1、2014届陕西西工大附中高三上学期第一次适应性训练理数学卷（带解析） 选择题 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：. 考点：复数的基本运算 下图是两组各 名同学体重（单位： ）数据的茎叶图设 ， 两组数据的平均数依次为 和 ，标准差依次为 和 ，那么（ ） （注：标准差 ，其中 为 的平均数） A ， B ， C ， D ， 答案： C 试题分析： ，所以 ， . 考点： 1.茎叶图； 2.平均数与标准差 定义运算 为执行如图所示的程序框图输出的 s值，则的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：由程序框图可知， ， ， ，所以 . 考点： 1.程序框图；
2、2.特殊角的三角函数值 已知等差数列 中， 为其前 n项和，若 ， ，则当 取到最小值时 n的值为（ ） A 5 B 7 C 8 D 7或 8 答案： D 试题分析：由已知得， ，解得 ，所以， ， 对称轴是 ，所以当 取到最小值时， 的值为 或 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的前 项和； 3.二次函数的图像与性质 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A 36个 B 24个 C 18个 D 6个 答案： B 试题分析：各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所有可能的情况有： . 考点：排列与组合 已知抛物线
3、 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：抛物线的焦点坐标为 ，也是双曲线的一个焦点，所以，解得 ，所以该双曲线的离心率是： . 考点： 1.抛物线的图像与性质； 2.双曲线的图像与性质 已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为的正三角形，若 P为底面 A1B1C1的中心，则 PA与平面 ABC所成角的大小为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设点 在平面 内的投影是点 ，连接 ， ， 即是所求，如图： 底面积为 ，所以三棱柱的高是 ，则，点 是 的中心，分 的高为 ，所以，则 ，故 . 考点
4、： 1.三棱柱的体积； 2.直线与平面所成的角 把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数 的反函数图像重合，则 f(x)=（ ） A B C D 答案： D 试题分析：将函数 的图像向右平移一个单位长度变为 ，函数的反函数是 ，则有 ，设 ，则 ，所以，即函数 . 考点： 1.反函数； 2.函数图像的平移变换 的展开式中常数项是（ ） A 5 B C 10 D 答案： D 试题分析：常数项为： . 考点：二项式定理 若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，解得，所以 ，所以 与 的夹角为 . 考点：平
5、面向量的数量积和夹角 填空题 若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由已知得 ，函数的最大值是 ，所以要使得不等式 存在实数解，则 ，解得 或 . 考点： 1.分段函数的图像与性质； 2.解不等式 已知 是圆 的切线，切点为 ， 是圆 的直径， 与圆交于点 ， ，则圆 的半径 答案： 试题分析：如图所示，有切割线定理可知， ，即，解得 . 考点：切割线定理 极坐标系下曲线 表示圆，则点 到圆心的距离为 . 答案： 试题分析：点 对应的直角坐标为： ， ，所以点.因为 ，所以 ，即 ，圆的标准方程为： ，圆心 ，点到圆心的距离为：. 考点：极坐标与参数方程 若直线
6、 ： 被圆 C： 截得的弦最短，则 k= . 答案： 试题分析：圆的标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ，要使得直线被圆截得的弦最短，那么只要圆心到直线的距离 最大即可， ，当且仅当 时等号成立，此时 ，当 时，直线过圆心，此时直线被圆截得的弦是直径，不符合题意，所以 . 考点： 1.基本不等式； 2.直线与圆的位置关系 在 中， ， ， ，则 . 答案： 试题分析：由正弦定理可得， ，即 ，解得 ，因为 ，所以 ，则 . 考点： 1.正弦定理； 2.解三角形 将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 n行（ n3）从左向右的第 3个数为 答案： 试题分析：
7、这个三角形数阵每一行的数的个数成首项为 ，公差为 的等差数列，前 行一共有 个数，所以第 行的数是从 开始的，从左向右第 3个数是 . 考点：等差数列的前 项和 若 ，则常数 T的值为 . 答案： 试题分析： ，解得 . 考点：定积分 解答题 已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项 （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 满足 ，求 的前 项和 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )设公比是 ，依据等比数列的通项公式表示出 和 ，再由已知条件 “ 是 和 的等差中项 ”，结合等差中项的性质得到 ，解出 ，代入等比数列的通项公式； ( )先由 ( )中解得的 ，求出数列 的
8、通项公式： ，观察可知它可以分为一个等差数列和一个等比数列 ，结合等差数列和等比数列的前 项和公式求 的前 项和 . 试题： ( )设公比为 ， 则 ， ， 是 和 的等差中项， ， 即 解得 ， . ( )由 ( )可知， ， 则 . 考点： 1.等差数列的前 项和； 2.等比数列的前 项和； 3.等差中项； 4.等比数列的通项公式 在 中，角 A， B， C所对的边分别为 . （ ）叙述并证明正弦定理； （ ）设 ， ，求 的值 答案： ( )证明见； ( ) . 试题分析： ( )正弦定理： ，利用三角形的外接圆证明正弦定理 . 设 的外接圆的半径为 ，连接 并延长交圆 于点 ，则，直径
9、所对的圆周角 ，在直角三角形 中，从而得到 ，同理可证 ， ，则正弦定理得证； ( )先由正弦定理将 化为 ，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将 式化简，得到 ，则 ，再由二倍角公式求解 . 试题： ( )正弦定理： . 证明：设 的外接圆的半径为 ，连接 并延长交圆 于点 ，如图所示： 则 ， ，在 中， ，即 ，则有 ，同理可得 ， ，所以. ( ) ，由正弦定理得， ， ， ， ， ， 解得 ， ， . 考点： 1.正弦定理； 2.解三角形； 3.同角三角函数间的关系； 4.和差化积公式； 5.二倍角公式 现有 10道题，其中 6道甲类题， 4道乙类题，张同学
10、从中任取 3道题解答 . （ I）求张同学至少取到 1道乙类题的概率； （ II）已知所取的 3道题中有 2道甲类题， 1道乙类题 .设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立 .用 表示张同学答对题的个数，求 的分布列和数学期望 . 答案： ( ) ； ( )分布列见， . 试题分析： ( )先求出张同学取到的题中没有乙类题的概率是 ，则张同学至少取到 1道乙类题的概率为： ； ( ) 的所有可能的取值为： ，分别求出 在每种取值下的概率：当 时，全部答错， ；当 时，只答对一道甲类题或只答对一道乙类题，；当 时，答对两道甲类题或答对一道甲类题和一道乙
11、类题， ；当 时，三道题都答对， .列出分布列，根据 求出随机变量 的数学期望 . 试题： ( ) ( ) 的所有可能的取值为： ， ， ， ， . X的分布列为： . 考点： 1.相互独立事件的概率； 2.离散型随机变量的及其应用； 3.古典概型； 4.分布列和期望 如图，四棱锥 S-ABCD中， SD 底面 ABCD， AB/DC， AD DC，AB=AD=1， DC=SD=2， E为棱 SB上任一点 （ ）求证：无论 E点取在何处恒有 ； （ ）设 ，当平面 EDC 平面 SBC时，求 的值； （ ）在（ ）的条件下求二面角 的大小 答案： ( )证明见； ( ) ； ( ) . 试题分
12、析： ( )连接 ，过点 作 ，交 于点 ，先证明 ，再由 得到 ，依据直线与平面垂直的判定定理可知，从而由直线与平面垂直的性质定理可得到 ； ( ) 分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 建立空间直角坐标系，根据，求得 ，由 ，以及 ， ，分别取平面 和平面 的法向量 和 ，则由已知条件 “ ”可得，从而解出 的值； ( )当 时， ，分别求出平面和平面 的一个法向量，求出它们的法向量的夹角，根据二面角是一个钝角，那么法向量的夹角或夹角的补角即是所求的二面角 . 试题： ( )连接 ，过点 作 ，交 于点 ，如图： ， ， 又 ， ， ，又 ， ， ， ， ， . ( )分别以 ， ， 所
13、在直线为 轴， 轴， 建立空间直角坐标系，如图： 设 ，则， ， ， ， ， 所以 ， ， 取平面 的一个法向量 ， ， 相关试题 已知椭圆 C的中心在坐标原点，短轴长为 4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）已知经过定点 M（ 2,0）且斜率不为 0的直线 交椭圆 C于 A、 B两点，试问在 x轴上是否另存在一个定点 P使得 始终平分 ？若存在求出点坐标；若不存在请说明理由 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )设椭圆的标准方程为： ，先由已知条件 “短轴长为 ”，求得 ，再由已知条件 “有一个焦点与抛物线 的焦点重合 ”，求得，则 ，从而得到椭圆方
14、程； ( )设直线方程为： ，与椭圆方程联立方程组求得 ( )，假设存在定点 使得始终平分 ，则有 ，将对应点的坐标代入，结合直线方程以及 ( )化简求得 ，从而无论 如何取值，只要 就可保证式子成立，进而得出 点坐标 . 试题： ( ) 椭圆的短轴长为 ， ，解得 ， 又抛物线 的焦点为 ， ，则 ， 所求椭圆方程为： ( )设 ： ，代入椭圆方程整理得： 则 ，假设存在定点 使得 始终平分 ， 则 ， 要使得 对于 恒成立，则 ， 故存在定点 使得 始终平分 ，它的坐标为 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.抛物线的性质； 3.根与系数的关系 已知函数 ， （ ）若曲线 在 与 处的切线相互
15、平行，求 的值及切线斜率； （ ）若函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围； （ ）设函数 的图像 C1与函数 的图像 C2交于 P、 Q两点，过线段 PQ的中点作 x轴的垂线分别交 C1、 C2于点 M、 N，证明： C1在点 M处的切线与 C2在点 N处的切线不可能平行 答案： ( ) ， ； ( ) ； ( )见 . 试题分析： ( )由已知条件 “曲线 在 与 处的切线相互平行 ”可知，曲线在这两处的切线的斜率相等，求出曲线的导数，根据求出 的值及切线斜率； ( )有已知条件 “函数 在区间 上单调递减 ”可知， 在区间 上恒成立，得到 ，则有 ，依据二次函数在闭区间上的值域，求得函
16、数 在区间的值域是 ，从而得到 ； ( )用反证法，先假设 C1在点 M处的切线与 C2在点 N处的切线平行，设 ， ，则有，分别代入函数 与函数 的导函数，求得 ，结合 P、 Q两点是函数 的图像 C1与函数 的图像 C2的交点，则坐标满足曲线方程，将 化简得到 ，设， ，进行等量代换得到， 存在大于 1的实根，构造函数 ，结合导函数求得函数 在区间 是单调递减的，从而 ，得出矛盾 . 试题： ( ) ， 则 ， 在 与 处的切线相互平行， ，即 ，解得 ， . ( ) 在区间 上单调递减， 在区间 上恒成立， 则 ，即 ， ， ， . ( ) ， ， 假设有可能平行，则存在 使 ， ， 不妨设 ， ， 则方程 存在大于 1的实根，设 ， 则 ， ，这与存在 使 矛盾 考点： 1.二次函数的图像与性质； 2.利用导数研究函数的单调性； 3.反证法； 4.利用导数研究曲线切线的斜率； 5.不等式恒成立问题
