1、牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分2018 上 海 市 浦 东 新 区 高 考 数 学 二 模 试 卷 2018.04一 . 填 空 题 （ 本 大 题 共 12 题 ， 1-6 每 题 4 分 ， 7-12 每 题 5 分 ， 共 54 分 ）1. 2 1lim 1n nn 2. 不 等 式 01xx 的 解 集 为3. 已 知 na 是 等 比 数 列 ， 它 的 前 n 项 和 为 nS ， 且 3 4a ， 4 8a ， 则 5S 4. 已 知 1( )f x 是 函 数 2( ) log ( 1)f x x 的 反 函 数 ， 则 1(2)f 5. 9
2、1( )x x 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 为6. 椭 圆 2cos3sinxy （ 为 参 数 ） 的 右 焦 点 坐 标 为7. 满 足 约 束 条 件 2 42 300x yx yxy 的 目 标 函 数 3 2f x y 的 最 大 值 为8. 函 数 2 3( ) cos sin22f x x x ， xR 的 单 调 递 增 区 间 为9. 已 知 抛 物 线 型 拱 桥 的 顶 点 距 水 面 2 米 时 ， 量 得 水 面 宽 为 8 米 ， 当 水 面 下 降 1 米 后 ， 水面 的 宽 为 米10. 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标
3、系 O xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (0,0,0) 、 (1,0,1) 、 (0,1,1)、(1,1,0)， 则 该 四 面 体 的 体 积 为11. 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 ( )f x 在 0, ) 上 是 增 函 数 ， 如 果 对 于 任 意1,2x ， ( 1) ( 3)f ax f x 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是12. 已 知 函 数 2( ) 5 7f x x x ， 若 对 于 任 意 的 正 整 数 n ， 在 区 间 51, n n 上 存 在 1m 个实 数 0a 、 1a 、 2a 、 、
4、 ma ， 使 得 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )mf a f a f a f a 成 立 ， 则 m的 最 大值 为二 . 选 择 题 （ 本 大 题 共 4 题 ， 每 题 5 分 ， 共 20 分 ）13. 已 知 方 程 2 1 0x px 的 两 虚 根 为 1x 、 2x ， 若 1 2| | 1x x ， 则 实 数 p的 值 为 （ ）A. 3 B. 5 C. 3， 5 D. 3 ， 5牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分14. 在 复 数 运 算 中 下 列 三 个 式 子 是 正 确 的 ：（ 1） 1 2 1 2| | | | |
5、|z z z z ；（ 2） 1 2 1 2| | | | | |z z z z ；（ 3） 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z ， 相 应 的 在 向 量 运 算 中 ， 下 列 式 子 ： （ 1） | | | | | |a b a b ；（ 2） | | | | | |a b a b ； （ 3） ( ) ( )a b c a b c ， 正 确 的 个 数 是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 315. 唐 代 诗 人 杜 牧 的 七 绝 唐 诗 中 有 两 句 诗 为 ： “ 今 来 海 上 升 高 望 ， 不 到 蓬 莱 不 成 仙 。 ” 其 中后
6、 一 句 中 “ 成 仙 ” 是 “ 到 蓬 莱 ” 的 （ ）A. 充 分 条 件 B. 必 要 条 件C. 充 要 条 件 D. 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件16. 设 P、 Q是 R 上 的 两 个 非 空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 P到 Q 的 函 数 ( )y f x 满 足 ： （ 1） ( )| Q f x x P ； （ 2） 对 任 意 1 2,x x P ， 当 1 2x x 时 ， 恒 有 1 2( ) ( )f x f x ， 那 么 称 这两 个 集 合 构 成 “ P Q 恒 等 态 射 ” ， 以 下 集 合 可 以 构 成 “ P Q 恒
7、 等 态 射 ” 的 是 （ ）A. RZ B. ZQ C. 1,2 (0,1) D. (1,2) R三 . 解 答 题 （ 本 大 题 共 5 题 ， 共 14+14+14+16+18=76 分 ）17. 已 知 圆 锥 AO的 底 面 半 径 为 2， 母 线 长 为 2 10 ， 点 C 为 圆 锥 底 面 圆 周 上 的 一 点 ， O为圆 心 ， D 是 AB 的 中 点 ， 且 2BOC .（ 1） 求 圆 锥 的 全 面 积 ；（ 2） 求 直 线 CD 与 平 面 AOB所 成 角 的 大 小 .（ 结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 ）18. 在 ABC 中 ， 边
8、a 、 b、 c 分 别 为 角 A、 B、 C 所 对 应 的 边 .（ 1） 若 2 (2 )sin 0(2 )sin1 sin(2 )sinc a b Ab a B Ca b A ， 求 角 C 的 大 小 ；（ 2） 若 4sin 5A ， 23C ， 3c ， 求 ABC 的 面 积 .牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分19. 已 知 双 曲 线 2 2: 1C x y .（ 1） 求 以 右 焦 点 为 圆 心 ， 与 双 曲 线 C 的 渐 近 线 相 切 的 圆 的 方 程 ；（ 2） 若 经 过 点 (0, 1)P 的 直 线 与 双 曲 线
9、C 的 右 支 交 于 不 同 两 点 M 、 N ， 求 线 段 MN 的 中垂 线 l 在 y轴 上 截 距 t 的 取 值 范 围 .20. 已 知 函 数 ( )y f x 定 义 域 为 R， 对 于 任 意 xR 恒 有 (2 ) 2 ( )f x f x .（ 1） 若 (1) 3f ， 求 (16)f 的 值 ；（ 2） 若 (1,2x 时 ， 2( ) 2 2f x x x ， 求 函 数 ( )y f x ， (1,8x 的 解 析 式 及 值 域 ；（ 3） 若 (1,2x 时 ， 3( ) | |2f x x ， 求 ( )y f x 在 区 间 (1,2 n ， *n
10、 N 上 的 最 大 值 与 最小 值 .21. 已 知 数 列 na 中 1 1a ， 前 n 项 和 为 nS ， 若 对 任 意 的 *n N ， 均 有 n n kS a k （ k 是常 数 ， 且 *k N ） 成 立 ， 则 称 数 列 na 为 “ ( )H k 数 列 ” .（ 1） 若 数 列 na 为 “ (1)H 数 列 ” ， 求 数 列 na 的 前 n 项 和 nS ；（ 2） 若 数 列 na 为 “ (2)H 数 列 ” ， 且 2a 为 整 数 ， 试 问 ： 是 否 存 在 数 列 na ， 使 得2 1 1| | 40n n na a a 对 一 切 2
11、n ， *n N 恒 成 立 ？ 如 果 存 在 ， 求 出 这 样 数 列 na 的 2a 的 所有 可 能 值 ， 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；（ 3） 若 数 列 na 为 “ ( )H k 数 列 ” ， 且 1 2 1ka a a ， 证 明 ： 2 11(1 )2 n kn k ka .牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分上 海 市 浦 东 新 区 2018 届 高 三 二 模 数 学 试 卷 2018.04一 . 填 空 题 （ 本 大 题 共 12 题 ， 1-6 每 题 4 分 ， 7-12 每 题 5 分 ， 共 54 分 ）
12、1. 2 1lim 1n nn 【 解 析 】 22. 不 等 式 01xx 的 解 集 为【 解 析 】 ( 1) 0 (0,1)x x x 3. 已 知 na 是 等 比 数 列 ， 它 的 前 n 项 和 为 nS ， 且 3 4a ， 4 8a ， 则 5S 【 解 析 】 5 1 2 4 8 16 11S 4. 已 知 1( )f x 是 函 数 2( ) log ( 1)f x x 的 反 函 数 ， 则 1(2)f 【 解 析 】 12log ( 1) 2 (2) 3x f 5. 91( )x x 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 为【 解 析 】 39 84C 6. 椭
13、圆 2cos3sinxy （ 为 参 数 ） 的 右 焦 点 坐 标 为【 解 析 】 2 2 14 3x y ， 右 焦 点 为 (1,0)7. 满 足 约 束 条 件 2 42 300x yx yxy 的 目 标 函 数 3 2f x y 的 最 大 值 为【 解 析 】 交 点 2 5( , )3 3 代 入 最 大 ， 163 2 3f x y 8. 函 数 2 3( ) cos sin22f x x x ， xR 的 单 调 递 增 区 间 为【 解 析 】 1( ) sin(2 )6 2f x x ， 单 调 递 增 区 间 为 , 3 6x k k ， kZ9. 已 知 抛 物
14、线 型 拱 桥 的 顶 点 距 水 面 2 米 时 ， 量 得 水 面 宽 为 8 米 ， 当 水 面 下 降 1 米 后 ， 水面 的 宽 为 米【 解 析 】 设 2y ax ， 代 入 (4, 2) ， 18a ， 213 2 68 x x ， 所 以 宽 为 4 6牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分10. 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (0,0,0) 、 (1,0,1) 、 (0,1,1)、(1,1,0)， 则 该 四 面 体 的 体 积 为【 解 析 】 是 一 个 边 长 为
15、2 的 正 四 面 体 ， 体 积 为 1 11 4 6 3 11. 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 ( )f x 在 0, ) 上 是 增 函 数 ， 如 果 对 于 任 意1,2x ， ( 1) ( 3)f ax f x 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是【 解 析 】 | 1| 3ax x 在 1,2x 恒 成 立 ， | 1| 2a 且 | 2 1| 1a ， 解 得 1,0a 12. 已 知 函 数 2( ) 5 7f x x x ， 若 对 于 任 意 的 正 整 数 n ， 在 区 间 51, n n 上 存 在 1m 个
16、实 数 0a 、 1a 、 2a 、 、 ma ， 使 得 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )mf a f a f a f a 成 立 ， 则 m的 最 大值 为【 解 析 】 min5 9( ) 2n n ， 在 区 间 91, 2 上 最 大 值 为 9 19( )2 4f ， 最 小 值 为 5 3( )2 4f ，19 3 164 4 4 ， 即 m 的 最 大 值 为 6二 . 选 择 题 （ 本 大 题 共 4 题 ， 每 题 5 分 ， 共 20 分 ）13. 已 知 方 程 2 1 0x px 的 两 虚 根 为 1x 、 2x ， 若 1 2| | 1x x ， 则 实
17、 数 p的 值 为 （ ）A. 3 B. 5 C. 3， 5 D. 3 ， 5【 解 析 】 由 0 ， 排 除 B、 C、 D， 选 A14. 在 复 数 运 算 中 下 列 三 个 式 子 是 正 确 的 ：（ 1） 1 2 1 2| | | | | |z z z z ；（ 2） 1 2 1 2| | | | | |z z z z ；（ 3） 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z ， 相 应 的 在 向 量 运 算 中 ， 下 列 式 子 ： （ 1） | | | | | |a b a b ；（ 2） | | | | | |a b a b ； （ 3） ( ) ( )
18、a b c a b c ， 正 确 的 个 数 是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【 解 析 】 正 确 ， 错 误 ， 选 B15. 唐 代 诗 人 杜 牧 的 七 绝 唐 诗 中 有 两 句 诗 为 ： “ 今 来 海 上 升 高 望 ， 不 到 蓬 莱 不 成 仙 。 ” 其 中后 一 句 中 “ 成 仙 ” 是 “ 到 蓬 莱 ” 的 （ ）A. 充 分 条 件 B. 必 要 条 件C. 充 要 条 件 D. 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件【 解 析 】 不 到 蓬 莱 不 成 仙 ， 成 仙 到 蓬 莱 ， 选 A16. 设 P、 Q是 R 上 的 两 个 非
19、空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 P到 Q 的 函 数 ( )y f x 满 足 ： （ 1） ( )| Q f x x P ； （ 2） 对 任 意 1 2,x x P ， 当 1 2x x 时 ， 恒 有 1 2( ) ( )f x f x ， 那 么 称 这两 个 集 合 构 成 “ P Q 恒 等 态 射 ” ， 以 下 集 合 可 以 构 成 “ P Q 恒 等 态 射 ” 的 是 （ ）A. RZ B. ZQ C. 1,2 (0,1) D. (1,2) R牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分【 解 析 】 根 据 题 意 ， 定 义 域 为
20、P， 单 调 递 增 ， 值 域 为 Q， 由 此 判 断 ， D 符 合 ， 故 选 D三 . 解 答 题 （ 本 大 题 共 5 题 ， 共 14+14+14+16+18=76 分 ）17. 已 知 圆 锥 AO的 底 面 半 径 为 2， 母 线 长 为 2 10 ， 点 C 为 圆 锥 底 面 圆 周 上 的 一 点 ， O为圆 心 ， D 是 AB 的 中 点 ， 且 2BOC .（ 1） 求 圆 锥 的 全 面 积 ；（ 2） 求 直 线 CD 与 平 面 AOB所 成 角 的 大 小 .（ 结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 ）【 解 析 】 （ 1） 圆 锥 的 底 面
21、 积 21 4S r 3 分圆 锥 的 侧 面 积 2 4 10S rl 3 分圆 锥 的 全 面 积 1 2 4(1 10)S S S 1 分（ 2） 2BOC Q OC OB 且 OC OA ， OC 平 面 AOB 2 分CDO 是 直 线 CD 与 平 面 AOB所 成 角 1 分在 Rt CDOV 中 ， 2OC , 10OD , 1 分10tan 5CDO , 10arctan 5CDO 2 分所 以 ， 直 线 CD 与 平 面 AOB所 成 角 的 为 10arctan 5 1 分18. 在 ABC 中 ， 边 a 、 b、 c 分 别 为 角 A、 B、 C 所 对 应 的
22、边 .（ 1） 若 2 (2 )sin 0(2 )sin1 sin(2 )sinc a b Ab a B Ca b A ， 求 角 C 的 大 小 ；（ 2） 若 4sin 5A ， 23C ， 3c ， 求 ABC 的 面 积 .【 解 析 】 （ 1） 由 题 意 ， 2 sin 2 sin 2 sinc C a b A b a B ； 2 分由 正 弦 定 理 得 22 2 2c a b a b a b ， 2 2 2c a b ab ， 2 分 2 2 2 1cos 2 2a b cC ab ， 3C ； 2 分（ 2） 由 4sin 5A ， 3c ， 且 sin sina cA C
23、 ， 85a ； 2 分由 23a c A C ， 3cos 5A ,2 分 3 3 4sin sin sin cos cos sin 10B A C A C A C ； 2 分牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分 1 18 8 3sin2 25ABCS ca B 2 分19. 已 知 双 曲 线 2 2: 1C x y .（ 1） 求 以 右 焦 点 为 圆 心 ， 与 双 曲 线 C 的 渐 近 线 相 切 的 圆 的 方 程 ；（ 2） 若 经 过 点 (0, 1)P 的 直 线 与 双 曲 线 C 的 右 支 交 于 不 同 两 点 M 、 N ， 求 线
24、 段 MN 的 中垂 线 l 在 y轴 上 截 距 t 的 取 值 范 围 .【 解 析 】 （ 1） 2( 2,0)F 1 分 渐 近 线 0x y 1 分1R 2 分 2 2( 2) 1x y 2 分（ 2） 设 经 过 点 B 的 直 线 方 程 为 1y kx ,交 点 为 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 分2 2 2 21 (1 ) 2 2 01x y k x kxy kx 1 分 则 21 21 2 1, 00 1 20kx x kx x 2 分MN 的 中 点 为 2 21( , )1 1kk k ， 1 分 得 中 垂 线 2 21 1: (
25、)1 1 kl y xk k k 1 分令 0x 得 截 距 2 22 2 21 1t k k 2 分即 线 段 MN 的 中 垂 线 l在 y 轴 上 截 距 t的 取 值 范 围 是 (2, ) .20. 已 知 函 数 ( )y f x 定 义 域 为 R， 对 于 任 意 xR 恒 有 (2 ) 2 ( )f x f x .（ 1） 若 (1) 3f ， 求 (16)f 的 值 ；（ 2） 若 (1,2x 时 ， 2( ) 2 2f x x x ， 求 函 数 ( )y f x ， (1,8x 的 解 析 式 及 值 域 ；（ 3） 若 (1,2x 时 ， 3( ) | |2f x x
26、 ， 求 ( )y f x 在 区 间 (1,2 n ， *n N 上 的 最 大 值 与 最小 值 .【 解 析 】 （ 1） (1) 3f Q 且 (2 ) 2 ( )f x f x(2) 3 ( 2)f 1 分 2 2(2 ) 3 ( 2)f 1 分3 3(2 ) 3 ( 2)f 1 分 4 4(16) (2 ) 3 ( 2) 48f f 1 分（ 2） (2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( )2xf x f x f x f ，(1,2x 时 ， 2 2( ) 2 2 ( 1) 1f x x x x ， ( ) (1,2f x 1 分(2,4x时 ， 2 21( ) 2 ( ) 2( 1
27、) 1 ( 2) 22 2 2x xf x f x ， 1 分( ) 4, 2)f x 1 分牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分(4,8x 时 ， 2 21 1( ) 2 ( ) 2 ( 2) 2 ( 4) 42 2 2 4x xf x f x ， 1 分( ) (4,8f x 1 分得 ： 2 22( 1) 1, (1,21( ) ( 2) 2, (2,421 ( 4) 4, (4,84x xf x x xx x ， 值 域 为 4, 2) 1 2 (4,8 （ ， 1 分（ 3） (2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( )2xf x f x f x f 当 (
28、1,2x 时 ， 3( ) 2f x x 得 ： 当 2(2,2 x 时 ， ( ) 2 ( ) 32xf x f x 1 分当 1(2 ,2 n nx 时 ， 1 (1,22nx ，2 1 1 22 1 1 3( ) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( 1) 3 22 2 2 2 2n n n nn nx x x xf x f f f x L2 分当 1(2 ,2 n nx ， n 为 奇 数 时 ， 2 2( ) 3 2 ,04nnf x x 当 1(2 ,2 n nx ， n 为 偶 数 时 ， 2 2( ) 3 2 0, 4nnf x x 综 上 ： 1n 时
29、 ， ( )f x 在 (1,2上 最 大 值 为 0， 最 小 值 为 12 1 分2n， n 为 偶 数 时 ， ( )f x 在 (1,2 n 上 最 大 值 为 24n ， 最 小 值 为 28n 1 分3n ， n 为 奇 数 时 ， ( )f x 在 (1,2 n 上 最 大 值 为 28n ， 最 小 值 为 24n 1 分21. 已 知 数 列 na 中 1 1a ， 前 n 项 和 为 nS ， 若 对 任 意 的 *n N ， 均 有 n n kS a k （ k 是常 数 ， 且 *k N ） 成 立 ， 则 称 数 列 na 为 “ ( )H k 数 列 ” .（ 1）
30、 若 数 列 na 为 “ (1)H 数 列 ” ， 求 数 列 na 的 前 n 项 和 nS ；（ 2） 若 数 列 na 为 “ (2)H 数 列 ” ， 且 2a 为 整 数 ， 试 问 ： 是 否 存 在 数 列 na ， 使 得2 1 1| | 40n n na a a 对 一 切 2n ， *n N 恒 成 立 ？ 如 果 存 在 ， 求 出 这 样 数 列 na 的 2a 的 所有 可 能 值 ， 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；（ 3） 若 数 列 na 为 “ ( )H k 数 列 ” ， 且 1 2 1ka a a ， 证 明 ： 2 11(1 )2 n k
31、n k ka .【 解 析 】 （ 1） 数 列 na 为 “ 1H 数 列 ”， 则 1 1n nS a ， 故 1 2 1n nS a ，牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分两 式 相 减 得 ： 2 12n na a ， 1 分又 1n 时 ， 1 2 1a a ， 所 以 2 12 2a a ， 1 分故 1 2n na a 对 任 意 的 N*n 恒 成 立 ， 即 1 2nnaa （ 常 数 ） ，故 数 列 na 为 等 比 数 列 ， 其 通 项 公 式 为 12 , *nna n N ； 1 分2 1, *nnS n N 1 分（ 2） 2 1
32、3 2 3 2 11 3 2 ( )2 N*n n n n n n n nn nS a a a a a a a nS a 2 1 ( 2, )N*n n na a a n n 1 分当 *2,n n N 时 ， 2 2 21 2 1 1 1 1( )n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a 因 为 *1 1,( 3, )n n na a a n n N ， 则 2 2 *1 2 1 1 ,( 3, )n n n n n na a a a a a n n N ；则 2 2 *1 2 1 1 ,( 3, )n n n n n na a a a a a n
33、 n N 2 分则 2 2 *1 1 3 2 4 ( 3, )n n na a a a a a n n N ， 因 为 4 3 2a a a 则 2 2 2 *1 1 3 2 3 2 ( 3, )n n na a a a a a a n n N 1 分因 为 1 3 1 32, 1 3S a a a ， 则 22 29 3 40a a ， 且 2n 时 ， 22 3 40a ，解 得 ： 2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6a 2 分（ 3） *1*1 1 ( 2, )( 2, )n k n n k n k nn k na S k a a a n n Na S k n n N 1 分1
34、1 0ka S k ， 由 归 纳 知 ， 2 0, , 0k na a L ， 1 分1 2 11, 1k ka a a a k L ， 由 归 纳 知 ， *1,( )n na a n N ， 2 分则 *1 1 1 12 ( 2, )n k n k n n k n k n ka a a a a a n n N *12 ( 2, )n k n ka a n n N 1 分 *1 2 2 12 11 1 1 ,( )2 2 2n k n k n k n kka a a a n N L 1 分于 是 *2 2 1 2 111(1 ) ,( )2n k n k n k n kka a a a n N 于 是 1 *2 211(1 ) ,( )2 nn k kka a n N 1 分2 2k ka S k k ， 1 12 1 1 11 1 1(1 ) 2 (1 ) ,(2 (1 ) )2 2 2n n k kn k k k ka k k 1 分结 论 显 然 成 立 .牛 人 数 学 工 作 室 助 力 高 考 数 学 冲 刺 满 分
