1、2014届江西师大附中高三年级上学期期中考试文数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则等于（ ） AB C D 答案： C 试题分析： ， ，故 = ，选 C. 考点： 1、函数的定义域； 2、一元二次不等式的解法； 3、集合的运算 . 已知函数 的图像在点 处的切线 与直线垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，由已知得 ，所以 ，所以，所以 ，故 = . 考点： 1导数的几何意义； 2、数列的前 n项和 . 已知等比数列 满足 ，且 ，则当时， （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为数列 是等比数列，所以
2、，所以，故 = = . 考点： 1、等比数列的通项公式； 2、等差数列的前 n项和； 3、对数的运算性质 . 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点的 ( ) A横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 答案： B 试题分析：将函数 中的 x变为 2x，即得到 ，故横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，选 B. 考点：三角函数的图象变换 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图还原几何体，如图所示，为圆柱被一个
3、不垂直于轴线的平面所截得到的几何体，其体积为 . 考点： 1、三视图； 2、几何体的体积 . 在平行四边形 中， 为一条对角线， ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 . 考点：向量的线性运算 . 下列四个函数中，在区间 上是减函数的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由对数函数和幂函数的单调性可知， A,D在 递增；由指数函数的单调性可知 在 内单调递减，故 递增；由反比例函数的图象可知，函数在 上是减函数，选 B. 考点：基本初等函数的单调性 . 已知直线 、 ，平面 、 ，且 ， ，则 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
4、既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 时，因为 ，故 ，又 ， ；当 时，可能相交，所以选 A. 考点： 1、面面平行的判定和性质； 1、充分条件和必要条件 . 已知 为等差数列，若 ，则 （ ） A 15 B 24 C 27 D 54 答案： C 试题分析：由已知 ,故 ，即 ， = . 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的前 n项和 . 下列命题中是假命题的是（ ） A B , C , D 答案： B 试题分析： ， ，故 B是假命题 . 考点：全称命题和特称命题的真假判断 . 填空题 已知 分别是 的三个内角 所对的边，若 ，则. 答案： 试题分析：由已知得 ，化简
5、,所以 ， ， ， 考点： 1、正弦定理； 2、两角和的正弦公式 . 已知向量 、 的夹角为 , ，则 . 答案： 试题分析：由向量 、 的夹角为 , 得 ，故 = 考点： 1、向量的数量积运算； 2、向量的模和夹角 . 已知方程 在 上有解，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析：由 ，参变分离得 ，记，且 ，所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 . 考点：二次函数的值域 . 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：因为 三点共线，所以可设 ,故，又 ，所以 ，解得 . 考点： 1、向量共线定理； 2、平面向量基本定理 . 若 ，则 . 答案： 试题分析：
6、由 得 ，故. 考点： 1、诱导公式； 2、同角三角函数基本关系式 . 解答题 已知向量 ，向量 ，函数 . （ 1）求 的最小正周期 ； （ 2）已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ，且 恰是 在 上的最大值，求 和 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）首先根据向量和的坐标运算和向量数量积的坐标表示将函数的式化为 的形式，再利用 和 的关系求周期；（ 2）先根据 确定的取值范围，再结合 的图像求出 的范围，进而求在 上的最大值即 ，进而确定 ，此时三角形知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理列关于 的方程，解之即可 . 试题：（ 1） ， ， （ 2）由（ 1）知： ， 时
7、 , 当 时 取得最大值 ，此时 . 由 得 由余弦定理，得 ， . 考点： 1、向量的线性运算和数量积运算； 2、 型函数的值域；3、余弦定理 . 已知单调递增的等比数列 满足： ，且 是 的等差中项 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若 ， ，求使 成立的正整数的最小值 . 答案：（ 1） ;(2)5 试题分析：（ 1）由等差中项得 ，再联立 列方程并结合等比数列的单调性求 ，进而根据等比数列的通项公式求 ；（ 2）求数列的前 n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式特点来选择适合的求和方法，该题由（ 1）得 ，代入 中，可求得 ，故可采取错位相减法求 ，然后代入不等式 中，得关于
8、 n的不等式，进而考虑其不等式解即可 . 试题：（ 1）设等比数列 的首项为 ，公比为 依题意，有，代入 ，得 ， ，解之得 或 又数列 单调递增，所以 ， ， 数列 的通项公式为 （ 2） ， ， ， 两式相减，得 即 ，即 易知：当 时， ，当 时， 使 成立的正整数 的最小值为 5. 考点： 1、等差中项； 2、等比数列的通项公式； 3、数列求和 . 已知 （ 1）求证：向量 与向量 不可能平行； （ 2）若 ，且 ，求 的值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）可先假设 成立，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式和降幂公式，化简得 ，再判断方程无解，即可判断 ， 不平行；
9、（ 2）根据向量数量积的坐标表示列方程，并化为 的形式，先由得的范围，然后结合 的图像，得 的值，从而确定 的值 . 试题：（ 1）假设 ，则 ，即 ， ，与 矛盾， 假设不成立， 与 不可能平行 . （ 2）由 ， 得 又 ， ， ， 考点： 1、正弦的二倍角公式和降幂公式； 2、向量的数量积运算； 3、三角函数的图像 . 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，过点的直线 与椭圆 交于不同的两点 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由离心率为 ，得 ，再根据椭圆 C过点 ，代入得 ，联立之可求得 的值，进而写出椭圆方程；（ 2）考察直
10、线和椭圆的位置关系，一般要将直线方程和椭圆方程联立，得关于某一变量的一元二次方程，设交点，然后利用韦达定理达到设而不求的目的，同时要注意的隐含条件，该题设直线方程为 ，代入椭圆方程得，则 0,得 的范围，设交点 ，将 表示为 ，然后利用韦达定理将其表示为 的式子，进而可以看成是自变量为 的函数 ，求其值域即可 . 试题：（ 1）由题意得 解得 ， 椭圆 的方程为 （ 2）由题意显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 由 得 . 直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ， ，解得 .设 ， 的坐标分别为 ， ，则 ， ， ， ， 的取值范围为 考点： 1、椭圆的方程及简单几何性质； 2、向量的数量
11、积运算； 3、韦达定理 . 已知 （ 1）求函数 在 上的最小值； （ 2）对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）证明：对一切 ，都有 成立 . 答案： (1) ;（ 2） ；（ 3）详见 试题分析：（ 1）先求 的根得 ，然后讨论 与定义域 的位置，分别考虑其单调性，因为 ，故只有两种情况 ，此时0，最小值为 ； ，此时 递减， 递增，故最小值为 ；（ 2）将不等式 参变分离得，记函数 ，只需求此函数的最小值即可；（ 3）证明 ，一般可构造差函数或商函数，即 ，或 （需考虑 的符号），然后只需考虑函数 的最值，如果上述方法不易处理，也可说明 ，虽然这个条件不是 的等价条件，但是有此条件能充分说明 成立，该题可以先求先将不等式恒等变形为 ，然后分别求 的最小值和函数 的最大值即可 . 试题：（ 1）由已知知函数 的定义域为 ， ， 当 单调递减，当 单调递增 . 当 时，没有最小值； 当 ，即 时， ； 当 即 时， 在 上单调递增， ； （ 2） ，则 ， 设 ，则 ， 单调递减， 单调递增， ，对一切 恒成立， . （ 3）原不等式等价于 ， 由（ 1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到， 设 ，则 ， 易知 ，当且仅当 时取到， 从而对一切 ，都有 成立 . 考点： 1、导数在单调性方面的应用； 2、利用导数求函数的最值 .
