1、同步 2014年湘教版选修 1-1 3.1 导数的概念练习卷与答案（带解析） 填空题 函数 y=f（ x）的自变量在 x=1处有增量 x时，函数值相应的增量为 答案： y=f（ 1+ x） f（ 1） 试题分析：函数 y=f（ x）的自变量在 x=1处有增量 x，函数在 1+ x处的函数值为 f（ 1+ x），由此可得结论 解： 函数 y=f（ x）的自变量在 x=1处有增量 x， 函数在 1+ x处的函数值为 f（ 1+ x）， 函数 y=f（ x）的自变量在 x=1处有增量 x时，函数值相应的增量为 y=f（ 1+ x） f（ 1）， 故答案：为： y=f（ 1+ x） f（ 1） 点评：
2、本题考查导数的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 （ 2007 湖北）已知函数 y=f（ x）的图象在 M（ 1， f（ 1）处的切线方程是 +2， f（ 1） +f（ 1） = 答案： 试题分析：先将 x=1代入切线方程可求出 f（ 1），再由切点处的导数为切线斜率可求出 f（ 1）的值，最后相加即可 解：由已知切点在切线上，所以 f（ 1） = ，切点处的导数为切线斜率，所以 ， 所以 f（ 1） +f（ 1） =3 故答案：为： 3 点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在 某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率 一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离 S（ m）与时间 t（
3、s）之间的函数关系式为 S= t2， t=3s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为 答案： .5m/ 试题分析：根据题意，先求出 3， 3+ t时的平均变化率，再求出当 t趋向于0时，平均变化率的极限值即可得到答案： ： v= = t+ ，当 t趋向于 0时， v趋向于 1.5， 所以所求瞬时速度为 1.5m/s 故答案： 1.5m/s 点评：本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题 函数 y=x3+1在 x=1时的瞬时变化率是 答案： 试题分析：函数在 x=1时的瞬时变化率为函数 y=x3+1在 x=1时，当 x0 时的值，所以求出当 x无限趋近于 0时， 的值即可 ：
4、= =（ x） 2+3 x+3； 当 x无限趋近于 0时，（ x） 2+3 x+3无限趋近于 3， 所以 y=x3+1在 x=1时的瞬时变化率是 3 故答案：为： 3 点评：本题主要考查变化的快慢与变化率，属于基础题 函数 y=x2在点（ 2， 4）处的切线方程是 答案： x试题分析：求出导函数，令 x=2求出切线的斜率，然后利用点斜式写出直线 的方程即为所求的切线方程 解： y=2x 当 x=2得 f（ 2） =4 所以切线方程为 y4=4（ x2） 即 4xy4=0 故答案：为： 4xy4=0 点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率，属于基础题 函数 f（ x） =x2
5、x在区间 2， t上的平均变化率是 2，则 t= 答案： 试题分析：由平均变化率的概念列关于 t的方程，通过解方程求出 t的值 解：函数 f（ x） =x2x在区间 2， t上的平均变化率是 = =2， 即 t2t6=2t+4， t23t10=0，解得 t=5或 t=2（舍去） 所以，当函数 f（ x） =x2x在区间 2， t上的平均变化率是 2时， t的值是 5 故答案：为 5 点评：本题考查了变化的快慢与变化率，考查了一元二次方程的解法，是基础题 函数 f（ x） =kx+b在区间 m， n上的平均变化率为 答案： k 试题分析：直接利用函数的平均变化率的概念求解 解： = = =k 故
6、答案：为 k 点评：本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题 当 t趋向于 0时， 5+3t趋向于 ， 2t23趋向于 ， 趋向于 答案：， 3， 试题分析：当 t趋向于 0时， 3t趋向于 0， 2t2趋向于 0，对于式子，先进行化简，即可得出答案： ： 5+3t趋向于 5， 2t23趋向于 3， 趋向于 故答案：为： 5， 3， 点评：本题主要考查了变化的快慢与变化率，极限的数学思想，属于基础题 函数 y=2x2+1在 x=1处的导数为 答案： 试题分析：利用导数公式或导数的定义求导数 解：方法 （导数的定义） = =2 x+4； 当 x无限趋近于 0时， 2 x+4无限趋近于 4，
7、所以 y=2x2+1在 x=1处的导数等于 4 故答案：为： 4 方法 （运用公式 法） 因为 y=2x2+1，所以 y=4x， 所以当 x=1， y=41=4 故答案：为： 4 点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础，要求熟练掌握常见函数的导数公式 如图，函数 f（ x）的图象是折线段 ABC，其中 A， B， C的坐标为（ 0，4），（ 2， 0），（ 6， 4），则 f（ f（ 0） = ；函数 f（ x）在 x=1处导数 f（ 1）= 答案：， 2 试题分析：（ 1）要求 f（ f（ 0）的值，可先求 f（ 0） =4，再求 f（ 4），此即为所求； （ 2）函数的图象可知， ，然
8、后求出导数即可求出结果 解：（ 1）由图象可知 f（ 0） =4， f（ 4） =2， 即 f（ f（ 0） =2 （ 2） f（ 0） =4， f（ 4） =2， f（ 2） =4， 由函数的图象可知， ， 当 0x2时， f（ x） =2 f（ 1） =2 故答案：为： 2， 2 点评：本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题 在曲线 y=x2+1的图象上取一点（ 1， 2）及附近一点（ 1+ x， 2+ y），则为 答案： x+2 试题分析：先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值，再化简即可求得 解： = = x+2 则 为 x+2 故答案：为： x+
9、2 点评：本题主要考查变化的快慢与变化率通过计算函数值的变化来解，比较简单 解答题 已知函数 f（ x） =2x2+3，分别计算函数 f（ x）在下列区间上的平均变化率： （ 1） 2， 4； （ 2） 2， 3； （ 3） 2， 2.1； （ 4） 2， 2.001 答案：（ 1） 12；（ 2） 10；（ 3） 8.2；（ 4） 8.002 试题分析：利用函数值的增量与自变量的增量的比，即可求得在区间上的平均变化率 解：（ 1）函数 f（ x）在 2， 4上的平均变化率为 =12； （ 2）函数 f（ x）在 2， 3上的平均变化率为 =10； （ 3）函数 f（ x）在 2， 2.1上的
10、平均变化率为 =8.2； （ 4）函数 f（ x）在 2， 2.001上的平均变化率为 =8.002 点评：本题考查平均变化率，考查学生的计算能力，属于基础题 航天飞机升空后一段时间内，第 t s时的高度 h（ t） =5t3+30t2+45t+4，其中 h的单位为 m， t的单位为 s （ 1） h（ 0）， h（ 1）， h（ 2）分别表示什么？ （ 2）求第 2s内的平均速度； （ 3）求第 2s末的瞬时速度 答案：（ 1） h（ 0）表示航天飞机发射前的高度； h（ 1）表示航天飞机升空后 1s的高度； h（ 2）表示航天飞机升空后 2s的高度； （ 2） 125米 /秒；（ 3） 2
11、25m/s 试题分析：（ 1）由 h（ t）表示航天飞机发射 t秒后的高度分别说明 h（ 0）， h（ 1）， h（ 2）的意义； （ 2）直接由（ h（ 2） h（ 0）除以 2得到第 2s内的平均速度； （ 3）求出 2秒时刻的瞬时变化率，取极限值求第 2s末的瞬时速度 解：（ 1）答： h（ 0）表示航天飞机发射前的高度； h（ 1）表示航天飞机升空后 1s的高度； h（ 2）表示航天飞机升空后 2s的高度； （ 2）航天飞机升空后第 2秒内的平均 速度为 = =125（ m/s） 答：航天飞机升空后第 2秒内的平均速度为 125米 /秒； （ 3）航天飞机升空后在 t=2时的位移增量与
12、时间增量的比值为 v= = =5（ t） 2+60（ t） +225，当 t趋向于 0时， v趋向于 225， 因此，第 2s末的瞬时速度为 225m/s 答：航天飞机升空后第 2秒末的瞬时速度为 225米 /秒 点评：本题考查了变化的快慢与变化率，解答的关键是准确的计算，是基础的概念题 试求过点 P（ 3， 5）且与曲线 y=x2相切的直线方程 答案： y=2x1和 y=10x25 试题分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点（ x0， x02）处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后结合切线过点 P（ 3， 5）即可求出切点坐标，从而问题解决 解：
13、y=2x，过其上一点（ x0， x02）的切线方程为 yx02=2x0（ xx0）， 所求切线过 P（ 3， 5）， 5x02=2x0（ 3x0），解之得 x0=1或 x0=5 从而切点 A的坐标为（ 1， 1）或（ 5， 25） 当切点为（ 1， 1）时，切线斜率 k1=2x0=2； 当切点为（ 5， 25）时，切线斜率 k2=2x0=10 所求的切线有两条，方程分别为 y1=2（ x1）和 y25=10（ x5）， 即 y=2x1和 y=10x25 点评：本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，考查运算求解能力属于基础题 已知函数 f（ x） =x3，求证：函数在任意区间 a， a+b上的平均变化率都是正数 答案：见 试题分析：利用函数的式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出该函数在区间 a， a+b上的平均变化率，即可得出结论 证明： = =3a2+3ab+b2=3（ a+ ） 2+ 0 因此，函数在任意区间 a， a+b上的平均变化率都是正数 点评：本题变化的快慢与变化率，解题的关键是求出函数值做出函数值之差，数字的运算不要出错，这是用定义求导数的必经之路
