1、2014届四川成都石室中学高三模拟考试一文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，则使 MN N成立的 的值是（ ） A 1 B 0 C -1 D 1或 -1 答案： C 试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以 .又因为 MN N，所以 . 考点：集合的特征及集合的基本运算 . 定义在 上的函数 ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是 ( ) A有两个 B有一个 C没有 D上述情况都有可能 答案： A 试题分析：显然 是偶函数，且在 递增 . 在上恒成立，所以 的图象至少向左平移 2个单位，即，所以 ，方程 的根有 2个 . 考点：函数与方程 . 设曲线 在点
2、处的切线与 轴的交点的横坐标为,令 ，则 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，所以曲线 在点 处的切线为 ，令 得 ，所以 . 考点： 1、导数的应用； 2、对数基本运算 . 设函数 的图像关于直线 对称 ,它的周期是 ,则（ ） A 的图象过点 B 的一个对称中心是 C 在 上是减函数 D将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 答案： B 试题分析：函数 的周期是 ,所以 ；图像关于直线 对称 ,所以 .因为 ，所以 .由此可知 是 的一个对称中心 . 考点：三角函数的图象及性质 . 阅读程序框图，若输入 ， ，则输出 分别是（ ） A B C D 答案： A 试题
3、分析：这是一个循环结构，每次循环的结果为：，这时 能被 整除 .最后输出. 考点：程序框图 . 下列说法中正确的是（ ） A “ ”是 “ ”必要条件 B命题 “ ， ”的否定是 “ ， ” C ，使函数 是奇函数 D设 ， 是简单命题，若 是真命题，则 也是真命题 答案： B 试题分析： A “ ”应该是 “ ”充分条件 .故 A错 . B全称命题： “ ”的否定为 “ ”.所以，命题 “ ，”的否定是 “ ， ”，正确 . C不论 为何值，函数 都不可能是奇函数 .故 C错 . D若 是真命题，那么 中有可能一真一假，这样 是假命题 .所以D错 . 考点：逻辑与命题 . 函数 的图像可能是
4、（ ） 答案： B 试题分析：显然这是一个奇函数，图象关于原点对称 .当 时， .所以选 D. 考点： 1、函数的奇偶性； 2、对数函数的图象 . 若实数 、 满足条件 则 的最大值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：作出不等式 表示的区域如图所示，从图可以看出，当时， 取最大值 . 考点：线性规划 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B CD 答案： C 试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下的正四棱锥，根据图中尺寸得体积为 . 考点：三视图及几何体的体积 . 复数 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A B C D 答案： A
5、试题分析： ，其共轭复数为 ，所以对应点为 . 考点：复数的基本概念及运算 . 填空题 已知 是函数 图象上的任意一点， 是该图象的两个端点， 点 满足 ，（其中 是 轴上的单位向量），若 ( 为常数 )在区间 上恒成立，则称 在区间上具有 “ 性质 ”.现有函数： ; ； ； . 则在区间 上具有 “ 性质 ”的函数为 . 答案： 已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：由题意得： . 考点：二次函数及重要不等式 . 在数列 中， ，则 . 答案： -1 试题分析： 由此可知 ，所以 . 考点：递推数列 已知函数 则 . 答案： 试题分析： . 考点：函数与指数运算
6、. 已知向量 、 满足 ，则 . 答案： 试题分析： 考点：向量的模与数量积 . 解答题 设 是公差大于零的等差数列，已知 ， . （ ）求 的通项公式； （ ）设 是以函数 的最小正周期为首项，以 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由题设可得一方程组： ，解这个方程组即得首项和公差，从而得通项公式；（ ），则此知最小正周期为 ，故首项为 1；因为公比为 3，从而 .所以 ，这是一个由等差数列与等比数列的差得到的数列，故采用分组求和的方法求和 . 试题：（ ）设 的公差为 ，则 解得 或（舍） 5 分 所以 6分 （ ） 其最小正周期为 ，故
7、首项为 1； 7分 因为公比为 3，从而 8分 所以 ，故 12分 考点： 1、等差数列与等比数列； 2、分组求和； 3、三角函数的周期 . 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， 为的中点， . （ ）求证： /平面 ； （ ）设 ，求四棱锥 的体积 . 答案：（ ）详见；（ ）体积为 3. 试题分析：（ ）为了证明 /平面 ,需要在平面 内找一条与平行的直线，而要找这条直线一般通过作过 且与平面 相交的平面来找 .在本题中联系到 为 中点，故连结 ，这样便得一平面 ，接下来只需证 与平面 和平面 的交线平行即可 . （ ）底面 为一直角梯形，故易得其面积，本题的关键是求出点 B到平面 的距
8、离 .由于 平面 ，所以易得平面 平面 .平面平面 根据两平面垂直的性质定理知，只需过 B作交线AC的垂线即可得点 B到平面 的距离，从而求出体积 . 试题：（ ）连接 ,设 与 相交于点 ,连接 ， 四边形 是平行四边 形 , 点 为 的中点 为 的中点， 为 的中位线 , 平面 , 平面 , 平面 6分 （ ） 平面 , 平面 , 平面 平面 ，且平面 平面 作 ，垂足为 ，则 平面 ， ， ， 在 Rt 中， ， ， 四棱锥 的体积 12分 考点： 1、直线与平面的位置关系； 2、多面体的体积 . 已知 的内角 A、 B、 C所对的边为 ， , ，且 与 所成角为 . （ ）求角 B的大
9、小； （ ）求 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） 的范围为 . 试题分析：（ ）由两向量的夹角公式得 ，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三角函数值，再根据角 B的范围便可得角 B的值 . （ ）由（ 1）知， ， A+C= 这样换掉一个角，可将 用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围 . 试题：（ ） 与向量 所成角为 ， ， 又 ， 6分 （ ）由（ 1）知， ， A+C= = = = ， 所以 的范围为 . 12分 考点： 1、三角恒等变换； 2、向量的运算 . 某小区在一次对 20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了 100份问卷进行统计，得
10、到相关的数据如下表： （ ）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？ （ ）据了解到，全小区节能意识强的人共有 350人，估计这 350人中，年龄大于 50岁的有多少人？ （ ）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽 5人，再从这 5人中任取 2人，求恰有 1人年龄在 20至 50岁的概率 . 答案：（ ）节能意识强弱与年龄有关；（ ）年龄大于 50 岁的有 280 人；（ ） . 试题分析：（ ）因为 20至 50岁的 54人有 9人节能意识强，大于 50岁的 46人有 36人节能意识强， 与 相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关；（ ）根据比例即可求得年龄大于 50岁的人数；（
11、 ）分层抽样就是按比例抽样，根据比例可求得，年龄在 20至 50岁的抽 1人，年龄大于 50岁的抽 4人，记这 5人分别为 A， B1， B2， B3， B4，从这 5人中任取 2人，将其结果一一列举出来，共有 10种不同的结果，数出其中 “恰有 1人年龄在 20至 50岁 ”的基本事件的个数，即可得所求概率 . 试题：（ ）因为 20至 50岁的 54人有 9人节能意识强，大于 50岁的 46人有36人节能意识强， 与 相差较大 1分，所以节 能意识强弱与年龄有关 2分 （ ）年龄大于 50岁的有 （人） 5分（列式 2分，结果 1分） （ ）抽取节能意识强的 5人中，年龄在 20至 50岁
12、的 （人） 8分， 年龄大于 50岁的 4人 8分，记这 5人分别为 A， B1， B2， B3， B4。 从这 5人中任取 2人，共有 10种不同取法 9分 完全正确列举 10分 设 A表示随机事件 “这 5人中任取 2人，恰有 1人年龄在 20至 50岁 ”，则 A中的基本事件有 4种：完全正确列举 11分 故所求概率为 12分 考点： 1、统计基础知识； 2、古典概型 . 已知 . （ ）当 时 ,判断 的奇偶性 ,并说明理由； （ ）当 时 ,若 ,求 的值； （ ）若 ,且对任何 不等式 恒成立 ,求实数 的取值范围 . 答案：（ ） 既不是奇函数 ,也不是偶函数；（ ）或 ； （
13、） 的取值范围是 . 试题分析：（ ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明 .当 时 , ，从式可以看出它既不是奇函数 ,也不是偶函数 .对既不是奇函数 ,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明 . （ ）当 时 , , 由 得 ，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值 符号 .这又是一个含有指数式的不等式，对这种不等式，一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出 的值 . （ ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值 .在本题中，分离参数比较容易 .分离参
14、数时需要除以 ，故首先考虑的情况 . 易得 时 , 取任意实数 ,不等式 恒成立 . ,此时原不等式变为 ；即 ，这时应满足：，所以接下来就求 的最大值和的最小值 . 试题：（ ）当 时 , 既不是奇函数也不是偶函数 , 所以 既不是奇函数 ,也不是偶函数 3分 （ ）当 时 , , 由 得 即 或 解得 或 （舍），或 . 所以 或 8分 （ ）当 时 , 取任意实数 ,不等式 恒成立 , 故只需考虑 ,此时原不等式变为 即 故 又函数 在 上单调递增 ,所以 ; 对于函数 当 时 ,在 上 单调递减 , ,又 , 所以 ,此时 的取值范围是 13分 已知函数 . ( )求 在 处的切线方程
15、； ( )求 的单调区间； （ ）若 ，求证： . 答案：（ ） ；（ ）当 ， 的单调增区间 ；当 时 ,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是；（ ）详见 . 试题分析：（ ）求出导数及切点，利用直线的点斜式方程即可得切线方程 . （ ）将 求导，利用 求得其递增区间， 求得其递减区间 . 在本题中， ，由 得：.当 , 的单调增区间 ； 当 时 ,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是. （ ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数 有什么关系？待证不等式可做如下变形： ，最后这个不等式与 有联系吗？我们往下看 . ,所以在 上 是增函数 . 因为 ，所以 即 从这儿可以看出，有点联系了 .同理， 所以 ， 与待证不等式比较，只要 问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证 . 试题：（ ） ， ，所以切线为： 即3分 （ ） ， ， 4分 ， , 5分 当 ， 的单调增区间 ； 6分 当 时 ,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是. 8分 （ ） ,所以在 上 是增函数 , 上是减函数 因为 ，所以 即 ,同理 . 所以 又因为 当且仅当 “ ”时，取等号 . 又 ， , 所以 ,所以 ， 所以： . 14分 考点： 1、导数的应用； 2、不等式的证明 .
