1、2014届辽宁沈阳市高三教学质量监测（一）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ,集合 , ,则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ， ，所以 ，所以，故选 C 考点： 1、集合的表示法（列举法）；集合的并、补运算 . 已知函数 是 R上的可导函数，当 时，有 ,则函数的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析： 当 时 , , 即当 时 ,由 式知 , 在 上为增函数 ,且 , 在 上恒成立 .又 ,所以 在 上恒成立 . 在 上无零点 .当 时 , , 在 上为减函数 ,且 , 在 上恒成立 .所以在在 上为减函数 ,且当时 , ,
2、 当 时 , ,所以 在上有唯一零点 .综上所述 , 所以 在 上有唯一零点 .故选. 考点： 1、导数与函数单调性的关系； 2、函数的零点存在性； 2、分类讨论的思想方法 . 已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上，若平面 ， ，且 ，,则球 的表面积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 平面 ， ，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即 ， 球 的表面积 ，故选 C. 考点： 1、空间几何体的位置关系； 2、球的表面积 . 已知直线 （ ）经过圆的圆心，则 的最小值是 ( ) A 9 B 8 C 4 D
3、2 答案： A 试题分析：由圆的一般方程 ,知 ,所以 ,圆心的坐标为 又因为直线 （ ）经过该圆心 .所以 ,即 所以 , 因为 ,所以 ,所以 , 当且仅当 ,即 时 ,取 “=”号 .故选 考点： 1、基本不等式； 2、圆的方程 . 有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是 ( ) A输出使 成立的最小整数 . B 输出使 成立的最大整数 . C输出使 成立的最大整数 +2. D输出使 成立的最小整数 +2. 答案： D 试题分析：写出经过几次循环得到的结果，得到求的 的形式，判断出框图的功能 经过第一次循环得到 经过第二次循环得到 经过第三次循环得到 该程序框图表示算法的功
4、能是求计算并输出使成立的最小整数 再加上 以后的值 .故应选 D 考点：循环结构 . 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此双曲线的离心率为 ( ) A 2 B C 3 D 4 答案： A 试题分析：将抛物线 方程化为标准形式 ，可知其焦点为 ，这也正是双曲线 的一个焦点，所以 解得： ，即 ，. 故选 A. 考点： 1、双曲线的标准方程与几何性质； 2、抛物线的标准方程与几何性质 . 某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统 计，得到样本频率分布直方图 (如图 )，则这名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于分的学生数是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：该次自主招生
5、水平测试中成绩不低于分的学生数 = = 故选 D. 考点： 1、频率分布直方图的概念； 2、利用频率分布直方图求频率、频数 . 在满足不等式组 的平面点集中随机取一点 ，设事件=“ ”，那么事件 发生的概率是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：不等式组 对应的平面区域如下图中的阴影图形 全部基本事件对应的平面区域为 ,事件 =“ ”对应的平面区域为其中位于直线 下方的部分 ,即 ,由几何概型知：，故选 B. 考点： 1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的作法； 2、几何概型 . 在等比数列 中，若 ， 是方程的两根，则 的值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为
6、 是方程 的两根 , 由韦达定理知 ,而 是 的等比中项 ,所以 ,解得：. 但考虑到 ,所以 应同号 ,而 ,说明,从而有 .故选 C.此题容易错选 A. 考点： 1、等比数列的概念； 2、等比中项的性质； 3、一元二次方程根与系数的关系 . 已知 ，则 “ ”是 “”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：解不等式 得 ；解不等式得 ； 因为 ，而 ， 所以 “ ”是 “”的必要不充分条件，故选 B 考点： 1、一元一次、二次不等式的解法； 2、充要条件 . 设向量 ， ，若满足 ，则 ( ) A B C D 答案： D 试
7、题分析：因为 ,所以 , ,解得： ，故选 D. 考点：向量共线的条件 . 若复数 满足 ，则 的虚部为 ( ) A B - C 4 D -4 答案： A 试题分析：因为 ,所以 ,故选A. 考点： 1、复数的概念； 2、复数的除法 . 填空题 已知 为定义在 上的偶函数，当 时，有 ，且当 时，给出下列命题： 的值为 0； 函数 在定义域上为周期是 2的周期函数； 直线 与函数 的图像有 1个交点； 函数 的值域为 . 其中正确的命题序号有 . 答案： 试题分析：根据题意 ,可在同一坐标系中画出直线 和函数 的图象如下 : 由图可知 ,(1)(3)(4)正确 . 考点： 1、对数函数； 2、
8、函数的奇偶性； 3、函数的周期性 . 定义运算： ，例如： ， ，则函数的最大值为_. 答案： 试题分析： 且当 时， ；当 或 时， 易知：当 时， 当 时， 所以 的最大值是 4. 考点： 1、函数（分段函数）的概念； 2、二次函数的图象和性质； 3、分段函数的最值问题 . 已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且 ，则角 的大小为 . 答案： 试题分析：根据正弦定理： ， ，即： ， ， 考点： 1、正弦定理； 2、两角和与差的三角函数公式 . 某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _. 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体是一具正方体挖去一个和正方体等高的圆锥后的组合体，并且圆
9、锥的底面是正方体的上底面的内切圆 ,如图 . .所以填 : 考点： 1、几何体的体积； 2、三视图 . 解答题 已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 、相交于 、 两点 .（ ） （ ）求 、 两点的极坐标； （ ）曲线 与直线 （ 为参数）分别相交于 两点，求线段 的长度 . 答案：（ ）： 或；（ ） . 试题分析：（ ）由 得： 即可得到 .进而得到点 的极坐标 . （ ）由曲线 的极坐标方程 化为 ,即可得到普通方程 .将直线 代入 ,整理得 .进而得到 . 试题：（ ）由 得： ，即 3分 所以 、 两点的极坐标为： 或 5分 （ ）由曲线 的极坐标方程得其普通方
10、程为 6分 将 直线 代入 ，整理得 8分 所以 考点： 1、点的极坐标和直角坐标的互化； 2、参数方程化成普通方程 如图，已知圆 与圆 外切于点 ，直线 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于 两点， 是圆 的直径，过 作圆 的切线，切点为 . （ ）求证： 三点共线； （ ）求证： . 答案：证明见 试题分析：（ I）连接 ，由于 是圆 的直径，可得 作圆与圆 的内公切线 交 与点 利用切线的性质可得：，再利用三角形的内角和定理可得，进而证明三点共线 （ II）由切线的性质可得 ，利用射影定理可得 再利用切割线定理可得 ，即可证明 试题：（ ）连结 PC， PA， PB， BO2， 是圆 O1
11、的直径 2分 连结 O1O2必过点 P 是两圆的外公切线， 为切点 由于 又因为 三点共线 5分 （温馨提示：本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论，请判卷老师酌情给分！） （ ） CD切圆 O2于点 D 7分 在 中， ，又 故 10分 考点： 1、两圆的公切线的性质； 2、射影定理和切割线定理 . 已知两点 ，直线 AM、 BM相交于点 M，且这两条直线的斜率之积为 . （ ）求点 M的轨迹 方程； （ ）记点 M的轨迹为曲线 C，曲线 C上在第一象限的点 P的横坐标为 1，直线 PE、PF与圆 （ ）相切于点 E、 F，又 PE、 PF与曲线 C的另一交点分别为 Q、 R. 求 OQ
12、R的面积的最大值（其中点 O为坐标原点） . 答案：（ ）（ ）；（ ） . 试题分析：（ ）设点 的坐标为 则 , ,化简可得轨迹方程 . （ ）设出直线 PE、 PF的点斜式方程 ,分别求出它们与圆 （ ）相切条件下与曲线 C的另一交个交点 Q、 R.的坐标 ,写出直线 的方程 ,点到直线的距离公式可求 的底边 上的高 .进而得出 面积的表达式 ,再探索用基本不等式求该式最值的方法 . 试题：（ ）设点 ， 2分 整理得点 M所在的曲线 C的方程：（ ） 3分 （ ）由题意可得点 P（ ） 4分 因为圆 的圆心为（ 1， 0）， 所以直线 PE与直线 PF的斜率互为相反数 5分 设直线 P
13、E的方程为 ， 与椭圆方程联立消去 ，得： ， 6分 由于 1是方程的一个解， 所以方程的另一解为 7分 同理 8分 故直线 RQ的斜率为 = 9分 把直线 RQ的方程 代入椭圆方程，消去 整理得 所以 10分 原点 O到直线 RQ的距离为 11分 12分 考点： 1、动点轨迹方程的求法； 2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系； 3、基本不等式的应用 . 已知函数 ， . （ ）若 与在 处相切，试求的表达式； （ ）若 在上是减函数，求实数 的取值范围； （ ）证明不等式： . 答案：（ ） ；（ ） .（ ）见 试题分析：（ ）求导数，利用与 在 处相切，可求 的表达式；（ ）在 上是减函数
14、，可得导函数小于等于 在 上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数 的取值范围；（ ）当 x2时，证明 ，当 x 1时，证明 ，利用叠加法，即可得到结论 试题：解：（ ）由已知 且 得： 2分 又 3分 （ ） 在上是减函数， 在上恒成立 . 5分 即 在上恒成立，由 ， 得 6分 （ )由（ ）可得：当 时： 得： 8分 当 时： 当 时： 当时： 当 时： ， 上述不等式相加得： 即： 9分 由（ ）可得：当 时： 在上是减函数 当 时： 即 所以 从而得到： 相关试题 2014届辽宁沈阳市高三教学质量监测（一）理科数学试卷（带） 四棱锥 ，底面 为平行四边形，侧面 底面 .已知 ，
15、， 为线段 的中点 . （ ）求证： 平面 ； （ ）求面 与面 所成二面角大小 . 答案：（ ）见 （ ） 试题分析： ( )要证直线与平面平行，可先寻求直线与直线平行；连结 交于点 ，连结 ， 可证 .( )由 ， ， ,可得 ,根据余弦定理得 : = = 和 都是等腰三角形 ,再借助于侧面 底面 ,以 所在直线为轴 ,以 的中点为坐标原点 ,建立空间直角坐标系即可 . 试题：解： ( ) 连结 交于点 ，连结 由于底面 为平行四边形 为 的中点 . 2分 在中， 为 的中点 3分 又因为 面 ， 面 ， 平面 . 5分 ( )以 的中点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立如图所示的坐标系
16、. 则有 ， ， ， ， ， ， 7分 设平面 的一个法向量为 由 得 ， 令 得： -9分 同理设平面 的一个法向量为 由 得 ， 令 得： 10分 设面 与面 所成二面角为 相关试题 2014届辽宁沈阳市高三教学质量监测（一）理科数学试卷（带） 某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）： 围棋社 舞蹈社 拳击社 男生 5 10 28 女生 15 30 m 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18人，结果拳击社被抽出了 6人 . （ ）求拳击社团被抽出的 6人中有 5人是男 生的概率； （ ）设拳击社团有 X名女生被抽出，求
17、 X的分布列及数学期望 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）先根据分层抽样的特点求出 的值，然后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可； （ ）由题意可知： =0， 1， 2，然后根据古典概型及其概率计算公式分别求出相应的概率，写出分布列，最后利用数学期望公式解之即可 试题：解：（ ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18人，拳击社被抽出了 6人 3分 设 “拳击社团被抽出的 6人中有 5人是男生 ” 6分 （ ）由题意可知： ， 1， 2 ， 9分 X 0 1 2 P -11分 12分 考点： 1、离散型随机变量及其分布列； 2、古典概型及其概率计算公式； 3、离散型随
18、机变量的期望与方差 已知函数 ，记函数的最小正周期为 ，向量 ，( )，且 . ( )求 在区间 上的最值； ( )求 的值 . 答案： ( )、 的最大值是，最小值是 ； ( ) . 试题分析： ( ) 利用两角和与差的三角函数公式将 化成只含一个角的三角函数即可根据其在指定区间上的单调性求其最值 . ( )首先利用 ,求出角 的一个三角函数值 ,再利用 ( )中所得 值二倍角公式、平方关系等三角公式将 化简 ,然后求值 . 试题： ( ) = 3分 ， 4分 的最大值是，最小值是 6分 ( ) 7分 9分 = = = = 12分 (此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理 ) 考点： 1、同角三角函数的基本关系； 2、两角和与差的正弦公式、二倍角公式； 3、三角函数的性质 . 已知函数 . （ ）若 ，使得不等式成立，求 的取值范围； （ ）求使得等式 成立的的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据 = 求出的最小值，从而求得得不等式 成立的 的取值范围 （ ）由 = ，可知当且仅当 时有，从而 成立 .解不等式 由此求得 的取值范围 试题：（ ）由 = 3分 使得不等式 成立的 的取值范围是 5分 （ ）由 = 7分 所以 ，当且仅当 时取等 9分 所以的取值范围是 10分 考点： 1、绝对值不等式的性质； 2、绝对值不等式的解法
