1、2011 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 的值为( )2 S=3-32+33-34+35-36+37，则 S 被 4 除所得的余数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 如图所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为：1500 平方厘米，则正三角ABC 的面积等于( )平方厘米（A）1900（B） 2000（C） 2100（D）22004 已知数列 a1，a 2，a 3，a n，的通项是 ，则该数列前101 项的和等于( )
2、 （A）2501（B） 2551（C） 2601（D）22005 三边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交得锐角为，tan=( )6 若 ，则代数式 x(x+1)(x+2)(x+3)的值为( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）27 设 A、B 两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于距甲地 20 公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原路返回，途中第二次相遇于距乙地 10 公里处，则甲、乙两地相距( )公里（A）35（B） 40（C） 45（D）508 设 O 为坐标轴的原点，abc 的大小关系的如图所示，则的值是( )9 若函数
3、f(x)是周期为 6 的奇函数，则 的值等于( )10 若复数 则|z 1-z2|=( )11 如图，面积为 9 平方厘米的正方形 EFGH 在面积为 25 平方厘米的正方形 ABCD所在平面上移动，始终保持 EF/AB，记线 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长度是( )厘米12 有长为 1cm，2cm ，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为( )13 某股民用 30000 元买进甲乙两种股票，在甲股票下跌 10%，乙股票升值 8%时全部卖出，赚得 1500 元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为( )（
4、A）2:3（B） 3:2（C） 1:5（D）5:114 参数方程 在 xOy 平而上表示的曲线是 ( )（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线15 一个盛满水德圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的 时，圆柱的母线与水平面所成的角等于( ) （A）30（B） 45（C） 60（D）7516 当 x3- 时，下述选项中为无穷小量的是( )17 若 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=a，f(x 0)=b，而|f(x)| 在 x0 处不可导，则( )（A）a=0 ，b=0（B） a=0，b0（C） a0，b=0（D
5、）a0 ，b018 若方程 x-elnx-k=0 在(0，1有解，则 k 的最小取值为( )19 若函数（A）0（B） 1（C） 4e-1（D）4e20 若 是 xf(x)的一个原函数，则21 设 xf(x)在0，2上单调连续， f(0)=1,f(2)=2，且对任意 x1，x 20，2总有，g(x)是 f(x)的反函数， ，则( ) （A）0P1（B） 1P2（C） 2P3（D）3P422 在 的展开式中，x 2x3 项的系数是( )（A）-4（B） -2（C） 2（D）323 对任意的 n 阶矩阵 A，B，C，若 ABC=E(E 是单位矩阵)，则下列 5 式中：(1)ACB=E；(2)BCA
6、=E；(3)BAC=E ；(4)CBA=E ；(5)CAB=E 恒成立的有( )个（A）1（B） 2（C） 3（D）424 若方程组 有解，则其中 a=( )（A）-2（B） -1（C） 1（D）225 若 相似，则 a=( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-22011 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 可用特殊值法，令 c=1，则 b=10，a=200，从而可得结论。故选D。2 【正确答案】 B【试题解析】 因 而(-4+1) k 被 4
7、 除所得余数都是1(由二项式定理可知) ，故 S 被 4 除的余数和-7 被 4 除得的余数一样，都是 1。故选 B。3 【正确答案】 B【试题解析】 可将MNP 旋转，使其顶点和切点重合，从而可看到 MNP 与ABC 的各边中点连线形成的三角形一样，其面积是ABC 面积的四分之一，从而阴影部分面积是ABC 面积的四分之三，故选 B。4 【正确答案】 C【试题解析】 前 101 项的和5 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，=1+ 2，而从图形可以看出，故 ，故选 D。6 【正确答案】 A【试题解析】 所以选 A。7 【正确答案】 D【试题解析】 设两地相距 x 公里，则根据两次相遇的路程
8、比都等于二者速度之比可得方程 ，解之得 x=50。故选 D。8 【正确答案】 B【试题解析】 根据三个数在坐标轴上的位置关系可以看出， ，于是，故选 B。9 【正确答案】 A【试题解析】 根据周期性以及奇函数特点有 f(-7)=f(-1)=-f(1)，f(6)=f(0)=0，于是。故选 A。10 【正确答案】 C【试题解析】 可直接计算11 【正确答案】 C【试题解析】 可考虑特殊情形法(如图)，将小正方形平行移动让 G 和 C 重合则 从而 。故选C。12 【正确答案】 D【试题解析】 古典概型问题。总取法数为 种，能构成三角形的取法可一一数出，具体数法：最短边至少为 2(任何两边之差都会大
9、于等于 1，故最短边不能为 1)，至多为 4，(1)当最短边为 2 时，(2，3，4) ，(2，4， 5)，(2 ，5，6)三种情形均可构成三角形，其他不能；(2)当最短边为 3 时，(3，4，5)，(3，4，6)，(3 ，5，6)三种情形均可构成三角形；(3)当最短边为 4 时，(4，5，6)可构成三角形。共 7 种情形能构成三角形，所以选 D。13 【正确答案】 C【试题解析】 设甲乙两股票所用钱数分别为 a，b，则 解得故选 C。14 【正确答案】 A【试题解析】 因 故15 【正确答案】 B【试题解析】 考虑圆柱体容器的轴截面(如图)，BC 为容器口，AC 为倾倒后容器内的水平面，AD
10、 为平行于容器口的平面，则易知 ABC 部分与 ADC 部分的容积相同，而 ABC 部分是总容积的三分之一，故 ABCD 部分是总容积的三分之二，ADEF 部分是总容积的三分之一，因此 又 BF=3，BC=2，故 AB=2=BC，从而 BAC=45。故选 B。16 【正确答案】 D【试题解析】 因 从而选 D。17 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)在 x0 处可导，故也连续。假若 f(x0)=a0，不妨设 a0，则在x0 的某领域中 f(x)0，从而在此领域内|f(x)|=f(x) ，它在 x0 处也可导，矛盾。即a=0。另一方面若 f(x0)=b=0，则从而|f(x)|在处导数为
11、0，同样矛盾。所以选 B。18 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x-elnx-k，则 即 f(x)在(0，1单调递减。又 所以，f(x)在(0，1上有解等价于f(1)0，即，kl。故选 C。19 【正确答案】 A【试题解析】 因 于是故选 A20 【正确答案】 C【试题解析】 依题意 所以， 于是而由积分的几何意义知 表示的是单位圆在第一象限部分的面积，应为 所以 故选 C21 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)是一凸函数，利用函数和反函数图像关系，f(x)，g(x) 图像如图，从图中可以看出 P 故选 A22 【正确答案】 A【试题解析】 对于任何 n 阶方阵 A=(aij)
12、nn 及 x=(x1，x 2，x n)，有从而 xixj 的系数为 aij+aji。这里 x2x3 的系数为 a23+a32=-4。故选A。23 【正确答案】 B【试题解析】 对于 n 阶方阵来说，若 ABC=E，则 AB=C-1，BC=A -1，从而BCA=CAB=E，但一般的两个方阵乘积不具有交换性，所以(2)、(5)恒成立，其他不是恒成立。选 B。24 【正确答案】 A【试题解析】 因三元线性方程组求解很简单，可逐一带入验证。易得 A 正确。另外也可由线性方程组解的判定来做。有解意味着系数矩阵和增广矩阵的秩相等。对增广矩阵进行行变换所以(a+2) 2=0，a=-2。故选 A25 【正确答案】 D【试题解析】 显然，矩阵曰的特征根分别为 1=2=2， 3=0，由相似矩阵有相同的特征根知，2 也是矩阵 A 的二重特征根，于是 r(A-2E)=3-2=1，所以 a+2=0，a=-2。故选 D。
