1、2015届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第一次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 集合 A=x|x0，且 AB=B， B A，观察备选答案：中的 4个选项，只有 1， 2 A故选： A 考点：交集及其运算 已知定义的 R上的偶函数 在 上是增函数，不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 偶函数 f（ x）在 0， +）上是增函数，则 f（ x）在（ -， 0）上是减函数，则 f（ x-2） 在区间 上的最小值为 f（ -1） =f（ 1） ,若 f（
2、ax+1） f（ x-2）对任意 x 都成立，当 x 时， -1ax+11，即 -2ax0恒成立 ,则 -2a0,故选 B. 考点：奇偶性与单调性的综合 设函数 , .若实数 满足 , ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于 y=ex及 y=x-2关于 x是单调递增函数， 函数 在 R上单调递增 分别作出 y=ex， y=2-x的图象， f（ 0） =1+0-2 0， f（ 1） =e-1 0， f（ a） =0， 0 a 1同理 在R+上单调递增， g（ 1） =ln1+1-3=-2 0，由于 ，故由 g（ b） =0，可得 1 b g（ a） =lna+a2-3 g（ 1）
3、 =ln1+1-3=-2 0， f（ b）=eb+b-2 f（ 1） =e+1-2=e-1 0 g（ a） 0 f（ b）故答案：为： g（ a） 0 f（ b）故选 A. 考点： 1.函数的零点； 2.不等关系与不等式 下列四个图中 ,函数 的图象可能是（ ） 答案： C 试题分析：当 时，有 ， ， ，故排除 A，B，又 当 时，有 ， ， ，故排除 D， 选 C. 考点： 1.函数的单调性与奇偶性； 2.指对数的性质 . 已知函数 若 互不相等，且 ，则的取值范围是（ ） A（ 1， 2014） B（ 1， 2015） C（ 2， 2015） D 2， 2015 答案： C 试题分析：作
4、出函数的图象如图， 直线 y=m交函数图象于如图，不妨设 a b c，由正弦曲线 的对称性，可得（ a， m）与（ b， m）关于直线 x= 对称，因此 a+b=1，当直线 y=m=1时，由 log2014x=1， 解得 x=2014，即 x=2014， 若满足 f（ a） =f（ b） =f（ c），（ a、 b、 c互不相等），由 a b c可得 1 c 2014，因此可得 2 a+b+c 2015，即 a+b+c （ 2， 2015）故选： C 考点：分段函数的应用 下列命题正确的个数是（ ） “在三角形 中，若 ,则 ”的否命题是真命题； 命题 或 ，命题 则 是 的必要不充分条件；
5、“ ”的否定是 “ ”. A 0 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析： 该命题的否命题是：在三角形 ABC中，若 sinAsinB，则 AB；若 A，B （ 0， ， 正弦函数 y=sinx在（ 0， 上是增函数， sinAsinB可得到 AB；若 A （ 0， ， B （ ， )， sinA sinB能得到 A B；若 A （ ， )， B （ 0，则由 sinAsinB，得到 sin（ -A） sinB， A+B，显然这种情况不存在；综上可得 sinAsinB能得到 AB，所以该命题正确； 由 x2，或 y3，得不到 x+y5，比如 x=1， y=4， x+y=5， p不是 q的
6、充分条件；若 x+y5，则一定有 x2且 y3，即能得到 x2，或 y3， p是 q的必要条件； p是 q的必要不充分条件，所以该命题正确； 根据全称命题的否定是特 称命题知道该命题正确；所以命题正确的个数为 3故选：D 考点： 1.四种命题； 2.命题的否定 函数 为偶函数，且 上单调递减，则 的一个单调递增区间为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 由 为偶函数，可判断 也为偶函数，令 m=2-x2， y=f（ m）， m 0， +）上单调递减， m （ -， 0）上单调递增，因为 m=2-x2， x （ 0，+）上为减函数， x 0时 2-x2=0，则 x= ，所以 f（ 2-
7、x2）在（ 0， ）上为 增函数，在（ ， +）上为减函数，故选： D 考点：函数奇偶性的性质 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数， A中，函数不能输出，因为此函数没有零点； A不正确 B中，函数可以输出， 发现，函数是奇函数且当 x=0时函数值为 0，故 B正确； C中，函数 ，不能输出，因为不存在零点； C不正确 D中，函数 ，不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数， D不正确故选 B 考点：程序框图 设命题 函数在定义域上为减函数；命题 ,当 时 , ，以下说法正确的是（ ）
8、 A 为真 B 为真 C 真 假 D ， 均假 答案： D 试题分析：函数在（ -， 0），（ 0， +）上是减函数，在定义域 x|x0上不具有单调性， 命题 p是假命题；由 a+b=1得 b=1-a，带入 并整理得： 3a2-3a+1=0， =9-12 0， 该方程无解，即不存在 a， b （ 0， +），当 a+b=1时， ， 命题 q是假命题； p， q均价， p q为假， p q为假；故选 D 考点：复合命题的真假 规定 ，若 ，则函数的值域（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， k=1， ， .故选 A. 考点： 1.新定义； 2.函数的值域 . 若不等式 对一切实数
9、 都成立，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当 k=0时，显然成立；当 k0时，即一元二次不等式 对一切实数 x都成立， 则 ，解得 -3 k 0综上，满足一元二次不等式对一切实数 x都成立的 k的取值范围是（ -3， 0故选 D 考点：一元二次不等式的解法 已知 ，则下列结论错误的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ， ， ，故选 C. 考点：不等式与不等关系 . 填空题 定义在 上的函数 满足 ，当 , ，则函数的在 上的零点个数是 答案： 试题分析： y=x2与 y=2x的函数曲线在区间（ 0， 4有两个交点，在区间（ -1， 0区间有一
10、个交点，但当 x （ -1， 4时， f（ x） =x2-2x=16无根，即当 x （ -1， 4时， f（ x）=x2-2x有 3个零点，由 f（ x） +f（ x+5） =16， 即当 x （ -6， -1时， f（ x） =x2-2x无零点，又 f（ x+5） +f（ x+10） =f（ x） +f（ x+5）=16， f（ x+10） =f（ x），即 f（ x）是周期为 10的周期函数，在 x 0， 2014，分为三段 x 0， 4， x （ 4， 2004， x （ 2004， 2014，在 x 0， 4函数有两个零点，在 x （ 4， 2004有 200个完整周期，即有 600个
11、零点，在 x （ 2004， 2014共有 3个零点，综上函数 f（ x）在 0， 2014上的零点个数是 605，故答案：为： 605. 考点： 1.根的存在性及根的个数判断； 2.函数的零点 已知 ，则满足不等式 的实数 的最小值是 . 答案： 试题分析： lga+lgb=0， ab=1，且 a、 b都为正数由于 ，当且仅当 a=1时，等号成立同理可得 ， 不等式的实数 的范围是 1，故答案：为 1 考点：基本不等式 实数 满足 若目标函数 的最大值为 4，则实数 的值为 . 答案： 作不等式组 所表示的可行域如下图所示， 联立 ，解得 ，即点 ，作直线 ，则 Z为直线 l在 x轴上的截距
12、，当直线 l经过可行域上的点 时，直线 l在 x轴上的截距最大，此时 z取最大值，即 . 考点：线性规划 . 设 ,函数 ,则 的值等于 答案： 试题分析： ， . 考点： 1.分段函数； 2.指数、对数运算 . 解答题 已知幂函数 在 上单调递增，函数 （ 1）求 的值； （ 2）当 时，记 ， 的值域分别为集合 ，若 ，求实数的取值范围 . 答案：（ 1） m=0；（ 2） 0， 1. 试题分析：（ 1）根据幂函数的定义个性质即可求出 （ 2）根据幂函数和指数函数的单调性，分别求出其值域，再根据 A B=A，得到关于 k的不等式组， 解得即可 试题：解：（ 1）依题意得： ，解得 m=0或
13、 m=2 当 m=2时， 在（ 0， +）上单调递减，与题设矛盾，舍去 m=0 （ 2）由（ 1）可知 ， 当 x 1， 2时， f（ x）， g（ x）单调递增， A=1， 4， B=2-k， 4-k， A B=A， ， 0k1 故实数 k的取值范围是 0， 1. 考点：幂函数的性质 已知向量 , 设函数 . （ 1）求 的单调递增区间； （ 2）求 在 上的最大值和最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求 f （ x）的最小正周期（ 2）通过 x在 ，求出 f（
14、 x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值 试题：（ 1） = . 4分 当 时，解得 ， 的单调递增区间为 . 8分 （ 2) . . 所以 ,f （ x）在 上的最大值和最小值分别为 . 12分 . 考点： 1.平面向量数量积的运算； 2.两角和与差的正弦函数； 3.三角函数的周期性及其求法； 4.三角函数的最值 已知函数 设命题 p： “ 的定义域为 R”；命题q： “ 的值域为 R” （ 1）分别求命题 p、 q为真时，实数 a的取值范围； （ 2） p是 q的什么条件？请说明理由 答案：（ 1） , ；（ 2） 是 的必要而不充分的条件 . 试题分 析：（ 1
15、）命题 p可转化为恒成立问题，根据类二次函数的性质，可得到 a的取值范围；命题 q可转化为真数部分的值域包含（ 0， +），据些构造关于 a的不等式组，解可得 a的取值范围；（ 2）由（ 1）求出 p，并比较两个命题对应的参数 a的范围之间的包含关系，进而根据 “谁小谁充分，谁大谁必要 ”可得答案： 试题：解 :（ 1)命题 为真 ,即 的定义域是 ,等价于 恒成立 , 等价于 或 解得 或 . 实数 的取值范围为 , , 4分 命题 为真 ,即 的值域是 , 等价于 的值域 , 等价于 或 解得 . 实数 的取值范围为 , 8分 （ 2)由（ 1)（ 2)知 , : ； : . 而 , 是
16、的必要而不充分的条件 12分 . 考点： 1.必要条件、充分条件与充要条件的判断； 2.命题的真假判断与应用 已知函数 （其中 ). （ 1）若 为 的极值点 ,求 的值； （ 2）在（ 1)的条件下 ,解不等式 . 答案：（ 1） ； （ 2） . 试题分析：（ 1）利用导数求极值，由 x=0为 f（ x）的极值点得， f（ 0） =ae0=0，即得 a的值； （ 2）由不等式 得， ，利用导数判断函数 的单调性，进而得证 . 试题：解：（ 1)因为 因为 为 的极值点 ,所以由 ,解得 检验 ,当 时 , ,当 时 , ,当 时 , . 所以 为 的极值点 ,故 . 4分 （ 2）当 时
17、,不等式 , 整理得 , 即 或 令 , , , 当 时 , ；当 时 , , 所以 在 单调递减 ,在 单调递增 ,所以 ,即 , 所以 在 上单调递增 ,而 ； 故 ； , 所以原不等式的解集为 . 12分 . 考点： 1.导数在最大值、最小值问题中的应用； 2.利用导数研究函数的单调性； 3.利用导数研究函数的极值 已知 ，函数 .设 ，记曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴的交点是 ， 为坐标原点 . （ 1）证明： ； （ 2）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）求出 f（ x），把 代入到导函数中求出切线 l的斜率，并代
18、入到f（ x）中求出 ，写出切线方程，然后令 y=0求出与 x轴的交点横坐标 x即 得证；（ 2）根据第一问写出 M和 N的坐标，算出 与 的数量 积，当 a等于 0时不等式成立，当 a大于 0时设 等于数量积，求出导函数等于 0时， 的值，然后利用讨论导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到的最小值大于 列出关于 a的不等式，求出解集即可得到 a的取值范围 试题：（ 1）解：曲线 在点 处的切线 的方程为 令 ，得 4分 （ 2） 在 上恒成立 设 ， 令 ，解得 ， 当 时， 取极大值 10当 ,即 时， ，满足题设要求； 20当 ，即 ， ， 若 ，解得 . 综上，实数 的取
19、值范围为 . 12分 . 考点： 1.利用导数研究曲线上某点切线方程； 2.函数与方程的综合运用； 3.平面向量数量积的运算 已知函数 ， 且 （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2） 当 时，若 ，证明 : . 答案：（ 1）函数 在 上单调递增， 在 上单调递减 .；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）对 f（ x）求导数，得 f（ x） = ，再分 a的正负讨论 a、a+a2和 a2的大小关系，即可得到 f（ x）单调性的两种情况，得到函数 f（ x）的单调区间；（ 2）原不等式进行化简，等价变形得 因此转化为证明函数 在区间 内单调递减，而，通过研究分子对应二次函数在区间 上的取值，可得
20、 h（ x） 0在 x 上恒成立，因此在区间 内是减函数，从而得到原不等式成立 试题：解：（ 1）由题， . 令 ，因为 故 . 当 时，因 且 所以上不等式的解为 , 从而此时函数 在 上单调递增 . 当 时，因 所以上不等式的解为 ， 从而此时函数 在 上单调递增 . 同理此时 在 上单调递减 . （ 2）（方法一） 要证原不等式成立，只须证明 ， 只须证明 . 因为 所以原不等式只须证明， 函数 在 内单调递减 . 8分 由（ 1）知 ， 因为 ， 我们考察函数 , . 因 ， 所以 . 从而知 在 上恒成立， 所以函数 在 内单调递减 . 从而原命题成立 （方法二）要证原不等式成立，只须证明 ， 只须证明 . 又 ， 设 ， 则欲证原不等式只须证明函数 在 内单调递减 由（ 1）可知 . 因为 ，所以 在 上为增函数， 所以 . 从而知 在 上恒成立， 所以函数 在 内单调递减 . 从而原命题成立 . 考点： 1.利用导数研究函数的单调性； 2.不等式的证明
