1、 第 1 页（共 18 页 ） 2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1（ 5 分）（ 2018新课标 ）设 z= +2i，则 |z|=（ ） A 0 B C 1 D 2（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知集合 A=x|x2 x 2 0，则 RA=（ ） A x| 1 x 2 B x| 1 x 2 C x|x 1 x|x 2 D x|x 1 x|x 2 3（ 5 分）（ 2018新课标 ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍 ，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设
2、前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4（ 5 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和若 3S3=S2+S4， a1=2，则 a5=（ ） A 12 B 10 C 10 D 12 5（ 5 分） （ 2018新课标 ）设函数 f（ x） =x3+（ a 1） x2+ax若 f（ x）为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线方程为（ ） A y=
3、 2x B y= x C y=2x D y=x 6（ 5 分）（ 2018新课标 ）在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 =（ ） A B C + D + 7（ 5 分）（ 2018新课标 ）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的 对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A 2 B 2 C 3 D 2 第 2 页（共 18 页 ） 8（ 5 分）（ 2018新课标 ）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（ 2， 0）且斜
4、率为 的直线与 C 交于 M， N两点，则 =（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 9（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） = ， g（ x） =f（ x） +x+a若 g（ x）存在 2 个零点，则a 的取值范围是（ ） A 1， 0） B 0， + ） C 1， + ） D 1， + ） 10（ 5 分）（ 2018新课标 ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 ，其余部分记为 在整个图形中随机取一点，此点取自 ， ，
5、 的概率分别记为 p1， p2， p3，则（ ） A p1=p2 B p1=p3 C p2=p3 D p1=p2+p3 11（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知双曲线 C： y2=1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N若 OMN 为直角三角形，则 |MN|=（ ） A B 3 C 2 D 4 12（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13（ 5 分）（
6、 2018新课标 ）若 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 14（ 5 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为数列 an的前 n 项和若 Sn=2an+1，则 S6= 15（ 5 分）（ 2018新课标 ）从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案） 16（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） =2sinx+sin2x，则 f（ x）的最小值是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为
7、选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分）（ 2018新课标 ）在平面四边形 ABCD 中， ADC=90， A=45， AB=2， BD=5 （ 1）求 cos ADB； 第 3 页（共 18 页 ） （ 2）若 DC=2 ，求 BC 18（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF （ 1）证明：平面 PEF 平面 ABFD； （ 2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 19（ 12 分）（ 2018新课标
8、 ）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，点 M 的坐标为（ 2， 0） （ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （ 2）设 O 为坐标原点，证明： OMA= OMB 20（ 12 分）（ 2018新课标 ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p（ 0 p 1），且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20 件产品中恰有
9、 2 件不合格品的概率为 f（ p），求 f （ p）的最大值点 p0 （ 2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的 p0 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （ i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX； （ ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21（ 12 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） = x+alnx （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 f（ x）存
10、在两个极值点 x1， x2，证明： a 2 （二） 选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 22（ 10 分）（ 2018新课标 ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos 3=0 （ 1）求 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 23（ 2018新课标 ）已知 f（ x） =|x
11、+1| |ax 1| （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 1 的解集； 第 4 页（共 18 页 ） （ 2）若 x （ 0， 1）时不等式 f（ x） x 成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页 ） 2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标 ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 C； 2 B； 3 A； 4 B； 5 D； 6 A； 7 B； 8 D； 9 C； 10 A； 11 B； 12 A； 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
12、 13 6； 14 63； 15 16； 16 ； 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1（ 5 分）（ 2018新课标 ）设 z= +2i，则 |z|=（ ） A 0 B C 1 D 【分析】 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸 【解答】 解： z= +2i= +2i= i+2i=i， 则 |z|=1 故选： C 2（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知集合 A=x|x2 x 2 0，则 RA=（ ） A x| 1 x 2 B x| 1 x 2 C x|x 1 x|x 2 D x|x 1 x|x
13、 2 【分析】 通过求解不等式，得到集合 A，然后求解补集即可 【解答】 解：集合 A=x|x2 x 2 0， 可得 A=x|x 1 或 x 2， 则： RA=x| 1 x 2 故选： B 3（ 5 分）（ 2018新课标 ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 第 6 页（共 18 页 ） 则下面结论中不正确的是（ ） A新农 村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收
14、入的总和超过了经济收入的一半 【分析】 设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果 【解答】 解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a A 项，种植收入 37 2a 60%a=14%a 0， 故建设后，种植收入增加，故 A 项错误 B 项，建设后，其他收入为 5% 2a=10%a， 建设前，其他收入为 4%a， 故 10%a 4%a=2.5 2， 故 B 项正确 C 项，建设后，养殖收入为 30% 2a=60%a， 建设前，养殖收入为 30%a， 故 60%a 30%a=2， 故 C 项正确 D 项，建设后，养殖收入与
15、第三产业收入总和为 （ 30%+28%） 2a=58% 2a， 经济收入为 2a， 故（ 58% 2a） 2a=58% 50%， 故 D 项正确 因为是选择不正确的一项， 故选： A 4（ 5 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和若 3S3=S2+S4， a1=2，则 a5=（ ） A 12 B 10 C 10 D 12 【分析】 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程，能求出 a5 的值 【解答】 解： Sn 为等差数列 an的前 n 项和， 3S3=S2+S4， a1=2， =a1+a1+d+4a1+ d， 把 a1=2，代入得 d= 3 a5=2+
16、4 （ 3） = 10 故选： B 5（ 5 分）（ 2018新课标 ）设函数 f（ x） =x3+（ a 1） x2+ax若 f（ x）为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线方程为（ ） A y= 2x B y= x C y=2x D y=x 【分 析】 利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程 第 7 页（共 18 页 ） 【解答】 解：函数 f（ x） =x3+（ a 1） x2+ax，若 f（ x）为奇函数， 可得 a=1，所以函数 f（ x） =x3+x，可得 f（ x） =3x2+1， 曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切
17、线的斜率为： 1， 则曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线方程为： y=x 故选： D 6（ 5 分）（ 2018新课标 ）在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 =（ ） A B C + D + 【分析】 运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量 【解答】 解：在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， = = = （ + ） = ， 故选： A 7（ 5 分）（ 2018新课标 ）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对
18、应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A 2 B 2 C 3 D 2 【分析】 判断三视图对应的几何体的形状 ，利用侧面展开图，转化求解即可 【解答】 解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为： 2， 直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度：=2 故选： B 第 8 页（共 18 页 ） 8（ 5 分）（ 2018新课标 ）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（ 2， 0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N两点，则 =（ ） A 5 B
19、6 C 7 D 8 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出 M、 N 的坐标，然后求解向量的数量积即可 【解答 】 解：抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F（ 1， 0），过点（ 2， 0）且斜率为 的直线为： 3y=2x+4， 联立直线与抛物线 C： y2=4x，消去 x 可得： y2 6y+8=0， 解得 y1=2， y2=4，不妨 M（ 1， 2）， N（ 4， 4）， ， 则 =（ 0， 2） （ 3， 4） =8 故选： D 9（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） = ， g（ x） =f（ x） +x+a若 g（ x）存在 2 个零点，则a 的取值范围是
20、（ ） A 1， 0） B 0， + ） C 1， + ） D 1， + ） 【分析】 由 g（ x） =0 得 f（ x） = x a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可 【解答】 解：由 g（ x） =0 得 f（ x） = x a， 作出函数 f（ x）和 y= x a 的图象如图： 当直线 y= x a 的截距 a 1，即 a 1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g（ x）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是 1， + ）， 故选： C 10（ 5 分）（ 2018新课标 ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此
21、图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的 斜边 BC，直角边 AB， AC ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 ，其余部分记为 在整个图形中随机取一点，此点取自 ， ， 的概率分别记为 p1， p2， p3，则（ ） 第 9 页（共 18 页 ） A p1=p2 B p1=p3 C p2=p3 D p1=p2+p3 【分析】 如图：设 BC=2r1， AB=2r2， AC=2r3，分别求出 ， ， 所对应的面积，即可得到答案 【解答】 解：如图：设 BC=2r1， AB=2r2， AC=2r3， r12=r22+r32， S = 4r2r3=2r2r3， S
22、= r12 2r2r3， S = r32+ r22 S = r32+ r22 r12+2r2r3=2r2r3， S =S ， P1=P2， 故选： A 11（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知双曲线 C： y2=1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N若 OMN 为直角三角形，则 |MN|=（ ） A B 3 C 2 D 4 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求解 |MN| 【解答】 解：双曲线 C： y2=1 的渐近线方 程为： y= ，渐近线的夹角为： 60，不妨设过 F（ 2， 0）的直
23、线为： y= ， 则： 解得 M（ ， ）， 解得： N（ ）， 则 |MN|= =3 故选： B 12（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A B C D 【分析】 利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正方体所得截面面积的最第 10 页（共 18 页 ） 大值 【解答】 解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时， 截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长 ， 截
24、此正方体所得截面最大值为： 6 = 故选： A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13（ 5 分）（ 2018新课标 ）若 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 6 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+2y 得 y= x+ z， 平移直线 y= x+ z， 由图象知当直线 y= x+ z 经过点 A（ 2， 0）时，直线的截距最大，此时 z 最大， 最大值为 z=3 2=6， 故答案为： 6 14（ 5 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为数列
25、an的前 n 项和若 Sn=2an+1，则 S6= 63 第 11 页（共 18 页 ） 【分析】 先根据数列的递推公式可得 an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可 【解答】 解： Sn 为数列 an的前 n 项和， Sn=2an+1， 当 n=1 时， a1=2a1+1，解得 a1= 1， 当 n 2 时， Sn 1=2an 1+1， ， 由 可得 an=2an 2an 1， an=2an 1， an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， S6= = 63， 故答案为： 63 15（ 5 分）（ 2018新课标 ）从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人
26、参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 16 种（用数字填写答案） 【分析】 方法一：直接法，分类即可求出， 方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数 【解答】 解：方法一：直接法， 1 女 2 男，有 C21C42=12， 2 女 1 男，有 C22C41=4 根据分类计数原理可得 ，共有 12+4=16 种， 方法二，间接法： C63 C43=20 4=16 种， 故答案为： 16 16（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） =2sinx+sin2x，则 f（ x）的最小值是 【分析】 由题意可得 T=2 是 f（ x）的一个周期，问题转
27、化为 f（ x）在 0， 2）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得 【解答】 解：由题意可得 T=2 是 f（ x） =2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑 f（ x） =2sinx+sin2x 在 0， 2）上的值域， 先来求该函数在 0， 2）上的极 值点， 求导数可得 f（ x） =2cosx+2cos2x =2cosx+2（ 2cos2x 1） =2（ 2cosx 1）（ cosx+1）， 令 f（ x） =0 可解得 cosx= 或 cosx= 1， 可得此时 x= ， 或 ； y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ， 或 和边界点 x=0 中取到，
28、 计算可得 f（ ） = ， f（ ） =0， f（ ） = ， f（ 0） =0， 函数的最小值为 ， 故答案为： 第 12 页（共 18 页 ） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分）（ 2018新课标 ）在平面四边形 ABCD 中， ADC=90， A=45， AB=2， BD=5 （ 1）求 cos ADB； （ 2）若 DC=2 ，求 BC 【分析】 （ 1）由正弦定理得 = ，求出 sin ADB= ，由此
29、能求出 cos ADB； （ 2）由 ADC=90，得 cos BDC=sin ADB= ，再由 DC=2 ，利用余弦定理能求出 BC 【解答】 解：（ 1） ADC=90， A=45， AB=2， BD=5 由正弦定理得： = ，即 = ， sin ADB= = ， AB BD， ADB A， cos ADB= = （ 2） ADC=90， cos BDC=sin ADB= ， DC=2 ， BC= = =5 18（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且
30、PF BF （ 1）证明：平面 PEF 平面 ABFD； （ 2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 第 13 页（共 18 页 ） 【分析】 （ 1）利用正方形的性质可得 BF 垂直于面 PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可 （ 2）利用等体积法可求出点 P 到面 ABCD 的距离，进而求出线面角 【解答】 （ 1）证明：由题意，点 E、 F 分别是 AD、 BC 的中点， 则 ， ， 由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF BC 由于 PF BF， EF PF=F，则 BF 平面 PEF 又因为 BF平面 ABFD，所以：平面 PEF 平面 ABFD （ 2）在平面
31、 DEF 中，过 P 作 PH EF 于点 H，联结 DH， 由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线， PH EF， 则 PH 面 ABFD，故 PH DH 在三棱锥 P DEF 中，可以利用等体积法求 PH， 因为 DE BF 且 PF BF， 所以 PF DE， 又因为 PDF CDF， 所以 FPD= FCD=90， 所以 PF PD， 由于 DE PD=D，则 PF 平面 PDE， 故 VF PDE= ， 因为 BF DA 且 BF 面 PEF， 所以 DA 面 PEF， 所以 DE EP 设正方形边长为 2a，则 PD=2a， DE=a 在 PDE 中， ， 所以 ， 故
32、VF PDE= ， 又因为 ， 所以 PH= = ， 所以在 PHD 中， sin PDH= = ， 第 14 页（共 18 页 ） 即 PDH 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为： 19（ 12 分）（ 2018新课标 ）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，点 M 的坐标为（ 2， 0） （ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （ 2）设 O 为坐标原点，证明： OMA= OMB 【分析】 （ 1）先得到 F 的坐标，再求出点 A 的方程，根据两点式可得直线方程， （ 2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，
33、以及韦达定理，即可证明 【解答】 解：（ 1） c= =1， F（ 1， 0）， l 与 x 轴垂直， x=1， 由 ，解 得 或 ， A（ 1. ），或（ 1， ）， 直线 AM 的方程为 y= x+ ， y= x ， 证明：（ 2）当 l 与 x 轴重合时， OMA= OMB=0， 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线， OMA= OMB， 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（ x 1）， k 0， A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1 ， x2 ， 直线 MA， MB 的斜率之和为 kMA， kMB 之和为 kMA+kMB=
34、 + ， 由 y1=kx1 k， y2=kx2 k 得 kMA+kMB= ， 将 y=k（ x 1）代入 +y2=1 可得（ 2k2+1） x2 4k2x+2k2 2=0， x1+x2= ， x1x2= ， 第 15 页（共 18 页 ） 2kx1x2 3k（ x1+x2） +4k= （ 4k2 4k 12k2+8k2+4k） =0 从而 kMA+kMB=0， 故 MA， MB 的倾斜角互补， OMA= OMB， 综上 OMA= OMB 20（ 12 分）（ 2018新课标 ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检
35、验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有 产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p（ 0 p 1），且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（ p），求 f （ p）的最大值点 p0 （ 2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的 p0 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （ i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX； （ ）以检验费用与赔
36、偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这 箱余下的所有产品作检验？ 【分析】 （ 1 ） 求 出 f （ p ） = ，则= ，利用导数性质能求出 f （ p）的最大值点 p0=0.1 （ 2）（ i）由 p=0.1，令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y B（ 180， 0.1），再由 X=20 2+25Y，即 X=40+25Y，能求出 E（ X） （ ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元， E（ X） =490 400，从而应该对余下的产品进行检验 【解答】 解：（ 1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（ p）， 则
37、 f（ p） = ， = ， 令 f（ p） =0，得 p=0.1， 当 p （ 0， 0.1）时， f（ p） 0， 当 p （ 0.1， 1）时， f（ p） 0， f （ p）的最大值点 p0=0.1 （ 2）（ i）由（ 1）知 p=0.1， 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y B（ 180， 0.1）， X=20 2+25Y，即 X=40+25Y， E（ X） =E（ 40+25Y） =40+25E（ Y） =40+25 180 0.1=490 （ ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元， E（ X） =490 400， 应
38、 该对余下的产品进行检验 第 16 页（共 18 页 ） 21（ 12 分）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） = x+alnx （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 f（ x）存在两个极值点 x1， x2，证明： a 2 【分析】 （ 1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可 （ 2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论 【解答】 解：（ 1）函数的定义域为（ 0， + ）， 函数的导数 f（ x） = 1+ = ， 设 g（ x） =x2 ax+1， 当 a 0 时， g（ x） 0 恒成立 ，即 f（ x）
39、0 恒成立，此时函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， 当 a 0 时，判别式 =a2 4， 当 0 a 2 时， 0，即 g（ x） 0，即 f（ x） 0 恒成立，此时函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， 当 a 2 时， x， f（ x）， f（ x）的变化如下表： x （ 0，） （，） （，+ ） f（ x） 0 + 0 f（ x） 递减 递增 递减 综上当 a 2 时， f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， 当 a 2 时，在（ 0， ），和（ ， + ）上是减函 数， 则（ ， ）上是增函数 （ 2）由（ 1）知 a 2， 0 x1 1 x2， x1x2=1
40、， 则 f（ x1） f（ x2） =（ x2 x1）（ 1+ ） +a（ lnx1 lnx2） =2（ x2 x1） +a（ lnx1 lnx2）， 则 = 2+ ， 则问题转为证明 1 即可， 即证明 lnx1 lnx2 x1 x2， 即证 2lnx1 x1 在（ 0， 1）上恒成立， 设 h（ x） =2lnx x+ ，（ 0 x 1），其中 h（ 1） =0， 第 17 页（共 18 页 ） 求导得 h（ x） = 1 = = 0， 则 h（ x）在（ 0， 1）上单调递减， h（ x） h（ 1），即 2lnx x+ 0， 故 2lnx x ， 则 a 2 成立 （二）选考题：共 1
41、0 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 22（ 10 分）（ 2018新课标 ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos 3=0 （ 1）求 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 【分析】 （ 1） 直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化 （ 2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果
42、【解答】 解：（ 1）曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos 3=0 转换为直角坐标方程为： x2+y2+2x 3=0， 转换为标准式为：（ x+1） 2+y2=4 （ 2）由于曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2，则：该直线关于 y 轴对称，且恒过定点（ 0， 2） 由于该直线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点 所以：必有一直线相切，一直线相交 则：圆心到直线 y=kx+2 的距离 等于半径 2 故： ， 解得： k= 或 0，（ 0 舍去） 故 C1 的方程为： 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 23（ 2018新课标 ）已知 f（ x） =|x+1| |ax 1| （
43、1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 1 的解集； （ 2）若 x （ 0， 1）时不等式 f（ x） x 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （ 2）当 x （ 0， 1）时不等式 f（ x） x 成立，转化为即 |ax 1| 1，即 0 ax 2，转化为 a ，且 a 0，即可求出 a 的范围 第 18 页（共 18 页 ） 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =|x+1| |x 1|= ， 由 f（ x） 1， 或 ， 解得 x ， 故不等式 f（ x） 1 的解集为（ ， + ）， （ 2）当 x （ 0， 1）时不等式 f（ x） x 成立， |x+1| |ax 1| x 0， 即 x+1 |ax 1| x 0， 即 |ax 1| 1， 1 ax 1 1， 0 ax 2， x （ 0， 1）， a 0， 0 x ， a 2， 0 a 2， 故 a 的取值范围为（ 0， 2
