1、2010 年普通高等学校招生全 国统一考试（湖南卷）数学（文史类） _班 姓名_ 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数i12等于 ( ) A i+1 B. i1 C. -1+i D. -1-i 2. 下列命题中的假命题是 ( ) A 0= xRx lg, B. 1= xRx tan, C. 03 xRx , D. 02 xRx , 3某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元 /件）负相关，则其回归方程可能是 ( ) A 20010 += xyB. 20010 += xyC. 20010 = xyD. 2
2、0010 = xy4极坐标方程 cos= 和参数方程+=tytx21（ t 为参数）所表示的图形分别是 ( ) A直线、直线 B直线、圆 C圆、圆 D圆、直线 5设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线的焦点的距离是 ( ) A 4 B. 6 C. 8 D. 12 6若非零向量 a、 b满足 | ba = ， 02 =+ bba )( ，则 a与 b的夹角为 ( ) A 300 B. 600 C. 1200 D. 15007在 ABC 中，角 CBA , 的所对的边长分别为 ,abc，若 acC 21200= , ，则 ( ) A ab B. a+=)()
3、()()()(1164632223xxfexeaaaxaxxxgx（e 是自然对数的底数） ，是否存在 a，使 g(x)在a,-a上是减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B C A D 二、 9. 3 10. 161.8 或 138.211. 3112.x0或 x0? 或 x 0 或 x 0？ 13. 4 14. -1 , x2+(y-1)2=1 15. 5； ,87521aaaaa 三、 16解（） 因为 1422212 +=
4、 )sin()cos(sin)(xxxxf 所以函数 ()f x 的最小正周期 =22T （ II）由（）知，当2242+=+ kx ，即 )( Zkkx +=8 时， ()f x 取最大值12 . 因此函数 ()f x 取最大值时 x 的集合为 ,| Zkkxx +=8 17 解 : （ I）由题意可得 5436218yx= ，所以 x=1,y=3 （ II）记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2, 从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B、C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有： （ b1,b2） ,（ b1,c1） , (b1,c2） , （ b1,
5、c3） , （ b2,c1） , （ b2,c2） , （ b2,c3） ,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种 . 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有 ( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 3 种 . 因此 103=)(XP . 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为10318.解 ）如图，因为1111ABDC / ，所以11BMA 异面 直线1A 和1C1D 所成的角，因为1A1B 平面11BBCC ， 所以01190= MBA ，而1A1B =1 ，2212111=+= MCCBMB ， 故 21
6、1111=BAMBBMAtan . 即异面直线1A 和1C1D 所成的角的正切值为 2 （）由1A1B 平面11BBCC ， BM 平面11BBCC ，得1A1B BM 由（）知， 21=MB ， 222=+= CMBCBM ， 21=BB ，所以21221BBBMMB =+ ， 从而 BM B1M 又1111BMBBA =I , 再由 得 BM平面 A1B1M，而BM平面 ABM， 因此平面 ABM平面 A1B1M. 19. 解（）设边界曲线上点的坐标为 P（x,y） ，则由|PA|+|PB|=10 知， 点 P 在以A、B 为焦点，长轴长为 2a=10 的椭圆上，此时短半轴 长 34522
7、=b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程 为 192522=+yx（）易知过点 P1、 P2的直线方程为4x-3y+47=0， 因此点 A 到直线 P1P2的距离为 53134471622=+=)(|d ， 设经过 n 年， 点 A 恰好在冰川边界线上， 则利用等比数列求和公式可得 531121220= )(.n，解得 n=5. 即经过 5年，点 A 恰好在冰川边界线上. 20. 解： （）表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别为 4,8,16,32. 它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列. 将结这一论推广到表 n（ n
8、 3） ，即 表 n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列. （）表 n 第 1 行是 1,3,5， 2n-1，其平均数是 nnn=+ )( 12531 L由（）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2的等比数列（从而它的第 k 行中的数的平均数是12kn ） ，于是表 n 中最后一行的唯一一个数为12nn .因此 2322111221121211221221222+=+=+=+=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbb)()()()()()(k=1,2,3, ,n)，故 )()()(230112123242132112
9、1231221221211+=+nnnnnnnbbbbbbbbbLL22114+=nn )(21. （） )(xf 的定义域为 ),( +0 ，22111xxaxxaxaxf)()(+=+= （ 1）若 -1 )(xf ；当 -a 1 时，0 )(xf .故 )(xf 分别在 ),(),( + 10 a 上单调递增，在 ),( 1a 上单调递减. （2）若 axe ，因此 0)(am ，而)()( 22+= aaam ， 所以 2a ， 此时， 显然有 g(x)在a,-a上为减函数， 当且仅当 )(xf在1,-a上为减函数， h(x)在a,1 上为减函数,且 )()( 11 feh ，由（）知
10、，当 a )(xm ， 若 -2 x1,则 0 )(xm ,因而 )(xm分别在 ),( 2a 上单调递增，在 ),( 12 上单调递减； （2）当a-2 时， 0 )(xm , )(xm 在 ),( 12 上单调递减. 综合（1）（2）知，当 2a 时， )(xm 在 , 1a 上的最大值为812422= aam )( ，所以，20812402012 aaamxmax )()(, 又对 01 = )(, xmax ，只有当 a=-2 时在 x=-2 取得，亦即 0= )(xh 只有当 a=-2时在 x=-2 取得. 因此，当 2a 时， h(x)在a,1 上为减函数，从而由，知 23 a 综上所述，存在 a，使g(x)在a,-a上是减函数，且 a 的取值范围为 , 23 .
