1、2014届广东省揭阳市高三 3月第一次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 满足： ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于 ，所以 ，故选 C. 考点：复数的除法 从 中任取一个数 ，从 中任取一个数 ，则使 的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 ， 时， ，即， 当 ， 时， ，即 ， 当 ， 时， ，即 ， 当 ， 时， ，即 ， 记事件 ： ，则事件 表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，即图中的六边形 ，易知 、 、 、 、 ，则 与 都是腰长为 的等腰直角三角形，且，四边形 是底边长为 ，高为 的矩形，因此六边形 的面积 ，因此，
2、事件 发生的概率为 ，故选 A. 考点： 1.含绝对值的不等式； 2.几何概型 已知以双曲线 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于 ，由题意知 ， ， 因此，双曲线 的离心率为 ，故选 B. 考点：双曲线的离心率 若 、 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 所表示的平面区域如下图所示，作直线，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点时，此时直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 ，当直线 经过可行域上的点 ，此时直线 在 轴上的
3、截距最大，此时 取最大值，即 ，因此 的取值范围是 ，故选 D. 考点：线性规划 已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知 ，即，解得 ，由于 ，因此 ，故选A. 考点： 1.平面向量垂直的充要条件； 2.平面向量的数量积 一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个圆柱而形成的，长方体的底面积为 ，高为 ，因此长方体的体积为，圆柱的底面是一个直径为 的圆，其半径长为 ，故其底面积为 ，高为 ，故圆柱的体积为 ，综上所述，该几何体的体积为
4、 ，故选 D. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 如图所示的程序框图，能使输入的 值与输出的 值相等的 值分别为（ ） A 、 、 B 、 C 、 、 D 、 、 、 答案： C 试题分析：由题意可知，函数的式为 . 当 时， ，令 ，即 ，解得 或 ，均合乎题意； 当 时， ，令 ，即 ，解得 ，合乎题意； 当 时， ，令 ，即 ，解得 ，舍去； 综上所述， 的取值为 、 或 ，选 C. 考点： 1.分段函数； 2.算法与程序框图 下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于函数 ，此函数为偶函数，且在区间 上单调递减， A 选项错误；对
5、于函数 ，此函数为偶函数，且当 时， ，故函数 在区间 上不单调， B选项错误；对于函数 ，该函数为偶函数，且函数 在区间 上单调递减， C选项错误；对于函数，定义域为 ，且 ，故该函数为偶函数，且当 时， ，结合图象可知，函数 在区间 上单调递增，合乎题意，故选 D. 考点：函数的奇偶性与单调性 设平面 、 ，直线 、 ， ， ，则 “ ， ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 、 是平面 内两条相交直线，且有 “ ， ”，则有 “ ”，当 “ ”，若 ， ，则有 “ ， ”
6、，因此 “ ， ”是 “ ”的必要不充分条件 .选 B. 考点： 1.平面与平面平行的判定定理与性质； 2.充分必要条件 设函数 的定义域为 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于函数 而言，自变量 满足 ，解得 ，所以 ，因此 ，故选 D. 考点： 1.函数的定义域； 2.集合的基本运算 填空题 如图， 是半圆的直径， 是 延长线上一点， 切半圆于点 ， ，垂足为 ，且 是 的中点，则 的长为 . 答案： . 试题分析：如下图所示，连接 ，设半圆 的半径为 ，则 ，在 中， ，所以 ，易知 ， ， ， . 考点：勾股定理 （坐标系与参数方程选做题）已知直线 （ 为参数且 ）
7、与曲线 （ 是参数且 ），则直线 与曲线 的交点坐标为 . 答案： . 试题分析：将直线 的方程化为斜截式得 ，由于 ，对于曲线 的参数方程 ，则有，因此曲线 的普通方程为 ，联立直线 与曲线 的方程得 ，解得 或，由于 故直线 与曲线 的交点坐标为 . 考点： 1.参数方程； 2.直线与曲线交点的求解 对于每一个正整数 ，设曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，令 ，则 . 答案： . 试题分析：利用导数求得曲线 在点 处的切线方程为，即 ， 它与 轴交于点 ，则有 ， . 考点： 1.利用导数求切线方程； 2.裂项求和 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 辆机动车的行驶速度（单位
8、：）绘制的频率分布直方图如图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为 ，则该时段内过往的这 辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的 值为 . 答案： ； . 试题分析：由题意知，属于正常行驶的车辆所占 的频率为，因此这 辆车中正常行驶的车有（辆），且有 ，解得 . 考点：频率分布直方图 若点 在函数 的图象上，则 的值为 . 答案： . 试题分析：由题意知 ，解得 ，所以 . 考点： 1.幂函数； 2.三角函数求值 解答题 已知函数 . （ 1）求函数 的定义域和最小正周期； （ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1）定义域为 ，最小正周期为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据三
9、角函数式的结构特点对自变量列约束条件从而求出函数的定义域，然后利用辅助角公式将三角函数式化为 的形式，最后利用周期公式 求函数 的最小正周期；（ 2）解法一是利用 结合 求出 的值，进而代数求出 的值；解法二是利用 得到 并结合 求出 的值，从而求出 的值，进而代数求出 的值 . 试题：（ 1） ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， ， 的最小正周期为 ； （ 2）解法 1：由 ， 且 ， ， ； 解法 2：由 ， ，得 ， 代入 ，得 ， ， ，又 ， ， ； 考点： 1.三角函数的定义域； 2.三角函数的基本性质； 3.同角三角函数的基本关系 图是某市 月 日至 日的空气质量指数趋势图，空
10、气质量指数（ ）小于 表示空气质量优良，空气质量指数大于 表示空气重度污染，某人随机选择 月 日至 月 日中的某一天到达该市，并停留 天 . （ 1）求此人到达当日空气质量优良的概率； （ 2）求此人停留期间至多有 1天空气重度污染的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）从图中找出 天内空气质量优良的天数，从而确定此人到达当日空气质量优良的概率；（ 2）将问题分为两种：一种是没有空气质量重度污染，另一种是只有一天空气质量重度污染，并从图中找出相应的天数，从而确定题中涉及事件的概率 . 试题：（ 1）在 月 日至 月 日这 天中，只有 日、 日共 天的空气质量优良，所以此人
11、到达当日空气质量优良的概率 ； （ 2）根据题意，事件 “此人在该市停留期间至多有 天空气重度污染 ”，即 “此人到达该市停留期间 天空气重度污染或仅有 天空气重度污染 ”. “此人在该市停留期间 天空气重度污染 ”等价于 “此人到达该市的日期是 日或日或 日 ”.其概率为 ， “此人在该市停留期间仅有 天空气重度污染 ”等价于 “此人到达该市的日期是日或 日或 日或 日或 日 ”.其概率为 ， 所以此人停留期间至多有 天空气重度污染的概率为 . 考点：古典概型 如图，四棱锥 的底面是正方形，侧棱 底面 ，过 作垂直 交 于 点，作 垂直 交 于 点，平面 交 于点，且 ， . （ 1）试证明
12、不论点 在何位置，都有 ； （ 2）求 的最小值； （ 3）设平面 与平面 的交线为 ，求证： . 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先证明 平面 ，再由 平面 得到 ；（ 2）将侧面 和侧面 沿着 展开至同一平面上，利用 、 、 三点共线结合余弦定理求出 的最小值，即线段 的长度；（ 3）先证平面 ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明 . 试题：（ 1） 底面 是正方形， ， 底面 ， 面 ， ， 又 ， 平面 , 不论点 在何位置都有 平面 ， ； （ 2）将侧面 绕侧棱 旋转到与侧面 在同一平面内，如下图示， 则当 、 、 三点共线时， 取最小值，这时
13、， 的最小值即线段 的长， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 在三角形 中，有余弦定理得： ， ； （ 3）连结 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 面 ， 平面 ， 平面 平面 ， . 考点： 1.直线与平面垂直； 2.空间几何体侧面展开图的应用； 3.余弦定理； 4.直线与平面平行的性质定理 已知曲线 的方程为： （ ， 为常数） . （ 1）判断曲线 的形状； （ 2）设曲线 分别与 轴、 轴交于点 、 （ 、 不同于原点 ），试判断 的面积 是否为定值？并证明你的判断； （ 3）设直线 与曲线 交于不同的两点 、 ，且 ，求曲线 的方程 . 答案：（ 1）圆；（ 2）
14、详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）在曲线 的方程两边同时除以 ，并进行配方得到，从而得到曲线 的具体形状；（ 2）在曲线 的方程中分别令 与 求出点 、 的坐标，再验证 的面积是否为定值；（ 3）根据条件 得到圆心在线段 的垂直平分线上，并且得到圆心与原点 的连线与直线 垂直，利用两条直线斜率乘积为 ，求出 值，并利用直线与圆相交作为检验条件，从而确定曲线 的方程 . 试题：（ 1）将曲线 的方程化为， 可知曲线 是以点 为圆心，以 为半径的圆； （ 2） 的面积 为定值 . 证明如下： 在曲线 的方程中令 得 ，得点 ， 在曲线 方程中令 得 ，得点 ， （定值）； （ 3） 圆 过坐标
15、原点，且 ， 圆心 在 的垂直平分线上， ， ， 当 时，圆心坐标为 ，圆的半径为 ， 圆心到直线 的距离 ， 直线 与圆 相离，不合题意舍去， ，这时曲线 的方程为 . 考点： 1.圆的方程； 2.三角形的面积； 3.直线与圆的位置关系 . 已知正项数列 满足： ，数列的前 项和为 ，且满足 ， . （ 1）求数列 和 的通项公式； （ 2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： . 答案：（ 1） ， ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）解以 为变量的一元二次方程得出数列 的通项公式，利用 与 之间的关系利用作差法求出数列 的通项公式；（ 2）先求出数列的通项公式，方法一是将 的前 项和中的
16、项一一配对并进行裂项展开，然后利用裂项法求 ，进而证明相应不等式；方法二是将数列 中的每一项进行拆开，然后逐项求和 ，进而证明相应不等式 . 试题：（ 1）由 ，得 ， 由于 是正项数列，所以 ， 由 可得当 时， ，两式相减得 ， 数列 是首项为 ，公比 的等比数列， ； （ 2） ， 方法一： ， ； 方法二： ， . 考点： 1.数列的通项； 2.裂项法求和 已知函数 ， . （ 1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值； （ 2）当 时，若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）设 ，在（ 1）的条件下，证明当 时，对任意两个不相等的正数 、 ，有 . 答案：（ 1） ；（
17、 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先求导 ，利用题中条件得到 ，从而求出实数的值；（ 2）解法一是构造新函数 ，问题转化为 来处理，求出导数 的根 ，对 与区间 的相对位置进行分类讨论，以确定函数 的单调性与最值，从而解决题中的问题；解法二是利用参数分离法将问题转化为 ，从而将问题转化为 来处理，而将视为点 与点 连线的斜率，然后利用图象确定 斜率的最小值，从而求解相应问题；（ 3）证法一是利用基本不等式证明和 ，再将三个同向不等式相加即可得到问题的证明；证法二是利用作差法结合基本不等式得到进而得到问题的证明 . 试题：（ 1） ，由曲线 在点 处的切线平行于轴得 ， ； （ 2）解法一：当 时， ，函数 在 上是增函数，有， -6分 当 时， 函数 在 上递增，在 上递减， 对 ， 恒成立，只需 ，即 ； 当 时，函数 在 上递减，对 ， 恒成立，只需， 而 ，不合题意， 综上得对 ， 恒成立， ； 解法二：由 且 可得 ， 由于 表示两点 、 的连线斜率， 由图象可知 在 单调递减， 故当 ， ， ，即 ； （ 3）证法一：由 ， 得 ， ， 由 得 ， 又 相关试题 2014届广东省揭阳市高三 3月第一次模拟考试文科数学试卷（带）
