1、第十三章 能量法,第13-1 能量法概念 第13-2 应变能与余能的计算 第13-3 互等定理 第13-4 卡氏定理 第13-5 利用卡氏定理解超静定问题,13-1 能量法概念,一、外力功与应变能（变形能）,弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相 应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功， 用符号W 表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变 能（变形能），用符号U 表示。,二、能量守恒原理,三、能量法,利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力 等计算的方法称为能量法。,13-2 应变能与余能的计算,一、外力功,1. 常力作功（F 为恒力）,广义力与广义位移相对应。
2、如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。,式中： 广义力（力、力偶） 广义位移（线位移、角位移）,二、应变能及比能（线弹性体）,1. 轴向拉伸与压缩时应变能,u 为比能，即单位体积的变形能。,应变能：,比能 ：,a. 轴力为常量：,dx 段的应变能：,比能：,整个杆内的应变能：,比能：,应变能：,3. 圆轴扭转时的变形能,a. 扭矩为常量,应变能：,4. 杆件受弯曲时的变形能,应变能：,应变能：,一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上 面积分应分段进行，然后求出其总和。,应变能：,5. 组合变形时的应变能,杆件在
3、拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力FN(x)，扭矩Mn(x)，弯矩M(x)和剪力FS(x)存在。在忽略了剪力FS(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：,注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。,解：求各梁的变形能,从中可看出,三、余功、余能,外力功和应变能,余功和余能,四、利用功能原理计算位移,利用 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。,解 1、内力分析,例 直角水平圆截面折杆 ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭刚度为 GIp。试求 C 处的垂直位移。,BC杆：,AB杆：,3
4、、利用功能原理求位移,总变形能为：,2、变形能计算,例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求D点的垂直位移。,解 1、各杆内力,2、应变能计算,3、利用功能原理求位移,13-3 互等定理,一、弹性体的应变能与载荷的加载次序无关,上述的力和位移均为广义力和广义位移。位移的第一个下标表示发生位移的位置，第二个下标表示引起该位移的载荷。,三、位移互等定理,对于线弹性体，若载荷F1和F2 数值相等，则F2在点1沿F1方向引起的位移 ，等于F1 在点2沿F2方向引起的位移 。该定理称为位移互等定理。,二、功的互等定理,对于线弹性体，F1在F2处所引起的位移 上所作的功，等于F2在 F1处所引起的位
5、移 上所作的功。该定理称为功的互等定理。,13-4 卡氏定理,一、卡氏第一定理 (证明略),卡氏第一定理：弹性结构的应变能对于结构上与某个载荷相对应的位移的偏导数，等于该载荷的数值。,二、余能定理（克劳迪-恩格塞定理）,弹性体在载荷作用下F1，F2，Fn，各载荷作用点沿载荷方向的 位移为 弹性体的余能 应等于外力的余功 ，即,余能定理：弹性结构的余能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等 于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。,若第 i 个载荷Fi 产生一个微小增量dFi，其他载荷值不变，则余功 增量为 , 相应的余能也有一个增量,余能的增量应等于余功的增量,对于线性弹性体：,由余能定理,卡氏第二
6、定理：线弹性结构的应变能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。,注意：具体应用卡氏第二定理时，应变能必须表示为载荷的函数。,四、卡氏第二定理的应用,式中： 广义位移（线位移，角位移）广义力（力、力偶）,1. 对于桁架结构（各杆受拉或压）,2、对于受扭圆轴,3. 对于横力弯曲（不计剪力的影响）,4. 对于组合变形（不计剪力的影响）,例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D点的垂直位移。,解 1、各杆内力,2、应变能计算,3、利用卡氏第二定理求D点的垂直位移,例 求图示梁 B 处的挠度和转角。,解 一、求 B 处挠度,由于C、B 截面都作用着集中力 F
7、，为了将二个F 区分开，可设作用在 B 处的 F 为FB。,令：FB=F,二、求B 处的转角,由于 B 处没有相应的力偶与 转角相对应，可假设在 B 作用一 力偶 ( 为附加力偶）。,BC：,AB：,例 求图示刚架 C 点的垂直位移， 水平位移及转角。,解（一）垂直位移,在 C 处加一附加力,令式中 ，则有,BC:,AB:,（二）水平位移 ，在C处附加一水平力 （见图b）,图b,令： 则有,BC:,AB:,（三）C 处转角,图c,在 C 处附加一力偶 （见图c）,BC:,AB:,令 ，则有,13-5 利用卡氏第二定理解超静定问题,1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）。 2、写出包含多余约束反力的应变能。 3、运用卡氏第二定理得出多余约束的约束条件，解出多余约束反力。 4、根据静力平衡条件，解出超静定结构的其它所有约束反力。 5、计算结构的内力、应力、强度、变形、刚度。,利用卡氏定理解超静定问题的步骤：,二、建立变形协调方程，求出多余约束反力。,由 C 处的约束情况可知变形条件为 ：,解 一、解除多余约束，使超静定问题化简成如所示。 为多余约束反力。,三、求出其余约束反力,
