 AB边上的高为 ， 的
4、 AQ 边上的高为 ，则.所以选 C. 考点： 1、向量； 2、三角形的面积 . 下列命题的否定为假命题的是（ ） A B ， C所有能被 3整除的整数都是奇数 D 答案： D 试题分析：对 A，因为 ，所以 是假命题，其否定为真命题 .对 B，当 时， ，所以 ，是假命题，其否定为真命题 .对 C， 6能被 3整除，但 6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题 .对 D，显然成立，所以其否定是假命题 .选 D. 考点：逻辑与命题 . 复数 （ 为虚数单位）的模是（ ） A B C 5 D 8 答案： A 试题分析： ，所以模为 . 考点：复数的基本概念及运算 . 填空题 若直线 与曲线 恰有
5、四个公共点，则 的取值集合是_. 答案： 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是 _. 答案： 试题分析：函数 的定义域为： .又.所以 是奇函数 .又在（ -1， 1）上是增函数 . 由 得： . 所以 . 考点： 1、函数的奇偶性及单调性； 2、解不等式 . 若等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项，则 . 答案： 试题分析： 展开式的通项公式为，其常数项为 ，所以. 考点： 1、二项式定理； 2、等比数列 . 在区间 上随机取一个实数 ，则事件 “ ”发生的概率为 _. 答案： 试题分析： ，则 ，所以 . 考点：几何概型 . 已知 则 = . 答案： 试题分析： . 考点：三角函数
6、求值 . 解答题 设函数 .其中 （ 1）求 的最小正周期； （ 2）当 时，求实数 的值，使函数 的值域恰为 并求此时在 上的对称中心 . 答案： (1)最小正周期 T= ；（ 2） ，对称中心为 . 试题分析： (1)将 降次化一得由此可得函数 的最小正周期；（ 2） ，从而可得 的值域，再由题设告知 的值域恰为这样可得 的值；再结合 的对称中心可求得 在 上的对称中心 . 试题： (1) 4分 函数 的最小正周期 T= . 5分 （ 2） 又 ， 8分 令 ，解得 ，对称中心为 . 12分 考点： 1、三角恒等变换； 2、三角函数的周期、值域及对称中心 . 在三棱柱 ABC-A1B1C1
7、中， AB BC CA AA1 2，侧棱 AA1 面 ABC，D、 E分别是棱 A1B1、 AA1的中点，点 F在棱 AB上，且 （ ）求证： EF 平面 BDC1； （ ）求二面角 E-BC1-D的余弦值 答案：（ I）详见；（ II）二面角 E-BC1-D的余弦值为 试题分析：（ I）由于 EF 与 BD在同一个平面内，显然考虑在 ABB1A1这个平面内证明这两条直线平行，这完全就是平面几何的问题了 .取 AB的中点 M，所以 F为 AM的中点，又因为 E为 的中点，所以 .又 分别为 的中点， ，且 ，所以四边形为平行四边形， ， ，由此可得 平面 . （ II）取 AB的中点 M，则
8、MB、 MC、 MD两两垂直，所以可以以 M为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角 E-BC1-D的余弦值 . 试题：（ I）证明：取 AB的中点 M， ，所以 F为 AM的中点，又因为 E为 的中点，所以 . 在三棱柱 中， 分别为 的中点， ，且 ， 所以四边形 为平行四边形， ， ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ II）以 AB的中点 M为原点，分别以 、 、 所在直线为 x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， ， ， ， ， ， 设面 BC1D 的一个法向量为 ，面 BC1E 的一个法向量为 ， 则由 得 取 ， 又由 得 取 ， 则 ， 故二面角
9、 E-BC1-D的余弦值为 12分 考点： 1、空间直线与平面的位置关系； 2、空间向量的应用； 3、二面角 . 设等差数列 的前 n项和为 ，且 ， （ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 前 n项和为 ，且 ，令 求数列的前 n项和 . 答案：（ ）数列 的通项公式 ；（ ） . 试题分析：（ ）设等差数列 的公差为 ，由题设可得以下方程组：， ， 解这个方程组即得： , ，由此即可得数列的通项公式； （ ）已知前 项和公式 求 ，则 . 在本题中，首先将（ ）中的通项公式代入得： ， 当 时， ，当 时， 且 时满足 ，所以数列 的通项公式为 ； 所以 .凡是等差数列与等比数列的积或商
10、，都用错位相消法求和，所以这个数列的和可用错位相消法求得 . 试题：（ ）设等差数列 的公差为 ， ， ， , ， 所以数列 的通项公式 ； 5分 （ ）因为 ， 当 时， ， 当 时， ， 且 时满足 ， 8分 所以数列 的通项公式为 ； 所以 ，所以 ，用错位相消法得： 12分 考点： 1、等差数列与等比数列； 2、错位相消法求和 . 某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ km/t）分成六段： 后得到如图 4的频率分布直方图 问：（ 1）求这 40辆小型车辆车速的众数和中位数的
11、估计值 .（ 2）若从车速在的车辆中任抽取 2辆，求抽出的 2辆车中车速在 的车辆数 的分布列及其均值（即数学期望） 答案：（ 1）众数的估计值等于 .中位数的估计值为： ； （ 2） 的分布列为： 0 1 2 均值 . 试题分析：（ 1）众数的估计值为最高的矩形的中点；如下图， 设图中虚线所对应的车速为 ，若 两侧的矩形的面积相等，则这个 就是中位数的估计值； （ 2）首先看随机变量可以取哪些值？从图中可知，这 40辆车中，车速在的车辆数为： 辆，车速在 的车辆数为：辆 .所以 .显然这是一个超几何分布，由此可得其分布列及期望 . 试题：（ 1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值
12、等于 （ 2分） 设图中虚线所对应的车速为 ，则中位数的估计值为： ，解得 即中位数的估计值为 (5分 ) （ 2）从图中可知，车速在 的车辆数为： （辆）， 车速在 的车辆数为： （辆） (7分 ) ， ， ， ， 的分布列为 : 0 1 2 (10分 ) 均值 . (12分 考点： 1、统计基础知识； 2、随机变量的分布列及期望 3、超几何分布 . 已知函数 当 时，若函数 存在零点，求实数 的取值范围并讨论零点个数； 当 时，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围 . 答案： 实数 a的取值范围是 .当 时， 2个零点；当 或， 1个零点 . 实数 m的取值范围是 试题分析
13、： 可将 看作一个整体，令 ，所以问题转化为一个二次函数的问题，结合二次函数的图象即可得解 . 当 时， 由此可得： ，记. 对 ，则分 和 两种情况，求出 在 上的范围，这个范围为集合 .因为对任意的 ，总存在 ，使成立，所以 ，由此可得一不等式组，解这个不等式组即可得 的取值范围 . 试题： 令 ， 函数 图象的对称轴为直线 ，要使 在 上有零点， 则 即 所以所求实数 a的取值范围是 . 3分 当 时， 2个零点；当 或 ， 1个零点 7分 当 时， 所以当 时， ，记 . 由题意，知 ，当 时， 在 上是增函数， ，记 . 由题意，知 解得 9分 当 时， 在 上是减函数， ，记 .
14、由题意，知 解得 11分 综上所述，实数 m的取值范围是 .12分 考点： 1、函数的零点； 2、函数的最值； 3、不等关系 . 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 在 上的最大值； （ 2）令 ，若 在区间 上不单调，求 的取值范围； （ 3）当 时，函数 的图象与 轴交于两点 ，且 ，又 是 的导函数 .若正常数 满足条件 .证明： . 答案：（ 1） -1；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）根据利用导数求函数在闭区间上的最值的方法即可求得 . （ 2）首先将 代入得 ，然后求导： . 在区间 上不单调，那么方程 在（ 0， 3）上应有实数解，且不是重根即解两侧的导数值小于
15、 0. 将方程 变形分离变量得： .下面就研究函数，易得函数 在 上单调递增，所以，（ ） .结合图象知， 时， 在（ 0，3）上有实数解 .这些解会不会是重根呢？ 由 得： ，若有重根，则 或 .这说明时，没有重根 . 由此得： . （ 3） 时， ，所以 . 有两个实根 ，则将两根代入方程，可得 . 再看看待证不等式： ，这里面不仅有 ，还有 ，那么是否可以消去一些字母呢？ 将 两式相减，得 ， 变形得： , 将此式代入上面不等式即可消去 ，整理可得： ，再变形得： 下面就证这个不等式 .这类不等式就很常见了，一般是将 看作一个整体，令 ，又转化为 ，只需证 即可而这利用导数很易得证 . 试题：（ 1） 函数 在 ,1是增函数，在 1,2是减函数， 3分 所以 4分 （ 2）因为 ，所以 ， 5分 因为 在区间 上不单调，所以 在（ 0， 3）上有实数解，且无重根， 由 ，有 = ，（ ） 6分 又当 时， 有重根 ； 时， 有重根 . 7分 综上 &
