1、 戴氏教育集团 努力 +勤奋 +信心 =成功 1 专题：构造全等 三角形 利用三角形的中线来构造全等三角形（ 倍长中线法 ） 倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 1、 如图 1，在 ABC 中， AD 是中线， BE 交 AD 于点 F，且 AE EF 试说明线段 AC 与 BF 相等的理由 简析 由于 AD 是中线，于是可延长 AD 到 G，使 DG AD，连结 BG，则 在 ACD 和 GBD 中， AD GD， ADC GDB， CD BD，所以 ACD GBD（ SAS）， 所以 AC GB， CAD G，而 AE EF，所以 CAD AFE， 又 AFE BFG，所以
2、BFG G，所以 BF BG，所以 AC BF 说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个 三角形全等，而遇到中线时又通常通 过延长中线来构造全等三角形 利用三角形的角平分线来构造全等三角形 法一：如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC。在 AB 上截取 AE=AC，连结 DE。 （ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 法二：如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC。延长 AC 到 F，使 AF=AB，连结 DF。 (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ) 法三： 在 ABC 中， AD 平分 BAC。作 DM AB
3、 于 M， DN AC 于 N。 (可以利用角平分线所在直线作 对称轴，翻折三角形来构造全等三角形 ) 图 1 G C F B A E D 戴氏教育集团 努力 +勤奋 +信心 =成功 2 （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证 DM=DN） 2、 已知：如 图，在四边形 ABCD 中， BD 是 ABC 的角平分线， AD=CD，求证：A+ C=180 法一：证明：在 BC 上截取 BE，使 BE=AB，连结 DE。 法二：延长 BA 到 F，使 BF=BC，连结 DF。 BD 是 ABC 的角平分线（已知） BD 是 ABC 的角平分线（已知） 1= 2（角平分线定义） 1= 2
4、（角平分线定义） 在 ABD 和 EBD 中 在 BFD 和 BCD 中 AB=EB（已知） BF=BC（已知） 1= 2（已证） 1= 2（已证） BD=BD（公共边） BD=BD（公共边） ABD EBD（ S.A.S） BFD BCD（ S.A.S） A 3（全等三角形的对应角相等） F C（全等三角形的对应角相等 AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知）， AD=DE（已证） AD=CD（已知） ， DF=DC（已证） DE=DC（等量代换） DF=AD（等量代换） 4= C（等边对等角） 4= F（等边对等角） 3+ 4 180
5、（平角定义）， F C（已证） A 3（已证） 4= C（等量代换） A+ C 180（等量代换） 3+ 4 180（平角定义） A+ C 180（等量代换） 法三： 作 DM BC 于 M， DN BA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是 ABC 的角平分线（已知） 1= 2（角平分线定义） DN BA， DM BC（已知） N= DMB=90（垂直的定义） 在 NBD 和 MBD 中 N= DMB （已证） 1= 2（已证） BD=BD（公共边） NBD MBD（ A.A.S） ND=MD（全等三角形的对应边相等） DN BA， DM BC（已知） NAD 和 MCD 是 Rt 在 Rt
6、NAD 和 RtMCD 中 ND=MD （已证） AD=CD（已知） RtNAD RtMCD（ H.L） 4= C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4 180（平角定义）， 戴氏教育集团 努力 +勤奋 +信心 =成功 3 A 3（已证） A+ C 180（等量代换） 法四： 作 DM BC 于 M， DN BA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是 ABC 的角平分线（已知） DN BA， DM BC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等） DN BA， DM BC（已知） NAD 和 MCD 是 Rt 在 RtNAD 和 RtMCD 中 ND=MD （已证） AD=CD
7、（已知） RtNAD RtMCD（ H.L） 4= C （全等三角形的对应角相等） 3+ 4 180（平角定义） A 3（已证） A+ C 180（等量代换） 利用高可以高线为对称轴构造全等三角形 3、 在 ABC 中， AD BC，若 C 2 B试比较线段 BD 与 AC+CD 的大小 简析 由于 AD BC，所以可在 BD 上截取 DE DC， 于是可得 ADE ADC（ SAS），所以 AE AC， AED C， 又 C 2 B，所以 AED 2 B，而 AED B+ BAE， 即 B BAE，所以 BE AE AC，所以 BD BE+DE AE+DE AC+CD 说明 利用三角形高的性
8、质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解 利用特殊图形 可通过旋转变换构造全等三角形 4、 设点 P 为等边三角形 ABC 内任一点，试比较线段 PA 与PB+PC 的大小 简析 由于 ABC 是等边三 角形，所以可以将 ABP 绕点 A 旋转 60到 ACP的位置，连结 PP，则 ACP ABP（ SAS），所以 AP AP， CP BP， APP是等边三角形，即 PP PA，在 CPP中，因为 PP PC+PC，所以 PA PB+PC 说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形
9、来解题 E D C B A 图 4 P P B A C 戴氏教育集团 努力 +勤奋 +信心 =成功 4 利用利用平行线构造全等三角形 5、 ABC 中， AB AC， E 是 AB 上任意一点，延长 AC 到 F，连接 EF 交 BC 于 M，且 EM FM 试说明线段 BE 与 CF 相等的理由 简析 由于 BE 与 CF 的位置较散，故可考虑将线段 CF 平移到ED，所以过点 E 作 ED CF，则 EDB ACB， EDM FCM，由于 EM FM， EMD FMC，所以 EMD FMC（ AAS），所以 ED CF，又因为 AB AC，所以 B ACB，即 B EDB，所以 EB ED
10、，所以 BE CF 说明 这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低 综合 练习 1、 如图，已知 ABC 中， AD 是 BAC 的角平分线， AB=AC+CD，求证： C=2 B 法一：证明：在 AB 上截取 AE，使 AE=AC，连结 DE。 AD 是 BAC 的角平分线（已知） 1= 2（角平分线定义） 在 AED 和 ACD 中 AE=AC（已知） 1= 2（已证） AD=AD（公共边） AED ACD（ S.A.S） C 3（全等三角形的对应角相等 ) ED=CD（全等三角形的对应边相等） 又 AB=AC+CD=AE+EB（已知） EB=DC=ED（等量代换） B= 4（
11、等边对等角） 3= B+ 4= 2 B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） C=2 B（等量代换） 法二： 延长 AC 到 F，使 CF=CD，连 结 DF。 AD 是 BAC 的角平分线（已知） 1= 2（角平分线定义） AB=AC+CD， CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换） 在 ABD 和 AFD 中 AB=AF（已证） 1= 2（已证） AD=AD（公共边） F 图 5 M E A B C D 戴氏教育集团 努力 +勤奋 +信心 =成功 5 ABD AFD（ S.A.S） F B（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知） B= 3（等边对等角） ACB=
12、 2 F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ACB=2 B（等量代换） 2、如图， 已知直线 MN PQ，且 AE 平分 BAN、 BE 平分 QBA， DC 是过 E 的任意线段，交 MN 于点 D，交 PQ 于点 C。求证： AD+AB=BC。 法一：证明：延长 AE，交直线 PQ 于点 F。 法二：延长 BA 到点 G，使得 AG=AD，连结 EG。 法三：延长 BA 到点 G，使得 AG=AD，连结 EG。 3、 已知：如图在 Rt ABC 中， BAC=90， AE BC， BD 是 ABC 的角平分线， GF BC ，求证： AD=FC。 证明：过 D 作 DH BC，垂足为 H。
