1、新课标高三数学函数与方程函数模型及其应用专项训练（河北） 选择题 函数 f(x) ln(x 1)-的零点所在的大致区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2， e) D (3,4) 答案： B 某电信公司推 出两种手机收费方式： A种方式是月租 20元， B种方式是月租 0元一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟 )与打出电话费 s(元 )的函数关系如右图所示，当打出电话 150分钟时，这两种方式电话费相差 ( ) A 10元 B 20元 C 30元 D元 答案： A 如图甲所示， 图甲 点 P在边长为 1的正方形的边上运动，设 M是 CD边的中点，则当点 P沿着ABCM 运动时
2、，以点 P经过的路程 x为自变量，三角形 APM的面积函数的图象形状大致是图乙中的 ( ) 答案： A 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： 如果不超过200元，则不予优惠， 如果超过 200元但不超过 500元，则按标价给予 9折优惠， 如果超过 500元，其 500元按 条给予优惠，超过 500元的部分给予 7折优惠某人两次去购物，分别付款 168元和 423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款 ( ) A 413.7元 B 513.7元 C 546.6元 D 548.7元 答案： C 某种放射性元素， 100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素 1克， 3年后剩下
3、( ) A克 B (1-0.5%)3克 C 0.925克 D克 答案： D 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y万元与营运年数 x(x N)的关系为 y -x2 12x-25，则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大 ( ) A 2 B 4 C 5 D 6 答案： C 已知函数 f(x)， g(x) ln x，则 f(x)与 g(x)两函数的图像的交点个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 已知奇函数 f(x)、 g(x)， f(x) 0的解集是 (a2， b)， g(x) 0的解集为，则 f(x) g(x) 0的解集是 (
4、 ) A B (-b， -a2) C D (-b， -a2) 答案： C 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 y 2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 y x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 x 2.2 2.6 3.0 3.4 y 2x 4.595 6.063 8.0 10.556 y x2 4.84 6.76 9.0 11.56 那么方程 2x x2的一个根位于下列区间的 ( ) A (0.6,1.0) B (1.4,1.8) C (1.8,2.2) D (2.6,3.0) 答案： C 函数 f
5、(x) log2x-x 2的零点个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 填空题 某工厂生产某种产品固定成本为 2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10万元，又知总收入 k是单位产品数 Q 的函数， k(Q) 40Q-Q2，则总利润L(Q)的最大值是 _ 答案：万元 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )成正比；药物释放完毕后， y与 t的函数关系式为 y t-a(a为常数 )，如右图所示： 据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克
6、 )与时间 t(小时 )之间的函数关系式为 _； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 _小时后，学生才能回到教室 答案： (1)y (2)0.6 商店某种货物的进价下降了 8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的 r%增加到 (r 10)%，那么 r的值等于 _ 答案： 已知定义在 R上的奇函数 f(x)，满足 f(x-4) -f(x)，且在区间 0,2上是增函数，若方程 f(x) m(m0)在区间 -8,8上有四个不同的根 x1， x2， x3， x4，则 x1 x2 x3 x4 _ 答案： -8 右图
7、是用二分法求方程 x5-16x 1 0在 -2,2的近似解的程序框图，要求解的精确度为 0.0001， 处填的内容是 _， 处填的内容是 _ 答案： f(a) f(m)3时，关于 x的方程 f(x) f(a)有三个实数解 答案： (1)由已知，设 f1(x) ax2，由 f1(1) 1，得 a 1， f1(x) x2. 设 f2(x) (k0)，它的图象与直线 y x的交点分别为 A(， )， B(-， -) 由 8，得 k 8， f2(x) .故 f(x) x2 . (2)证明：法一：由 f(x) f(a)，得 x2 a2， 即 -x2 a2 . 在同一坐标系内作出 f2(x)和 f3(x)
8、 -x2 a2的大致图象，其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线， f3(x)的图象是以为顶点，开口向下的抛物线 因此， f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即 f(x) f(a)有一个负数解 又 f2(2) 4， f3(2) -4 a2， 当 a3时， f3(2)-f2(2) a2 -80， 当 a3时，在第一象限 f3(x)的图象上存在一点 (2， f(2)在 f2(x)图象的上方 f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即 f(x) f(a)有两个正数解 因此，方程 f(x) f(a)有三个实数解 法二：由 f(x) f(a)，得
9、 x2 a2， 即 (x-a)(x a-) 0，得方程的一个解 x1 a. 方程 x a- 0化为 ax2 a2x-8 0， 由 a3， a4 32a0，得 x2， x3， x20， x1x2，且 x2x3. 若 x1 x3，即 a，则 3a2， a4 4a， 得 a 0或 a，这与 a3矛盾， x1x3. 故原方程 f(x) f(a)有三个实数解 设 f(x) 3ax2 2bx c，若 a b c 0， f(0) 0， f(1) 0.求证： (1)a 0且 -2 -1； (2)方程 f(x) 0在 (0,1)内有两个实数根 答案：证明： (1) f(0) 0， f(1) 0， c 0,3a
10、2b c 0. 由 a b c 0消去 b得 a c 0， 由 a b c 0消去 c得 a b 0,2a b 0， -2 -1. (2) f(0) 0， f(1) 0，而 f b c， a b c 0， c -a-b， f b-a-b - 0， f(0) f 0， f f(1) 0. 因而函数 f(x)在，内各有一个零点， 即 f(x) 0在 (0,1)内有两个实数根 某工厂拟建一座平面图 (如右图所示 )为矩形且面积为 200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16米，如果池外周壁建造单价为每米 400元，中间两条隔墙建造单价为每米 248元，池底建造单价为每平方米 8
11、0元 (池壁厚度忽略不计，且池无盖 ) (1)写出总造价 y(元 )与污水处理池长 x(米 )的函数关系式，并指出其定义域； (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价 答案： (1)因污水处理水池的长为 x米 ，则宽为米， 总造价 y 400 2482 80200 800 16000，由题设条件 解得 12.5x16，即函数定义域为 12.5,16 (2)先研究函数 y f(x) 800 16000在 12.5,16上的单调性，对于任意的 x1，x2 12.5,16，不妨设 x1 x2， 则 f(x2)-f(x1) 800 800(x2-x1)， 12.5x
12、1x216， 0 x1x2 162 324， 1，即 1- 0. 又 x2-x10， f(x2)-f(x1) 0，即 f(x2) f(x1)， 故函数 y f(x)在 12.5,16上是减函数 当 x 16时， y取得最小值，此时， ymin 800 16000 45000(元 )，12.5(米 ) 综上，当污水处理池的长为 16米，宽为 12.5米时，总造价最低，最低价为45000元 某工厂日生产某种产品最多不超过 30件，且在生产过程中次品率 P与日生产量 x(x N*)件间的关系为 P 每生产一件正品盈利 2900元，每出现一件次品亏损 1100元 (1)将日利润 y(元 )表示日产量 x(件 )的函数； (2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？ (注： 次品率 P 100%，正品率 1-P) 答案： (1)y (2)当 00；当 25x30时， y0， y 2500x-x3在区间 (15,25上单调递增，在区间 25,30上单调递减 故当 x 25时， y取得最大值，其值为 250025-253 (元 ) 33000， 当 x 25时， y取得最大值为 (元 ) 答：该厂的日产量为 25件时，日利润最大
