1、 1 2018 高 考 数学 必考知识点 总结 归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C | lg | lg ( , )| lg中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补 运算时，不要忘记集合 本身和空集 的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 ，A x x x B x ax | |2 2 3 0 1 若 ，则实数 的值构成的集合为B A a （答： ， ， ） 1 0 133. 注意下列性
2、质： （ ）集合 ， ， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a a n n（ ）若 ， ；2 A B A B A A B B （ 3）德摩根定律： C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B ，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，求实数x axx a M M M a 5 0 3 52的取值范围。 （ ， ， ， ）33 53055 5501539 2522 MaaMaaa 5. 可以判断真假的语句叫 做命题，逻辑连接词有 “或” ，“且” 和( ) ( ) “非” ( ). 若 为真，当且仅当 、
3、 均为真p q p q 若 为真，当且仅当 、 至少有一个为真p q p q 2 若 为真，当且仅当 为假 p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何 比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 的定义域是yx xx43 2lg （答： ，
4、， ， ）0 2 2 3 3 4 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F( x f x f x( ) ) ( ) ( ) 0义域是 _。 （答： ， ）a a 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如： ，求f x e x f xx 1 ( ). 令 ，则t x t 1 0 x t 2 1 f t e tt( ) 2 1 2 1 f x e x xx( ) 2 1 2 1 0 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x、 y；注明定义域）
5、3 如：求函数 的反函数f x x xx x( ) 1 002 （答： ）f xx xx x 1 1 1 0( )13. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 y x对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设 的定义域为 ，值域为 ， ， ，则y f ( x ) A C a A b C f ( a ) = b f 1 ( )b a f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( )， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ （ ， ，则（外层） （内层）y f u u x y f x ( ) (
6、 ) ( ) 当内、外层函数单调性 相同时 为增函数，否则 为减函数。）f x f x ( ) ( ) 如：求 的单调区间y x x l o g 122 2（设 ，由 则u x x u x 2 2 0 0 2 且 ， ，如图：l o g 1221 1u u x u O 1 2 x 当 ， 时， ，又 ，x u u y ( l o g0 1 12当 ， 时， ，又 ，x u u y ) l o g1 2 12） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 4 在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点 上导数等于a b f x f x ( ) ( ) 0 零，不影响函数的单调 性），反之也对，
7、若 呢？f x ( ) 0 如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a 0 13( ) 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x x a x a x a ( ) 3 3 3 3 02 则 或x a x a 3 3由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) )13 1 3 a的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （ f(x)定义域关于原点对称） 若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( ) 若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f
8、 x f x y( ) ( ) ( ) 注意如下结论： （ 1）在公共定义域内：两个 奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （ ）若 是奇函数且定义域中有 原点，则 。2 f ( x ) f ( 0 ) 0 如：若 为奇函数，则实数f x a a axx( ) 2 22 1 （ 为奇函数， ，又 ，f x x R R f( ) ( ) 0 0 0 即 ， ）a a a2 22 1 0 100 又如： 为定义在 ， 上的奇函数，当 ， 时， ，f x x f x xx( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 124 1 5 求 在 ， 上的解析式。
9、f x( ) 1 1 （令 ， ，则 ， ，x x f x xx 1 0 0 124 1( ) 又 为奇函数，f x f x xxxx( ) ( ) 24 1 21 4 又 ，）f f xxxxxxxx( ) ( )( )0 024 11 0024 10 1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 （ ），在定义域内总有 ，则 为周期T T f x T f x f x 0 ( ) ( ) 函数， T是一个周期。） 如：若 ，则f x a f x ( ) （答： 是周期函数， 为 的一个周期）f x T a f x( ) ( ) 2 又如：若 图象有两条对称轴 ，f x x a x b(
10、 ) 即 ，f a x f a x f b x f b x( ) ( ) ( ) ( ) 则 是周期函数， 为一个周期f x a b( ) 2 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 6 f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称 f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称 1 f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称 2 0 将 图象 左移 个
11、单位右移 个单位y f x a aa a y f x ay f x a ( ) ( )( ) ( )( )00上移 个单位下移 个单位b bb by f x a by f x a b( )( )( )( ) 00注意如下“翻折”变换： f x f xf x f x( ) ( )( ) (| | ) 如： f x x( ) l o g 2 1 作出 及 的图象y x y x l o g l o g2 21 1y y = lo g 2 x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ ( k 0 ) y = b O (a,b) O x x = a （ ）一次函数：1 0y kx b k
12、 7 （ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y kx k y b kx a k O a b ( )的双曲线。 （ ）二次函数 图象为抛物线3 02 4 422 2y ax bx c a a x ba ac ba 顶点坐标为 ， ，对称轴 baac ba xba244 22 开口方向： ，向上，函数a y ac ba 0 4 42m i na y ac ba 0 4 42，向下，m a x应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系 二次方程 ax bx c x x y ax bx c x2 1 2 20 0 ， 时，两根 、 为二次函数 的图象与 轴 的两个交点，也是二
13、次 不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0 ( ) 求闭区间 m， n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分 布问题。 如：二次方程 的两根都大于ax bx c k bakf k2 0020 ( )y ( a 0 ) O k x 1 x 2 x 一根大于 ，一根小于k k f k ( ) 0 （ ）指数函数： ，4 0 1y a a ax （ ）对数函数 ，5 0 1y x a aa l o g8 由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y = ax( a 1 ) ( 0 1 ) 1 O 1 x ( 0 a 1 ) （ ）“对勾函数”6 0y x
14、kx k 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最 值的区别是什么？ y O x k k 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算： ，a a aa ap p0 1 0 1 0 ( () )a a a aa amn mnmnmn ( (0 1 0) )， 对数运算： ，l o g l o g l o ga a aM N M N M N 0 0l o g l o g l o g l o g l o ga a a a n aMN M N M n M ， 1对数恒等式： a xa xl o g 对数换底公式： l o g l o gl o g l o g l o ga cc a n abba
15、b nm bm 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换 法） 如：（ ） ， 满足 ，证明 为奇函数。1 x R f x f x y f x f y f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 （先令 再令 ，）x y f y x 0 0 0( ) （ ） ， 满足 ，证明 是偶函数。2 x R f x f xy f x f y f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （先令 x y t f t t f t t ( )( ) ( ) f t f t f t f t( ) ( ) ( ) ( ) ）f t f t( ) ( ) （ ）证明单调性： 32 2 1 2f x
16、 f x x x( ) 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法 ，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （ ）1 2 3 13 4y x x （ ）2 2 43yxx（ ） ，3 3 232x y xx （ ） 设 ， ，4 4 9 3 02y x x x c o s （ ） ， ，5 4 9 0 1y xx x ( 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （ ， ）扇l l R S R R12 12 2 O R 1 弧度 R 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数
17、线的定义 s i n c o s t a n MP OM AT， ， 10 y T A x B S O M P 如：若 ，则 ， ， 的大小顺序是 8 0 s i n c o s t a n又如：求函数 的定义域和值域。y x 1 2 2c o s （ ）1 22 1 2 0 c o s s i n x x ，如图：s i n x 22 ，2 54 2 4 0 1 2k x k k Z y 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ s i n c o sx x 1 1， 11 y x O 22y t g x 对称点为 ， ，k k Z2 0 y
18、 x k k k Z s i n 的增区间为 ，2 2 2 2 减区间为 ，2 2 2 3 2k k k Z 图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Z 02 y x k k k Z c o s 的增区间为 ，2 2 减区间为 ，2 2 2k k k Z 图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Z 2 0y x k k k Z t a n 的增区间为 ， 2 2 26. y = A s i n x +正弦型函数 的图象和性质要熟记。 或 y A x c o s （ ）振幅 ，周期1 2| | | |A T 若 ，则 为对称轴。f x A x x0 0 若 ，则 ， 为对称点，反之也
19、对。f x x0 00 0（ ）五点作图：令 依次为 ， ， ， ， ，求出 与 ，依点2 02 3 2 2 x x y（ x， y）作图象。 （ ）根据图象求解析式。 （求 、 、 值）3 A 12 如图列出 ( )( )xx1202 解条件组求 、 值 正切型函数 ，y A x T t a n| | 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面 先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如： ， ， ，求 值。c o s x x x 6 22 3 2（ ， ， ， ） x x x x32 7 6 6 5 3 6 5 4 131228. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有
20、界性了吗？ 如：函数 的值域是y x x s i n s i n | | （ 时， ， ， 时， ， ， ）x 0 2 2 2 0 0 2 2y x x y ys i n 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： （ ）点 （ ， ） ，平移至 （ ， ），则1 P x y a h k P x yx x hy y k ( ) （ ）曲线 ， 沿向量 ， 平移后的方程为 ，2 0 0f x y a h k f x h y k( ) ( ) ( ) 如：函数 的图象经过怎样的变换 才能得到 的y x y x 2 2 4 1s i n s i n图象？ （ 横坐标伸
21、长到原来的 倍y x y x 2 2 4 1 2 2 12 4 12s i n s i n 13 2 4 1 4 2 1 21s i n s i n s i nx y x y x左平移 个单位上平移 个单位 纵坐标缩短到原来的 倍 ）12 y xs i n 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 如： 142 2 2 2 s i n c o s s e c t a n t a n c o t c o s s e c t a n s i n c o s2 0 称为 的代换。1 “ ”化为 的三角函数“奇变 ，偶不变，符号看象限 ”，k 2 “奇”、“偶”指 k取奇、偶数。 如： c o
22、 s t a n s i n94 7 6 21 又如：函数 ，则 的值为y y s i n t a nc o s c o t A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值 （ ， ）y s i n s i nc o sc o s c o ss i ns i n c o sc o s s i n 2211 0 031. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系： s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n c o s 令 2 2 c o s c o s c o s s i n s i n c o s c o s
23、s i n 令22 2 t a nt a n t a nt a n t a n 1 2 1 1 22 2c o s s i n t a nt a nt a n2212c o sc o ss i nc o s221 221 22 a b a b bas i n c o s s i n t a n 2 2 ，s i n c o s s i n 2 414 s i n c o s s i n 3 2 3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类 最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法： （ ）角的变换：如 ， 12 2 2 （ 2）名的变换：化弦或化切 （ 3）
24、次数的变换：升、降幂公式 （ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知 ， ，求 的值。s i n c o sc o s t a n t a n 1 2 1 23 2 （由已知得： ，s i n c o ss i n c o ss i n t a n 2 2 1 122 又 t a n 23 ）t a n t a nt a n t a nt a n t a n 2 123121 23 121832. 正、余弦定理的各 种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 余弦定理： a b c bc A A b c abc2 2 22 2 222 c o s c o s（应
25、用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 正弦定理： aAbBcC Ra R Ab R Bc R Cs i n s i n s i ns i ns i ns i n 2222S a b C 12 s i n ，A B C A B C ，s i n s i n s i n c o sA B C A B C 2 2如 中， A B C A B C22 2 12s i n c o s （ ）求角 ；1 C 15 （ ）若 ，求 的值。22 2 22 22a b c A B c o s c o s （ ）由已知式得：1 1 2 1 12 c o s c o sA B C 又 ，A B C C C
26、2 1 02c o s c o s 或 （舍）c o s c o sC C 12 1又 ，03 C C （ ）由正弦定理及 得：2 122 2 2a b c 2 23 342 2 2 2s i n s i n s i n s i nA B C 1 2 1 2 34 c o s c o sA B ）c o s c o s2 2 34A B 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦： ， ， ，a r c s i n x x 2 2 1 1 反余弦： ， ， ，a r c c o s x x 0 1 1 反正切： ， ，a r c t a n x x R 2 234. 不等式的性质有哪
27、些？ （ ） ，1 00a bc ac bcc ac bc （ ） ，2 a b c d a c b d （ ） ，3 0 0a b c d ac bd （ ） ，4 0 1 1 0 1 1a ba b a b a b （ ） ，5 0a b a b a bn n n n （ ） ， 或6 0| | | |x a a a x a x a x a x a 如：若 ，则下列结论不正确的 是（ ）1 1 0a b A a b B ab b. .2 2 2 16 C a b a b D ab ba. | | | | | | . 2答案： C 35. 利用均值不等式： a b ab a b R a b
28、ab ab a b2 2 22 2 2 ， ； ； 求最值时，你是否注意到“ ， ”且“等号成立”时的 条件，积 或和 其中之一为定a b R ab a b ( ) ( )值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： a b a b ab aba b a b R2 22 22 ，当且仅当 时等号成立。a b a b c ab bc ca a b R2 2 2 ， 当且仅当 时取等号。a b c a b m n 0 0 0， ， ，则 ba b ma m a nb n ab 1如：若 ， 的最大值为x xx 0 2 3 4（设 y xx 2 3 4 2 2 12 2 4 3当且仅当 ，又 ， 时，
29、 ）3 4 0 2 33 2 4 3x x x x y m a x又如： ，则 的最小值为x y x y 2 1 2 4 （ ，最小值为 ）2 2 2 2 2 2 2 22 2 1x y x y 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明 1 12 13 1 22 2 2 n17 （ 1 12 13 1 1 11 2 12 3 1 12 2 2 n n n 1 1 1212131112 1 2）n nn 37 0. ( )( )解分式不等式 的一般步骤是什么？f xg x a a （移项通分，分子分母因式分解， x的系
30、数变为 1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式 “奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如： x x x 1 1 2 02 3 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分 或 讨论a a 1 0 1 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式 | |x x 3 1 1 （解集为 ）x x| 1241 . | | | | | | | | | |会用不等式 证明较简单的不等问题a b a b a b 如：设 ，实数 满足f x x x a x a( ) | | 2 13 1 求证：
31、 f x f a a( ) ( ) (| | ) 2 1 证明： | ( ) ( )| | ( ) ( )|f x f a x x a a 2 213 13 | ( )( )| ( | | )| | | | | | | | |x a x a x ax a x a x ax a1 11 11 又 ，| | | | | | | | | |x a x a x a 1 1 18 f x f a a a( ) ( ) | | | | 2 2 2 1 （按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题） 如： 恒成立 的最小值a f x a f x ( )
32、 ( ) a f x a f x ( ) ( )恒成立 的最大值 a f x a f x ( ) ( )能成立 的最小值 例如：对于一切实数 ，若 恒成立，则 的取值范围是x x x a a 3 2 （设 ，它表示数轴上到两定 点 和 距离之和u x x 3 2 2 3 u a am i n 3 2 5 5 5， ，即 或者： ， ）x x x x a 3 2 3 2 5 5 43. 等差数列的定义与性质 定义： 为常数 ，a a d d a a n dn n n 1 1 1( )等差中项： ， ， 成等差数列x A y A x y 2 前 项和n S a a n na n n dn n 11
33、212 性质： 是等差数列an（ ）若 ，则 ；1 m n p q a a a am n p q （ ）数列 ， ， 仍为等差数列；22 1 2a a ka bn n n S S S S Sn n n n n， ， 仍为等差数列；2 3 2 （ ）若三个数成等差数列 ，可设为 ， ， ；3 a d a a d （ ）若 ， 是等差数列 ， 为前 项和，则 ；42 12 1a b S T n ab STn n n n mmmm （ ） 为等差数列 （ ， 为常数，是关于 的常数项为5 2a S an bn a b nn n 0 的二次函数） 19 S S an bn an n n的最值可求二次函
34、数 的最值；或者求出 中的正、负分界 2项，即： 当 ， ，解不等式组 可得 达到最大值时的 值。a d aa S nnn n1 10 000 当 ， ，由 可得 达到最小值时的 值。a d aa S nnn n1 10 0 0 0 如：等差数列 ， ， ， ，则a S a a a S nn n n n n 18 3 11 2 3（由 ，a a a a an n n n n 1 2 1 13 3 3 1 又 ，S a a a a3 1 3 2 22 3 3 113 S a a n a a n nnn n 1 2 12 213 12 18 n 27） 44. 等比数列的定义与性质 定义： （ 为
35、常数， ），aa q q q a a qn n n n 1 1 10等比中项： 、 、 成等比数列 ，或x G y G xy G xy 2 前 项和： （要注意 ）n S na qa qq qnn 11111 1( )( ) ! 性质： 是等比数列an（ ）若 ，则 1 m n p q a a a am n p q （ ） ， ， 仍为等比数列2 2 3 2S S S S Sn n n n n 45 . 由 求 时应注意什么？S an n （ 时， ， 时， ）n a S n a S Sn n n 1 21 1 1 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（ 1）求差（商）法 20
36、如： 满足 a a a a nn n n12 12 12 2 5 11 2 2 解： n a a 1 12 2 1 5 141 1时， ，n a a a nn n 2 12 12 12 2 1 5 21 2 2 1 1时， 1 2 12 2得： n na an n 2 1 a nnn n 14 12 21( )( )练习 数列 满足 ， ，求a S S a a an n n n n 1 1 153 4（注意到 代入得：a S S S Sn n n nn 1 1 1 4 又 ， 是等比数列，S S Sn n n1 4 4 n a S Sn n n n 2 3 41 1时， （ 2）叠乘法 例如：
37、数列 中， ， ，求a a a a nn an nn n113 1 解： aaaaaa n naa nnn n21 32 1 112 23 1 1 ， 又 ，a ann1 3 3 （ 3）等差型递推公式 由 ， ，求 ，用迭加法a a f n a a an n n 1 1 0( ) n a a fa a fa a f nn n 2 232 13 21时， 两边相加，得：( )( )( )a a f f f nn 1 2 3( ) ( ) ( ) a a f f f nn 0 2 3( ) ( ) ( ) 练习 21 数列 ， ， ，求a a a a n an n n n n1 1 11 3 2
38、 （ ）an n 12 3 1（ 4）等比型递推公式 a ca d c d c c dn n 1 0 1 0、 为常数， ， ， 可转化为等比数列，设 a x c a xn n 1 a ca c xn n 1 1令 ，( )c x d x dc 1 1 是首项为 ， 为公比的等比数列a dc a dc cn 1 11 a dc a dc cn n 1 11 1 a a dc c dcn n 1 11 1练习 数列 满足 ， ，求a a a a an n n n1 19 3 4 （ ）ann 8 43 11 （ 5）倒数法 例如： ， ，求a a aa an nn n1 11 2 2 由已知得： 1 22 12 11aa a annn n 1 1 121a an n 1 1 1 121a an为等差数列， ，公差为 1 1 1 12 12 1a n nn 22 ann 2 147. 你熟悉求数列前 n项和的常用方法吗？ 例如：（ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出 现成对互为相反数的项。 如： 是公差为 的等差数列，求a d a ank kkn 111 解： 由 1 1 1 1 1 01 1a a a a d d a a dk k k k k k 1 1 1 111 11a a d a
