1、2013 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是( )（A）（B）（C）（D）2 1234 2+0 7662+24680766 的值是( )（A）5（B） 4（C） 3（D）23 如图 1 所示，某山区公路旁依次有甲、乙、丙、丁四家工厂每家工厂都有小公路通到大公路，已知沿公路由甲厂到乙厂的路程为 9 千米，由甲厂到丙厂的路程为15 千米，由乙厂到丙厂的路程为 10 千米，由乙厂到丁厂的路程为 18 千米，则甲厂到丁厂的路程为( ) 千米（A
2、）21（B） 23（C） 25（D）264 两个正数的算术平均值等于 ，乘积的算术平方根等于 ，则大数与小数的差是( )（A）4（B）（C） 6（D）5 数列 a1，a 2，a 3，按如下规则构成：a 1=5，a k2=(ak-1 的数字和)+1，k=2，3， 4，如 a2=8，则 a50=( )（A）5（B） 7（C） 8（D）116 如图 2 所示，已知ABC，ACD， ADE，AEF 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 30 平方厘米，则图中阴影部分的面积是( )平方厘米（A）22（B） 20（C） 18（D）167 某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax2+bx+c=0 的不同的两个根
3、，则 a，b，c 之间的关系是( ) （A）b 2=a2-4ac（B） b2=a2+4ac（C） b2=a2 一 2ac（D）b 2=a2+2ac8 反比例函数 在第一象限的图像如图 3 所示，自 的图像上的任一点 B 向两坐标轴引垂线 BA 和 BC，分别交另两条曲线于 E，F 和G，H 连接 AG，EH，则阴影四边形 AEHG 的面积是( )（A）（B）（C）（D）9 定义在实数集上的函数 f(x)，满足 f(x+1)=-f(x)，且在区间一 1，0上严格单调增加，则( ) （A）（B）（C）（D）10 i 为虚数单位， 则复数 z 的虚部是( )（A）0（B） 1（C）（D）211 如图
4、 4 所示，D 为 AABC 内一点，使得 BAD=BCD，且BDC=90过A，D，B 三点作圆 O若 M 为 AC 的中点， ，则圆 O 半舞于( )（A）2（B） 3（C） 4（D）512 设函数 若 a，b 是正整数，且 则a+b=( )（A）15（B） 21（C） 32（D）4013 四面体 ABCD 涪棱 DA，DB，DC 剪开，将面 ADB，面 ADC 和面 BDC 展开落在平面 ABC 上，恰好构成一个边长为 1 厘米的正方形 AEGF(如图 5 所示)，则原四面体的体积是( ) 立方厘米（A）（B）（C）（D）14 在分别写有 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中
5、任取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为( )（A）（B）（C）（D）15 如图 6 所示，双曲线 的左右焦点分别记为 F1，F 2，取双曲线上的点P 使得F 1PF260，则PF 1F2 的面积=( )（A）（B）（C）（D）16 若函数 f 和 g 满足 f(x)=ex+4，f(g(x)=x 2，则 g(x)的定义域是( )（A）(一 2，2)（B） (0，+)（C） (2，+)（D）(一，一 2)(2，+)17 若函数 f(x)连续， 则当 x0 +时，g(x)是 的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶(非等价) 无穷小18 设函数 如果 f(x)在 x=0
6、处可导，则必须且只需( ) （A）n0（D）n119 设函数 f(x)可导， ，若 ，则 y(1)=( )（A）（B）（C）（D）20 设 f(x)是实数集上连续的偶函数，在( 一，0)上有唯一零点 x0=一 1，且 f(x0)=1，则函数 的严格单调增区间是( )（A）(一，一 1)（B） (一 1，0)（C） (一 1，1)（D）(1 ，+)21 设函数 f(x)可导，且满足 f(0)=f(2)=2，f(x) ，则 I 属于( )（A）(1 ，2)（B） (2，3)（C） (3，5)（D）(5 ，7)22 设向量 a1=(1；1；2) T， a2=(2；t；4) T,a3=(t；3； 6)
7、T，a 4=(0；2；2t) T，若向量组a1，a 2，a 3，a 4的秩是 3，矩阵 A=(a1a2a3)的秩是 2，则参数 t=( )（A）2（B） 3（C） 4（D）623 设 3 阶非零矩阵 A 的秩为 r(A)， ，若 AB=0，则r(A)与 k 分别等于( )（A）2 与一 3（B） 1 与一 3（C） 2 与 3（D）1 与 324 3 阶矩阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=0，其中 E 是 3 阶单位矩阵若 A 的第 1 行是(一 1； 0；0)，则(A+2E) -1 的第 1 行是( )（A）(1 ；0；0)（B） (一 1；0；0)（C） (一 1；0；1)（D）(1
8、；0；1)25 设 A 是 3 阶不可逆矩阵，B 是 3 阶单位矩阵，若线性齐次方程组 (A 一 3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则行列式A+E=( ) （A）2（B） 4（C） 8（D）162013 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，ABCD 四个图形中只有 A 符合轴对称图形的定义2 【正确答案】 B【试题解析】 1234 2+0766 2+246807
9、66=1234 2+0766 2+212340766=(1 234+0766) 2=22=43 【正确答案】 B【试题解析】 如图，设甲厂到大路距离为 x，乙厂到大路距离为 y，丙厂到大路距离为 z，丁厂到大路距离为 w，四家工厂在大路上的直线距离分别为 d1，d 2，d 3，所以由甲厂到丁厂的距离即为 x+d1+d2+d3+w据图可以看出由一 得出： x+d1 一 y=5由+得出：x+d 1+d2+d3+w=18+5=23，所以甲厂到丁厂为 23 千米4 【正确答案】 C【试题解析】 设 a，b 为两个正数，且 ab 根据题意知：大数与小数之差即为 a 一 b所以大数与小数之差为 65 【正
10、确答案】 C【试题解析】 a 1=5；a k=(ak-12 的数字和)+1 a 2=52 的数字和+1 也就是 25 的数字和+1 即 a2=2+5+1=8 同理可推出 a3=82 的数字和+1 即 a3=(6+4)+1=11；a 4=112 的数字和+1 即 121 的数字和+1 也就是 a4=(1+2+1)+1=5 依次推出：a5=8； a6=11； a49=a1=5； a50=a2=8 所以本题答案为 C。6 【正确答案】 B【试题解析】 如图，设 AB=a，则 BC=A 根据题意：S ABC+SACD+SADE+SAEF7 【正确答案】 D【试题解析】 设方程两个不同根分别为X1=sl
11、n；X 2=cos； x12+x22=sin2+cos2=1 又x 2，x 2 是方程 ax2+bx+c=0 的不同的两根 b2 一 2ac=a2 即 b2=a2+2ac 所以答案为 D。8 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，我们可以采用假设数字法计算B 落在 ，我们可以假设 B 点坐标为(3，1)则 A 点坐标为(3，0)AB=1 又 H 点在 上，G 点在上设 H 点坐标为(2，1)，G(1，1) 所以答案为 C。9 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数单调性和周期性的性质根据题意：f(0)=一 f(一 1)(一 1)10 【正确答案】 A【试题解析】 所以 z 的虚部是 01
12、1 【正确答案】 B【试题解析】 本题做辅助线，如图所示延长 CD 到 E，连接 EB 得到圆周角BED因为 BAD 和BED 对应的是同一段弧 BDBAD=BED 同理可以推出BCD=BED 又 BDECEBC 应为等腰三角形推出 BE=BCD 为 EC 中点，M 为 AC 中点 CAE 中 AE 应为 MD 的两倍，EAB 为直角三角形可以看出 EB 是直径所以圆 O 的半径是所以答案为 B。12 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意可以推出 0 10b=132+3a10b 一 3a=1323a 的个位数为 8a=6;b=15a+b=2113 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意知：1
13、4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意：非偶数的质数为 7，11，1315 【正确答案】 D【试题解析】 设 PF1=a，PF 2=b 根据余弦定理：所以答案为 D。16 【正确答案】 D【试题解析】 f(g(x)=eg g(x)+4=x2 eg(x)=x2 一 4 g(x)=ln(x2 一 4) 一 40 x2 或 x17 【正确答案】 A【试题解析】 18 【正确答案】 B【试题解析】 19 【正确答案】 C【试题解析】 20 【正确答案】 C【试题解析】 F (x)=f(x)=0P(x)=f(x)F(x0)=f(x0)=10 单调递增区间为(一 1，0) 又因为 f(x)是偶函数，所以图像根据 y 轴对称的，也就是说在(0，1)范围内也是单调递增区间，所以本题答案为(一 1，1)21 【正确答案】 C【试题解析】 代入数字可以推出，范围为(3，5)22 【正确答案】 B【试题解析】 23 【正确答案】 D【试题解析】 24 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可得：(A+2E)(A 一 3E)=A2 一 A 一 6E=A2 一 A 一 2E 一4E=一 4E 经计算推出(A+2E) -1 第 1 行为(1；0；0)25 【正确答案】 D【试题解析】 (A 一 3E)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成r(A 一 3E)=1
