1、2014届江苏南京市、盐城市高三第一次模拟考试理数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ，集合 ，则 . 答案： 试题分析：由题意可知集合 A表示四个实数，而集合 B表示非负实数，所以两个集合交集为 .最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点 . 考点：集合的运算 . 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和为 ，若对 恒成立，则 的最小值为 答案： 试题分析：易得 而 在 上单调递增，所以因此 的最小值为 本题难点在于将不等式对 恒成立转化为函数 的值域为 的一个子集 . 考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前 n项和 . 若关于 的不等式 对任意的正实数 恒成立，则实数 的
2、取值范围是 . 答案： 试题分析：解法一：由 得 由不等式 得 或所以 解法二：图像法 . 与 的图像不能同时在 轴上方或下方，所以它们与 轴的交点必然重合，所以本题难点在于将原不等式对正实数 恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集 . 考点：解不等式，不等式恒成立 . 若函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上是单调增函数 .如果实数 满足 时，那么 的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为函数 是定义在 上的偶函数，所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用 在 中， ， ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：由余弦定理得所以 等号当且仅当 取得 . 考点：余弦定理 ,基本不等式，向量数量
3、积 . 在平面直角坐标系 中，若圆 上存在 ， 两点关于点成中心对称，则直线 的方程为 . 答案： 试题分析：由题意得圆心与 点连线垂直于 ，所以 而直线 过 点，所以直线 的方程为 考点：点斜式，圆的几何性质 . 设函数 ，则 “ 为奇函数 ”是 “ ”的 条件 .（选填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”、 “既不充分也不必要 ”） 答案：必要不充分 试题分析：必要性：当 时， 为奇函数；而当 时，也为奇函数，所以充分性不成立 .解答此类问题，需明确方向 .肯定的要会证明，否定的要会举反例 . 考点：充要关系 . 在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，侧棱底面 ， ，
4、为 的中点，则四面体 的体积为 . 答案： 试题分析：显然 面 ，底面 的面积为 所以考点：三棱锥体积 . 在平面直角坐标系 中，若点 到直线 的距离为 ，且点 在不等式 表示的平面区域内，则 . 答案： 试题分析：由题意得 及 ，解得 考点：点到直线距离，点在区域内 . 若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 . 答案： 试题分析：先由复数乘法化为 ，再由纯虚数的概念得即 正确解答本题需正确理解纯虚数概念 . 考点：复数的运算，纯虚数的概念 . 现从甲、乙、丙 人中随机选派 人参加某项活动，则甲被选中的概率为 . 答案： 试题分析：从甲、乙、丙 人中随机选派 人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选
5、法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为 .枚举法是求古典概型概率的一个有效方法 . 考点：古典概型概率计算方法 . 根据如图所示的伪代码，最后输出的 的值为 . 答案： 试题分析：由题意得 .正确解决此类题目，需正确确定起始值和终止值 . 考点：伪代码 . 若一组样本数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则该组数据的方差 . 答案： 试题分析：由 得 所以考点：平均数及方差的概念 . 在平面直角坐标系 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 答案： 试题分析：因为抛物线的焦点为 所以 又 所以 而双曲线
6、的渐近线方程为 即 .解答本题需注意双曲线的焦点位置 . 考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点 . 解答题 已知点 在抛物线 ： 上 . （ 1）若 的三个顶点都在抛物线 上，记三边 ， ， 所在直线的斜率分别为 ， ， ，求 的值； （ 2）若四边形 的四个顶点都在抛物线 上，记四边 ， ， ，所在直线的斜率分别为 ， ， ， ，求 的值 . 答案：（ 1） 1，（ 2） 0. 试题分析： (1)利用抛物线方程将横坐标用纵坐标表示 ,即 结合两点斜率公式进行化简求值，(2)类似（ 1）的解法 , 本题实质是抛物线参数方程的应用 .求代数的值就是消去所有参数的过程，用尽量少的参数正确表示式
7、试题： 解：（ 1）由点 在抛物线 ，得 ， 抛物线 ： ， 3分 设 ， ， . 7分 (2)另设 ，则 . 10分 考点：两点斜率公式，抛物线上点的设法 . 已知 ， ， 为正实数，若 ，求证： . 答案：详见 试题分析： 利用基本不等式 得 同理可得,三式相加就可得所求结论 .准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用基本不等式进行放缩证明是解决本题的关键 . 试题： 解： ， . 10分 考点：基本不等式应用 . 在极坐标系中，圆 的方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），若直线 与圆 相切，求实数 的值 . 答案： 或
8、试题分析： 先利用 将圆的极坐标方程化为对应的普通方程、再消去参数 将直线的参数方程化为对应的普通方程，最后根据圆心到直线距离等于半径求出 的值 . 试题： 解：易求直线 ： ，圆 ： ， 依题意，有 ，解得 或 . 10分 考点：极坐标方程、参数方程化普通方程，直线与圆相切 . 已知曲线 ： ，若矩阵 对应的变换将曲线 变为曲线，求曲线 的方程 . 答案： 试题分析： 解决本题关键有两点，一是熟练掌握二阶矩阵左乘向量的运算，即，主要注意点是对应；二是利用 “相关点法 ”求轨迹方程 .根据原曲线上点与对应点的关系 ，及 ，平方相减得，从而解出所求轨迹方程 . 试题： 解：设曲线 一点 对应于曲
9、线 上一点 ， ， ， ， 5分 ， ， ， 曲线 的方程为. 10分 考点：矩阵与向量乘积 . 如图， ， 是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于 的中点 ，若， ，求 的长 . 答案： 试题分析： 由相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 ,得，利用等量代换及勾股定理，得到代入等式变形就可得到所要求的 试题： 解： 为 中点， ， ， 5分 又 ，由 ，得 . 10分 考点：相交弦定理，勾股定理 . 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， . （ 1）求 ； （ 2）若从 中抽取一个公比为 的等比数列 ，其中 ，且， . 当 取最小值时，求 的通项公式； 若关于 的不等式
10、 有解，试求 的值 . 答案：（ 1） ，（ 2） ， 试题分析： （ 1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发 .由等差数列前 n项和公式 求出公差 d即可，（ 2） 利用等比数列 每一项都为等差数列 中项这一限制条件，对公比 逐步进行验证、取舍，直到满足 .因为研究的是 取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比 ， 由 易得 与 的函数关系 ，并由为正整数初步限制 取值范围，当 且 时适合题意，当 且时，不合题意 .再由不等式 有解，归纳猜想并证明 取值范围为本题难点是如何说明当 时不等式 即 无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明 . 试题 ：
11、（ 1）设等差数列的公差为 ，则 ，解得 ， 2分 所以 . 4分 （ 2）因为数列 是正项递增等差数列，所以数列 的公比 ， 若 ，则由 ，得 ，此时 ，由， 解得 ，所以 ，同理 ； 6分 若 ，则由 ，得 ，此时 ， 另一方面， ，所以 ，即 ， 8分 所以对任何正整数 ， 是数列 的第 项所以最小的公比 所以 10分 （ 3）因为 ，得 ，而 ， 所以当 且 时，所有的 均为正整数，适合题意； 当 且 时， 不全是正整数，不合题意 . 而 有解，所以 有解，经检验，当 ， ，时， 都是 的解，适合题意； 12分 下证当 时， 无解 , 设 ， 则 ， 因为 ，所以 在 已知函数 ， .
12、 （ 1）若 ，则 ， 满足什么条件时，曲线 与 在 处总有相同的切线？ （ 2）当 时，求函数 的单调减区间； （ 3）当 时，若 对任意的 恒成立，求 的取值的集合 . 答案：（ 1） 且 ，（ 2）当 时，函数 的减区间为， ； 当 时，函数 的减区间为 ；当 时，函数 的减区间为 ， ，（ 3） . 试题分析：（ 1）根据导数几何意义分别求出曲线 与 在 处的切线斜率，再根据两者相等得到 ， 满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件 ，（ 2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号 .本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小关系分别讨论单调减
13、区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（ 3）本题恒成立转化为函数 最小值不小于零，难点是求函数的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明 .另外，本题易想到用变量分离法，但会面临 问题，而这需要高等数学知识 . 试题：（ 1） ， ，又 ， 在 处的切线方程为 ， 2分 又 ， ，又 ， 在 处的切 线方程为 ， 所以当 且 时，曲线 与 在 处总有相同的切线 4分 （ 2）由 ， ， ， ， 7分 由 ，得 ， ， 当 时，函数 的减区间为 ， ； 当 时，函数 的减区间为 ； 当 时，函数 的减区间为 ， . 10分 （ 3）由 ，则 ， ， 当 时， ，函数 在 单调递增， 又
14、， 时， ，与函数 矛盾， 12分 当 时， ， ； ， 相关试题 2014届江苏南京市、盐城市高三第一次模拟考试理数学试卷（带） 在平面直角坐标系 中，已知过点 的椭圆 ： 的右焦点为 ，过焦点 且与 轴不重合的直线与椭圆 交于 ， 两点，点关于坐标原点的对称点为 ，直线 ， 分别交椭圆 的右准线 于 ，两点 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若点 的坐标为 ，试求直线 的方程； （ 3）记 ， 两点的纵坐标分别为 ， ，试问 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 . 答案：（ 1） ，（ 2） ，（ 3） . 试题分析：（ 1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法 .关键
15、是找全所需条件 . 椭圆中 三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆定义：点 到两个焦点距离和为 ，求出 的值，再由 求出 的值，就可得到椭圆的标准方程（ 2）由点 关于坐标原点的对称点为 ，可直接写出点 坐标；又由点及 ，可得直线 方程，再由 方程与椭圆方程解出 A点坐标，根据两点式就可写出直线 的方程，（ 3）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，先根据直线 AB垂直 轴的特殊情况下探求 的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值 .本题难点在如何利用条件消去参数 . 点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键 . 试题：（ 1）由题意，得 ，即 ，
16、 2分 又 ， ， 椭圆 的标准方程为 . 5分 K （ 2） ， ，又 ， ， 直线 ： ， 7分 联立方程组 ，解得 ， 9分 直线 ： ，即 . 10分 （ 3）当 不存在时，易得 , 当 存在时，设 ， ，则 ， ， ，两式相减， 得， ，令 ，则 ， 12分 直线 方程： ， ， ， 直线 方程： 相关试题 2014届江苏南京市、盐城市高三第一次模拟考试理数学试卷（带） 如图，现要在边长为 的正方形 内建一个交通 “环岛 ”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 （ 不小于 ）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 的圆形草地 .为了保证道路畅通，岛口宽不小于 ，绕岛行驶
17、的路宽均不小于 . （ 1）求 的取值范围；（运算中 取 ） （ 2）若中间草地的造价为 元 ，四个花坛的造价为 元 ，其余区域的造价为 元 ，当 取何值时，可使 “环岛 ”的整体造价最低？ 答案： (1) ,(2) . 试题分析：（ 1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得 的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（ 2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值 .难点在所列函数式是四次，其导数为三次，在判定区间导数
18、符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构 . 试题：（ 1）由题意得， 4分 解得 即 . 7分 （ 2）记 “环岛 ”的整体造价为 元，则由题意得 ， 10分 令 ，则 ， 由 ，解得 或 ， 12分 列表如下： 9 (9,10) 10 (10,15) 15 - 0 0 极小值 所以当 ， 取最小值 . 答：当 时，可使 “环岛 ”的整体造价最低 . 14分 考点：利用导数求最值，解不等式 . 如图，在正三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）要证线面平行
19、，需有线线平行 .由 ， 分别为 ， 的中点，想到取 的中点 ；证 就成为解题方向，这可利用平行四边形来证明 .在由线线平行证线面平行时，需完整表示定理条件，尤其是线在面外这一条件；（ 2）要证面面垂直，需有线面垂直 .由正三棱柱性质易得底面侧面 ， ，从而 侧面 ,而 ，因 此有线面垂直：面 .在面面垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用几何体及平面几何中的垂直条件 . 试题：（ 1）连 交 于点 ， 为 中点， ， 为 中点， ， ， 四边形 是平行四边形， 4分 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . 7分 （ 2）由（ 1）知 ， ， 为 中点，所以 ，所以， 9分 又因为 底面 ，而
20、 底面 ，所以 ， 则由 ，得 ，而 平面 ，且 ， 所以 面 ， 12分 又 平面 ，所以平面 平面 . 14分 考点：线面平行及面面垂直的判定定理 . 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， . （ 1）若 的面积等于 ，求 ， ； （ 2）若 ，求 的面积 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用余弦定理 及面积公式 ，列方程组就可求出 ， ；（ 2）要求三角形面积，关键在于求出边长 .但已知等式条件不能直接利用正余弦定理将角化为边，所以先根据诱导公式将 化为再利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，得，此时约分时注意讨论零的情况 .当 时， ，；当
21、时，得 ，对这一式子有两个思路，一是用正弦定理化边，二是继续化角， 试题：（ 1）由余弦定理及 已知条件得， ， 2分 又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4分 联立方程组 解得 ， 7分 （ 2）由题意得 ，即 ， 当 时， ， ， ， ， 10分 当 时，得 ，由正弦定理得 ， 联立方程组 解得 ， 13分 所以 的面积 14分 考点：正余弦定理，面积公式 . 设 是给定的正整数，有序数组（ ）中 或 . （ 1）求满足 “对任意的 ， ，都有 ”的有序数组（ ）的个数 ； （ 2）若对任意的 ， ， ，都有 成立，求满足 “存在，使得 ”的有序数组（ ）的个数 . 答案：（ 1） ，（ 2
22、） . 试题分析： （ 1）正确理解每一偶数项与前相邻奇数项是相反数，而与后相邻奇数项相等或相反；因此分组按（奇、偶）分为 组，每组有 2 种可能，各组可能互不影响，共有 种可能， （ 2）在（ 1）的基础上，某些组可能为（ 2,2）或（ -2， -2），需讨论这些组个数的情况，最少一个，最多 个 .另外条件 “对任意的 ， ， ，都有 成立 ”控制不能出现各组都为 2或 -2的情况，而是间隔出现（ 2,2）、（ -2， -2） . 试题： 解：（ 1）因为对任意的 ，都有 ，则 或共有 种，所以 共有 种不同的选择，所以 . 5分 （ 2）当 存在一个 时，那么这一组有 种，其余的由（ 1）知有 ，所有共有 ； 当存在二个 时，因为条件对任意的 ,都有 成立得这两组共有 ， 其余的由（ 1）知有 ，所有共有 ； 依次类推得： . 10分 考点：分步（乘法）计数原理，二项式定理应用 .
