1、2-1 控制系统的时域数学模型,2-2 控制系统的复数域数学模型,2-3 控制系统的结构图,第二章 控制系统的数学模型,2-4 控制系统的信号流图,数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 数学模型可以有多种形式。在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图、信号流图、状态图是数学模型的图形表达形式。,数学模型表示方法,建立控制系统的数学模型方法有分析法（机理建模法）和实验法（系统辨识）。 分析法是根据系统各部分的运动机理进行分析，列写相应的运动方程。 实验法是给系统施加测试信号，记录
2、其输出响应。,2-1 控制系统的时域数学模型,1、建立步骤,（1） 确定输入和输出量,（2） 依据定律列写原始方程,（3） 消去中间变量，写出微分方程,（4） 将微分方程标准化。,二、线性元件的微分方程,例题：写出RLC串联电路的微分方程。,由： ，,代入得：,例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程,取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出是转速w,电枢回路方程为,控制系统的微分方程,若以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为,电磁转矩方程,电动机轴上转矩平衡方程,当电枢回路的电感可以忽略不计,若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽
3、略不计，则上式可进一步简化,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：,这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：,例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在输入量为外力F，输出量为位移x。,阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸收系统的能量并转变为热量而散失掉。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。,二、控制系统微分方程的建立,确定系统和各元部件的输入量和输出量。,对系统中每一
4、个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。,对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。,从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。,1、步骤,例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,系统输出 系统输入参考量,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机,运放1,运放2,功放,直流电动机,减速器（齿轮系）,测速发电机,消去中间变量,控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为,三、线性定常微分方程的求解,直接求解
5、法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）拉氏变换求解法： 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；,解：,零初始条件下取拉氏变换：,2.2.1,2.2.3,2.2.2,三、非线性微分方程的线性化,非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒
6、级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。,设具有连续变化的非线性函数y=f(x)如图所示,若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A点附近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的。,设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得：,若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。,对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为。则可近似为： 式中： ， 。为与工作点有关的常数。,2-
7、2 控制系统的复数域数学模型,引入新课：,一、传递函数的定义,r(t)输入量， c(t)输出量 R(s)=Lr(t), C(s)=Lc(t),（1）t0,输入量及其各阶导数均为0,零初始条件,（2）t0,输出量及其各阶导数均为0,(1)为何要规定零初始条件？,(2)规定初始条件为零是否可行？,思考：,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：,解：,例题： 试求电枢控制直流电动机的传递函数,二、传递函数的性质,1、 G(s)是复函数，且,2、 G(s)与r(t)无关，只与系统自身的结构参数有关,4、 G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换,三、传递函数的零点与极点,称为传递系数或根轨迹系数,传递函
8、数写成因子连乘积的形式,称为传递系数或增益或放大系数,传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态。,四、传递函数极点和零点对输出的影响,零状态响应,前两项具有与输入函数相同的模态 后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关,传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如,输入信号 ，零状态响应分别为,各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。,任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。,典型环节通常分为以下六种： 1、比例环节式中 K-增益 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器）
9、，感应式变送器等。,五、典型环节及其传递函数,特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,3、微分环节 理想微分 一阶微分 二阶微分 特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,4 、积分环节,5、振荡环节式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行
10、能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,6、纯时间延时环节,式中 延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,2-3 控制系统的结构图,控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。,信号线：表示信号传递通路与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或子系统的传递函数。 相加点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。
11、同一位置引出的信号数值和性质完全相同。,一、组成: 结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：,例题：电压测量装置方框结构图 被测电压： 指示的测量电压： 电压测量误差：,系统组成：比较电路、机械调制器、放大器 两相交流伺服电动机、指针机构,比较电路：,调制器：,放大器：,两相伺服电动机：,绳轮传动机构：,测量电位器：,系统结构图,例题： 绘出图示双RC网络的结构图。,解：绘出网络对应的复频域图，可得：,二、结构图的等效变换和简化,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运
12、算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。,（2）并联,（3）反馈,（4）信号相加点和分支点的移动和互换：如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。,信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端,信号相加点的移动,信号相加点的移动和互换,把相加点从环节的输出端移到输入端：,信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端,信号分支点的移动和互换,信号相加点和分支点的移动和互换,分支点从环节的输出端移到输入端：,注意：相临的信号相加点位置可以互换；见下例,信号相加点和分支点的移动和互换,同一信号的分支点位置可以互换：见下例,相加点和分支点在一般情况下，不能互
13、换。,所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,结构图等效变换例子|例2-11,例题：利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,结构图等效变换例子|例2-11,总的结构图如下：,结构图等效变换例子|例2-11,结构图等效变换例子|例2-12,解：结构图等效变换如下：,例2-12系统结构图如下，求传递函数 。,结构图等效变换例子|例2-12,闭环系统的传递函数,三、闭环系统的传递函数：闭环控制系统的典型结构图如下图所示：,图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量。,1、输入R(S)作用下的闭环传递函数： 令 ，则有：,上式中， 称为前向通道传递函
14、数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。,输入作用下误差传递函数为：,2、扰动N(S)作用下的闭环传递函数 此时R(s)=0,结构图如下：,一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s), 误差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下误差传递函数为：,2-4 控制系统的信号流图,一、信号流图的组成：（1) 节点标志系统的变量，用“O”表示。变量是所有流向该节点信号的代数和;（2） 信号在支路上沿箭头单向传递；（3）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以
15、支路增益而变成另一信号; （4） 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。,信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,二、常用的名词术语： 源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。,阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。,混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。,前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。,回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多
16、于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。,不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。,1. 由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到关于s的代数方程；2）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点，并标明支路增益。,三、信号流图的绘制,例题,1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。,2、 由系统结构图绘制信号流图,特征式 ： 所有单独回路增益之和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。,梅逊公式为：,余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的值。,四、梅逊增益公式,其中： n从输入节点到输出节点之前向通路总数。Pk从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益 。,，与所有回路不接触：,，没有与之不接触的回路：,前向通路有两条：,解：三个回路：,例题 已知系统信号流图，求传递函数。,回路相互均接触，则：,参见,
